Nombre irrationnel

“ Si [25] l’ensemble total des nombres rationnels est partagé en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit inférieur à tout nombre de la seconde classe, et tout nombre de la seconde classe supérieur à tout nombre de la première, et telles, d’autre part, qu’il n’y ait dans la première classe aucun nombre plus grand que tous les autres et dans la seconde classe aucun nombre plus petit que tous les autres, — alors le couple des deux classes constitue un élément de raisonnement que l’on appelle « nombre irrationnel ». ”

“ Or, si le nombre irrationnel, obtenu par une généralisation, doit, pour être déterminé, correspondre à un intelligible, il en sera de même pour les jugements virtuels correspondant au concept de nombre fractionnaire, de nombre entier, etc ; et comme il n'y a aucun motif
de se contenter jamais d'un concept indéterminé, il en sera de même pour le dernier des jugements virtuels. ”

“ Le nombre entier rationnel, est celui dont l’unité est une partie aliquote. Le nombre rationnel rompu, est celui qui représente quelque partie aliquote de l’unité. Le nombre rationnel mixte, est celui qui est composé d’un nombre entier & d’un nombre rompu, ou de l’unité & d’une fraction. Le nombre irrationnel ou sourd, est celui qui est incommensurable avec l’unité. ”

“ L’égalité montre la continuité de la fonction .
En particulier, si , supposé fixe, est égal à un nombre irrationnel , on reconnaît la continuité de la fonction de : ( étant positif) .
La fonction , si et sont des fonctions de variables , est, dans un champ où est positif, une fonction de ; si et sont fonctions continues de , il en est de même de . ”

“ La puissance , pour une base algébrique et un exposant algébrique irrationnel , comme par exemple le nombre ou , représente toujours un nombre transcendant ou pour le moins irrationnel. Il est certain que la résolution de ces problèmes et d’autres analogues doit conduire à des méthodes nouvelles, ainsi qu’à de nouveaux points de vue relativement à la nature de nombres irrationnels et transcendants particuliers. ”

“ Mais celui qui n’est pas de leur avis, celui qui ne reconnaît pas l’existence des nombres idéaux, à raison des difficultés qui sont à ses yeux la conséquence de la théorie des idées, et qui réduit les nombres au nombre mathématique, quelles preuves lui donnera-t-on que tels sont les caractères du nombre, et que le nombre entre pour quelque chose dans les autres êtres ? Et d’abord, ceux-là même qui admettent l’existence du nombre idéal ne montrent pas qu’il soit la cause d’aucun être : ils en font seulement une nature particulière qui existe par elle-même ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ C’est la soustraction seule qui éveille en nous l’idée de nullité, ou, comme on dit par pure extension de mots, l’idée d’un nombre nul. C’est elle aussi, qui, dans certains problèmes, amène en résultat des nombres négatifs. Les nombres négatifs sont des différences qui ne sont pas des nombres. Ils tirent leur origine d’une combinaison arbitraire, mais fondée sur une généralisation légitime, de symboles connus. ”

“ Le tort de ceux qui en parlent, ce n’est point de s’occuper d’êtres étrangers à la philosophie, mais c’est de ne rien dire de l’essence, laquelle est antérieure à ces modes. De même que le nombre en tant que nombre a des modes propres, par exemple, l’impair, le pair, la commensurabilité, l’égalité, l’augmentation, la diminution, modes et du nombre en soi et des nombres dans leurs rapports entre eux ”

“ Il est évident d’après cela que le troisième système, qui admet que le même nombre est à la fois et nombre idéal et nombre mathématique, est le plus faux de tous ; car ce système réunit à lui seul tous les défauts des deux autres. Le nombre mathématique n’est plus véritablement le nombre mathématique ; mais, comme on transforme hypothétiquement sa nature, on est forcé délai attribuer d’autres propriétés, outre les propriétés mathématiques : tout ce qui résulte de la supposition d’un nombre idéal est vrai aussi pour ce nombre ainsi considéré. ”

“ Les méthodes courantes pour l’introduction des nombres irrationnels se rattachent à deux principales : l’une repose sur la notion de coupure, l’autre sur la notion de suite convergente ; dans l’une et l’autre, une fois les nombres irrationnels introduits, on se préoccupe immédiatement de leur étendre les quatre opérations arithmétiques. ”

“ En ces étranges et invincibles pensées, j’entrevois seulement que l’un n’est pensé dans le nombre que par son rapport à lui-même, par cette opposition et distinction qui fait qu’il est le même en tous et pourtant autre. Non pas en même temps le même et en même temps autre ; mais plutôt il semble que l’un se meut et se transporte, selon un ordre qui fait naître les nombres, éternellement naître les nombres. Et puisqu’il y a ici quelque loi de production qui fait naître toujours les mêmes nombres selon le même ordre, en cette loi serait la vérité éternelle des nombres, et peut-être l’idée. ”

“ La distinction que nous cherchions, pour remplacer celle de l'infini en acte ou en puissance, est maintenant toute trouvée. C'est le nombre à la fois infini et déterminé qui est une absurdité, tandis que le nombre infini et indéterminé n'a rien qui répugne. ”

“ Ceux qui n’ont reconnu que les êtres mathématiques comme indépendants des objets sensibles, ont rejeté le nombre idéal et admis le nombre mathématique, parce qu’il avaient vu les difficultés, les hypothèses absurdes qu’entraînait la doctrine des idées. Ceux qui ont voulu admettre tout à la fois l’existence des idées et celle des nombres, ne voyant pas bien comment, en reconnaissant deux principes, on pourrait rendre le nombre mathématique indépendant du nombre idéal, ont identifié verbalement le nombre idéal et le nombre mathématique. ”

