Georg Cantor

“ L’ensemble G et sa partie B auraient donc le même nombre cardinal, ce qui est impossible (th. C, § 6) .
Les nombres ordinaux finis coïncident donc dans leurs propriétés avec les nombres cardinaux finis. Il en est tout autrement pour les nombres ordinaux transfinis ; à un même nombre cardinal a correspond un nombre infini de nombres ordinaux formant un système que nous nommons la classe numérique Z (a) . C’est une partie de la classe de types [a] (§ 7) .
La classe numérique Z (א0) , que nous nommerons la deuxième classe numérique, sera l’objet immédiat de notre étude. ”

“ G. Tout nombre α de la deuxième classe peut être mis d’une seule manière, sous la forme du produit
α = ωγ0κτ (ωγ1 + 1) κτ − 1 (ωγ2 + 1) κτ − 2... (ωγτ + 1) κ0 et l’on a
γ0 = ατ, γ1 = ατ − 1 − ατ, γ2 = ατ − 2 − ατ − 1, ..., γτ = α0 − α1, tandis que κ0, κ1, ..., κτ ont la même signification que dans la forme normale. Les facteurs ωγ + 1 sont tous indécomposables.
H. Tout nombre α de la deuxième classe et de deuxième espèce, peut être mis, d’une seule manière, sous la forme
α = ωγ0α′, où γ0 est > 0 et α′ est un nombre de première espèce, appartenant à la première ou à la deuxième classe. ”

“ Si l’on a trouvé une telle loi d’association pour deux ensembles équivalents, on peut (sauf le cas où ceux-ci ne comprendraient qu’un seul élément) en trouver plusieurs autres. Notamment, on peut toujours faire en sorte qu’à un élément déterminé m0 de M, corresponde un élément déterminé n0 de N. Car, si la loi d’association primitive ne faisait pas correspondre m0 et n0, c’est qu’à l’élément m0 de M correspondrait l’élément n1 de N, tandis qu’à l’élément n0 de N correspondrait l’élément m1 de M ”

“ Parmi les ensembles simplement ordonnés, il convient de donner une place toute particulière aux ensembles bien ordonnés (wohlgeordnete Menge) ; leurs types ordinaux, que nous nommerons nombres ordinaux (Ordnungszahl) , donnent l’élément naturel d’une définition précise des puissances ou nombres cardinaux transfinis supérieurs. ”

“ Nous exprimons la relation de a à b caractérisée par les conditions 1o et 2o en disant : a est plus petit que b ou encore b est plus grand que a, ce que nous écrivons
On démontre facilement que
De même, il résulte immédiatement de la définition que si P1 est une partie d’un ensemble P, la relation a < P1 entraîne toujours a < P et P < b entraîne aussi P1 < b. ”