F. Christin Bouchou

“ RACINES
324. Extraire une racine d'un nombre incommensurable, c'est trouver la limite d'une racine d'un nombre incommensurable, quand on le remplace par une fraction qui peut en approcher indéfiniment. ”

“ Lorsque le dénominateur de la fraction supposée irréductible n'est pas premier, sans être carré parfait, on peut ordinairement le rendre carré parfait plus simplement que par la méthode précédente. Pour cela, on le décompose en facteurs premiers, et on multiplie les deux termes de la fraction par le produit des facteurs premiers seulement nécessaires pour rendre pairs les exposants des facteurs premiers du dénominateur de la fraction. ”

“ Si l'on veut le quotient de deux fractions décimales, ou d'une fraction décimale par un nombre entier, ou d'un nombre entier par une fraction décimale à moins d'un millième ; on multiplie encore par 1000 le dividende, et on rend égaux les nombres des décimales du dividende et du diviseur, en écrivant des zéros à la droite de celui, qui en contient le moins. On fait abstraction des virgules et on cherche le quotient à moins d'une unité. Ce quotient est 1000 fois trop grand ; en le divisant par 1000, on a le quotient à moins d'un millième. ”

“ Donc, les nombres qui n'ont pas d'exposant, peuvent être considérés comme affectés de l'exposant 1, et par conséquent comme représentant leur puissance première.
La seconde puissance d'un nombre s'appelle aussi le carré de ce nombre, et la troisième puissance le cube.
On voit que l'élévation d'un nombre à une puissance, autre que 1, s'effectue par une ou plusieurs multiplications successives.
Nous ferons particulièrement remarquer qu'une puissance quelconque de 10 est égale à l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a d'unités dans le degré de cette puissance. ”

“ L'erreur absolue du quotient de deux nombres approchés est plus petite que la somme des produits qu'on obtient, en multipliant chaque terme de la division par la limite de l'erreur absolue de l'autre, divisée par le carré du diviseur. ”

“ Le mètre carré sert pour les surfaces ordinaires, comme la surface d'un plancher, d'un jardin. Le décamètre carré sert pour les surfaces des champs, des eaux et forêts, et s'appelle are.
L'are a un multiple l'hectare, qui vaut 100 ares ; et un sousmultiple le centiare, qui vaut le centième de l'are ou un mètre carré. De sorte qu'on lit un nombre d'ares, en hectares, comme on lit un nombre de mètres en hectomètres; et une fraction décimale d'ares en centiares, comme une fraction de mètres en centimètres. ”

“ On multiplie une fraction décimale par l'unité suivie d'un ou plusieurs zéros, en déplaçant la virgule de gauche à droite d'autant de rangs qu'il y a de zéros à la droite de l'unité.
Ainsi 5,034 x 100 = 503,4 ; car, d'après le principe fondamental de la numération écrite, chaque chiffre dans la seconde fraction égale des unités 100 fois plus grandes que dans la première.
Si la fraction n'a pas assez de décimales pour pouvoir effectuer le déplacement que nous venons d'indiquer, on remplace
les chiffres manquants par des zéros écrits à sa droite. ”

“ Lorsque le numérateur de la fraction qui exprime l'approximation, est égal à l'unité ; la règle se réduit alors a multiplier par le cube du dénominateur de cette fraction le nombre entier ou la fraction proposée ; à extraire la racine cubique du produit à moins d'une unité, et à diviser cette racine par le dénominateur qui marque l'approximation. ”

“ Nous ferons d'abord observer que, dans une fraction décimale une unité décimale d'un chiffre quelconque a toujours une valeur plus grande que celle qui est représentée par les chiffres suivants de droite. ”

“ Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on examine si ce nombre est divisible par les nombres premiers 2, 3. 5, 7 etc. pris suivant leur ordre de grandeur croissante; jusqu'à ce qu'on arrive à une division, qui se fasse exactement, ou à un quotient plus petit que le diviseur premier, que l'on essaye. Dans le premier cas on examine, si le quotient est divisible par le nombre premier déjà employé pour l'obtenir, ou par les nombres premiers supérieurs ; jusqu'à ce qu'on arrive à une division qui se fasse exactement, ou à un quotient plus
petit que le diviseur premier que l'on essaye ”

“ Il peut arriver que la fraction du plus petit nombre fractionnaire soit plus grande que celle du plus grand ; alors après avoir réduit les fractions au même dénominateur, on augmente la fraction du plus grand nombre fractionnaire d'une unité, et on opère la soustraction devenue possible. On ajoute ensuite une unité au nombre entier du plus petit nombre fractionnaire, avant d'opérer la soustraction des nombres entiers. ”

“ Un lemme est une vérité que l'on démontre pour la faire servir à la démonstration d'un théorème ou à la résolution d'un problème.
On appelle principe une vérité que l'on admet souvent sans démonstration, ou qui est facilement démontrée.
Un corollaire est une conséquence qui découle d'une ou de plusieurs propositions.
Une hypothèse est une supposition faite, soit dans l'énoncé d'une proposition, soit dans le courant d'une démonstration.
Une opération est une combinaison quelconque de nombres. ”