“ Si une fonction d’une seule variable , continue dans l’intervalle borné , prend pour et deux valeurs différentes, et si est un nombre compris entre ces valeurs, il y a au moins un nombre de l’intervalle pour lequel . ”

“ Toutes ces difficultés, et bien d’autres du même genre, prouvent jusqu’à l’évidence qu’il n’est pas possible, que ni le nombre, ni les grandeurs, soient séparés. Ensuite la divergence d’opinion entre les premiers philosophes au sujet du nombre, montre le trouble continuel où les jette la fausseté de leurs systèmes. ”

“ Lorsque l'erreur relative d'un nombre est exprimée par une fraction dont le numérateur est l'unité, il y a dans le nombre autant de chiffres exacts qu'il y de chiffres au dénominateur, pourvu que le Premier chiffre du nombre soit plus petit que celui du dénominateur dans le cas contraire il y en a un de moins. ”

“ Lorsqu'on supprime un ou plusieurs chiffres à la droite d'une fraction décimale, en laissant le dernier chiffre conservé invariable ou en l'augmentant d'une unité, l'erreur relative que l'on commet, est toujours moindre qu'une unité décimale d'un ordre égal au nombre des chiffres conservés, à partir du premier chiffre significatif, moins un. ”

“ Les nombres dont on a besoin de chercher la racine dans la pratique ne sont pas toujours des carrés parfaits comme ceux que nous venons de prendre pour modèles.
Il arrive même le plus souvent qu'on doit opérer sur des nombres irrationnels ; alors on est obligé d'évaluer leur racine approximativement ; mais, quelque grande que soit l'approximation , vous n'arriverez jamais à un nombre qui puisse être exprimé par des chiffres. ”

“ La fonction , étant un entier positif, considérée dans l’intervalle , est continue et croissante (d’après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à pour , et tend vers quand tend vers . On désigne la fonction inverse de par la notation
; c’est la racine e arithmétique du nombre positif . On voit que c’est une fonction continue et croissante de dans l’intervalle ; elle est égale à pour , et tend vers en même temps que .
Si est une fonction des variables , continue et non négative dans un champ, est définie dans ce champ et est continue, d’après le principe du § 38. ”

“ Bien plus, le nombre qui ne peut expliquer la nature générale des êtres, n’explique pas mieux les entités mathématiques elles-mêmes. L’arithmétique, où règne le nombre, n’épuise pas les mathématiques ; à côté d’elle, il y a la géométrie. Or, le nombre, qui ne peut pas nous dire ce que sont les êtres, ne nous dit pas davantage ce que sont les points, les lignes, les surfaces. Il faut pourtant le savoir. L’unité, d’où partent tous les nombres, n’est pas le point, d’où partent les grandeurs. ”

“ Et d’abord il ne peut pas être infini, cela est évident, car le nombre infini ne serait ni pair ni impair, et tous les nombres produits sont toujours ou pairs ou impairs. Si une unité vient se joindre à un nombre pair, il devient impair ; si la dyade indéfinie s’ajoute à l’unité, on a le nombre deux ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Considérons tous les couples de nombres rationnels vérifiant les conditions
et formons les différences ; ce sont des nombres positifs dont l’ensemble est borné ; car il y a des nombres rationnels , tels que , , et toutes les différences sont inférieures à . L’ensemble a donc une borne supérieure, qui est un nombre positif .
Dans le cas où et sont rationnels, parmi les couples vérifiant (1) se trouve le couple , , et la différence correspondante est supérieure à toutes les autres différences de . ”

“ Mais quand il n’y a qu’une ou deux classes ambiguës, le déterminant est régulier, ou du moins l’exposant d’irrégularité est impair. Tous les déterminans négatifs de la forme , le nombre excepté, sont irréguliers, et l’exposant d’irrégularité est divisible par . La même chose a lieu pour les déterminans négatifs de la forme et en exceptant le seul nombre , et pour une infinité d’autres.
Si l’exposant d’irrégularité est un nombre premier , est divisible par ; desorte que si n’est divisible par aucun nombre quarré, le déterminant sera nécessairement régulier. ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ Dans d’autres questions, au contraire, des lois connues permettent de mettre expérimentalement en évidence des nombres rationnels simples, les racines carrées de nombres entiers, le nombre etc. ; la liaison est alors intime entre le continu mathématique et le continu physique : la notion arithmétique du nombre intervient véritablement dans l’étude de la nature, et non pas seulement la notion empirique de mesure approchée. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ Quand dépasse une certaine valeur, on a
, et, quel que soit , pour une certaine valeur de , on a
. De
résulte
. Il est donc impossible que ait pour limite 0.
La conclusion est la même dans le cas de , ce qui démontre le Théorème II.
25. En considérant le cas particulier où les nombres sont tous égaux à un même nombre , auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite , on arrive à la conclusion suivante :
Théorème III. — Pour qu’une suite ait pour limite un nombre , il faut et il suffit que ait pour limite 0. ”

“ Aussi n’ont-ils rien dit de bon sur le feu, la terre et les autres choses semblables, et cela, parce qu’ils n’ont rien dit, je pense, qui convienne proprement aux choses sensibles. De plus, comment faut-il entendre que le nombre et les modifications du nombre sont la cause des êtres qui existent et qui naissent dans le monde , depuis l’origine jusqu’à présent, tandis que d’autre part il n’y a aucun autre nombre hors celui dont le monde est formé ? ”