René Baire

“ Je procède différemment à cet égard : j’ajourne l’étude de ces quatre opérations, sauf la différence, à laquelle je fais une place à part, parce qu’elle joue dans toute la théorie un rôle prédominant, comme une simple réflexion le montre : la notion de différence est en effet la forme précise de la notion vague de rapprochement, de voisinage, qui domine nécessairement toute étude où il s’agit du continu ; or, le rôle des nombres irrationnels est précisément de servir à construire le continu, en comblant les lacunes que présente l’ensemble des nombres rationnels. ”

“ Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue.
Soient des variables, des fonctions de ces variables, chacune des fonctions pouvant être fonction, soit de toutes les variables , soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction , qu’on peut alors considérer comme une fonction des premières variables , par l’intermédiaire des fonctions ”

“ DES LIMITES ET DE LA CONTINUITÉ
SOMMAIRE
I. Définition des nombres irrationnels. — II. Bornes supérieure et inférieure d’un ensemble. — III. Limite d’une suite de nombres. — IV. Valeurs approchées d’un nombre. — V. Différence de deux nombres. — VI. Théorèmes sur les limites. — VII. Notions de fonction et de continuité. — VIII. Fonctions d’arguments rationnels. — IX. Principe d’extension. — X. Extension du calcul algébrique. — XI. Théorèmes sur les fonctions continues. — XII. Fonctions inverses. — XIII. Définition des fonctions , , , .
I
DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS 1. ”

“ Les méthodes courantes pour l’introduction des nombres irrationnels se rattachent à deux principales : l’une repose sur la notion de coupure, l’autre sur la notion de suite convergente ; dans l’une et l’autre, une fois les nombres irrationnels introduits, on se préoccupe immédiatement de leur étendre les quatre opérations arithmétiques. ”

“ Réciproquement, si on suppose qu’à tout nombre positif correspond tel que, dans le champ (1) , on a la condition (3) , est continue au point . Car, soit une suite de points
tendant vers ; quand dépasse une certaine valeur , le point est contenu dans le champ (1) , donc la condition (3) est vérifiée en remplaçant par ; ceci montre que a pour limite . Ainsi, la définition de la continuité au point peut être remplacée par la suivante :
La fonction est continue au point si, à tout nombre positif correspond un nombre positif tel que les conditions
,, entraînent
. ”

“ Si une fonction d’une seule variable , continue dans l’intervalle borné , prend pour et deux valeurs différentes, et si est un nombre compris entre ces valeurs, il y a au moins un nombre de l’intervalle pour lequel . ”

“ Je me suis placé au point de vue de l’Analyse pure ; mais il est certainement avantageux, dans l’enseignement, d’éclairer une théorie aussi abstraite par une image géométrique (points sur une droite indéfinie) . Il sera facile, sans rien changer à l’ordre suivi, de compléter la théorie à cet égard. ”

“ Soit un point du champ. Si on considère, étant positif, le champ
,,, en vertu de la continuité, l’oscillation de dans tend vers 0 quand tend vers 0 ; donc elle est pour des valeurs assez petites de ; d’autre part, quand est assez grand, contient , par suite l’oscillation dans surpasse . Soit la borne supérieure des nombres tels que l’oscillation de dans est : est un nombre fini et positif, bien déterminé pour chaque point du champ. Donc est une fonction définie dans le champ ”

“ Rangeons dans une première classe les nombres négatifs, nul, et les nombres positifs pour lesquels , dans une seconde classe les nombres positifs pour lesquels . On a effectué ainsi une coupure, car tout nombre rationnel fait partie de l’une des deux classes, et tout nombre de est inférieur à tout nombre de .
Il n’y a pas dans de nombre supérieur à tous les autres, c’est-à-dire que si appartient à , on peut trouver dans un nombre . Il suffit évidemment d’examiner le cas où est positif. ”

“ Une fonction d’une ou plusieurs variables, continue dans un champ borné, est bornée et atteint, en certains points du champ, chacune de ses bornes supérieure et inférieure.
Je démontrerai d’abord la proposition préliminaire suivante :
Soit une fonction quelconque définie en tous les points d’un champ borné ; soit la borne supérieure (finie ou non) des valeurs de aux points de . Je dis qu’il y a un point de tel que, quel que soit , dans le champ
,,, la borne supérieure de est . ”

“ Un nombre est intérieur à un intervalle s’il y a des nombres , appartenant à l’intervalle et tels que . Dans chacun des quatre cas considérés, tout nombre appartenant à l’intervalle défini est intérieur à cet intervalle, sauf et dans le cas 1o, dans les cas 2o et 3o. ”

“ Considérons tous les couples de nombres rationnels vérifiant les conditions
et formons les différences ; ce sont des nombres positifs dont l’ensemble est borné ; car il y a des nombres rationnels , tels que , , et toutes les différences sont inférieures à . L’ensemble a donc une borne supérieure, qui est un nombre positif .
Dans le cas où et sont rationnels, parmi les couples vérifiant (1) se trouve le couple , , et la différence correspondante est supérieure à toutes les autres différences de . ”

“ Les fonctions d’arguments rationnels , sont uniformément continues dans le champ
,. En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici
,, étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux suivantes :
,. On prendra donc .
33. La fonction d’arguments rationnels , qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné
,, étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres ”

“ On a
, d’où
, ce qui contredit (4) .
Ainsi on a
, d’où
. Ainsi est la borne supérieure des nombres , et la borne inférieure des nombres ; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2) . ”

“ L’égalité montre la continuité de la fonction .
En particulier, si , supposé fixe, est égal à un nombre irrationnel , on reconnaît la continuité de la fonction de : ( étant positif) .
La fonction , si et sont des fonctions de variables , est, dans un champ où est positif, une fonction de ; si et sont fonctions continues de , il en est de même de . ”

“ Si tous les nombres d’un ensemble sont inférieurs ou égaux à un nombre , il en est de même de la borne supérieure de .
Un nombre quelconque est la borne supérieure de l’ensemble des nombres inférieurs à . ”

“ D’autre part, on a, et étant rationnels,
; donc
. 2o Supposons et quelconques ; soit une suite de nombres rationnels , , , , tendant vers .
On a, d’après la continuité de la fonction exponentielle,
. D’après le cas 1o, on a
. Donc
. L’égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.
55. La fonction ( et ) étant définie dans l’intervalle , et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par (logarithme de dans le système de base ) . ”

“ C’est ainsi que, dans les suites (1) (Sections III et VI) , le nombre est une fonction de définie pour toutes les valeurs entières positives de . Citons, comme exemples de fonctions définies pour toutes les valeurs réelles de la variable : la partie entière de (valeur approchée de à une unité près, par défaut) ; le nombre ; la valeur absolue de : ; le nombre lui-même. ”

“ On peut dire à ce sujet qu’un ensemble d’éléments appartenant à a toujours une borne supérieure et une borne inférieure, qui sont des éléments de . Le mot nombre, employé seul, signifiera un nombre fini. ”

“ Soit une fonction continue croissante dans un intervalle borné ; soient , les bornes inférieure et supérieure de . La fonction doit atteindre la valeur en un point de l’intervalle, qui ne peut être que ”

“ Je dis que est continue, c’est-à-dire que si , , , , , sont des nombres de tels que , on a . Nous posons , . Supposons d’abord que ne soit pas une borne de l’ensemble , et prenons deux nombres et de tels que
. ”