“ THÉORÈME. — Un produit de deux facteurs ne change pas quand on intervertit l'ordre de ses facteurs. Ainsi 4x3=3x4 En effet, on a 4 = 1 + 1 + 1 + 1. On regarde comme évident, qu'on n'altère pas une égalité en multipliant ses deux membres par un même nombre. ”

“ D'après cette remarque, en combinant la définition de la multiplication des fractions avec celle des nombres entiers (20) , on peut dire : que la multiplication des nombres entiers et fractionnaires a pour but de composer un nombre appelé produit avec un autre appelé multiplicande, comme un autre appelé multiplicateur se compose avec l'unité. ”

“ Lorsque on peut décomposer le diviseur en facteurs d'un seul chiffre, on abrége la division en divisant d'abord le dividende par un des facteurs, puis le quotient par un autre facteur, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs ”

“ On ne peut pas avec ces mesures évaluer toutes les quantités de leur espèce. Ainsi on ne peut pas évaluer en mètres la distance de la terre au soleil; car on obtiendrait un nombre de trop de chiffres pour l'introduire dans les calculs. On ne peut pas non plus évaluer en mètres l'épaisseur d'une planche, cette épaisseur étant plus petite que le mètre. Il a donc fallu former des mesures plus grandes et plus petites que les mesures principales. Ces nouvelles mesures sont 10,100, 1000 fois plus grandes ou plus petites que les mesures principales. ”

“ Lorsqu'un nombre est décomposé en deux parties, dont la première'admet un certain diviseur, tandis que la seconde ne l'admet pas, ce nombre n'est pas divisible par ce diviseur, et le reste de la division est le même que le reste de la division de la seconde partie par ce diviseur. ”

“ Pour obtenir à une unité près d'un certain ordre le produit de deux nombres entiers ou décimaux, on écrit sous le multiplicande le multiplicateur renversé de manière que le chiffre de ses unités simples corresponde au chiffre du multiplicande, qui exprime des unités cent fois plus petites que l'unité de l'approximation demandée. On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en négligeant à chaque multiplication la partie du multiplicande placée à la droite du chiffre du multiplicateur. ”

“ Ainsi 7 dixièmes, 9 centièmes, 35 millièmes sont des fractions décimales, les parties d'unité de ces fractions s'appellent unités décimales. Les dixièmes sont aussi appelés unités du premier ordre, les centièmes unités du second ordre, etc., les chiffres, qui les expriment, s'appellent chiffres décimaux ou simplement décimales.
Les unités décimales sont, comme les unités des nombres enliers, de dix en dix fois plus grandes ou plus petites. Ainsi 1 dixième est dix fois plus grand qu'un centième ”

“ Comme un nombre peut ne pas contenir toutes les unités des divers ordres qui succèdent à ses plus hautes unités, on a été obligé de se servir d'un dixième caractère, appelé zéro, qui n'a par lui-même aucune valeur, mais qui sert à occuper le rang des unités des ordres qui manquent. ”

“ Lorsqu'on n'énonce pas de partie entière, on écrit encore la fraction décimale, comme un nombre entier ; puis on place la virgule, de telle sorte encore que le dernier chiffre décimal occupe le rang marqué par l'ordre des unités qu'il représente ”

“ La soustraction des nombres incommensurables a pour but de trouver la limite de la différence de deux nombres incommensurables, quand on les remplace par deux fractions qui peuvent en approcher indéfiniment. ”

“ On obtient la valeur d'une fraction décimale avec une limite d'erreur relative égale à une unité décimale d'un certain ordre, en prenant sur la gauche de cette fraction, à partir de son premier chiffre significatif, autant de chiffres plus un que l'indique l'ordre de cette unité décimale, et laissant le dernier chiffre conservé invariable ou l'augmentant d'une unité. ”

“ Si nous désignons le dividende par a, le diviseur par b, le quotient par q; on devra avoir la relation a == bxq. (a, b, q sont ici supposés représenter des nombres entiers; toutes les lettres dont nous nous servirons dans ce livre, seront toujours supposées représenter des nombres entiers) . Dans le produit b x q, on peut arbitrairement considérer q comme le multiplicande ou le multiplicateur. Si on considère q comme le multiplicande, on voit que la division a pour but de trouver un nombre qui, répété autant de fois qu'il y a d'unités dans Je diviseur, reproduise le dividende ”

“ Les fractions variables, pouvant approcher indéfiniment des nombres incommensurables, se présentent dans la pratique sous la forme de fractions décimales d'un nombre illimité de chiffres décimaux, mais non périodiques. Leurs limites représentant des quantités qui n'ont pas de commune mesure avec l'unité, ne peuvent pas être exprimées exactement par des nombres. ”