J. Blatairou

“ Il arrive souvent qu'ayant une fraction ordinaire, on veut la changer en une fraction décimale : c'est précisément le cas traité au n° 139, où l'on veut trouver au moyen des décimales, le quotient d'une division dans laquelle le dividende est plus petit que le diviseur. En relisant ce que nous avons dit dans cet article et en généralisant, on établira le procédé suivant : Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, disposez le numérateur et le dénominateur comme vous le feriez pour diviser le premier par le second, puis écrivez au quotient un zéro et une virgule. ”

“ Pour extraire la racine carrée d'une fraction dont aucun terme n'est un carré parfait, multipliez les deux termes par le dénominateur, puis extrayez la racine carrée de la fraction qui en résulte, d'après la règle donnée pour le second cas, et vous aurez la racine carrée de la fraction proposée à moins d'une partie de l'unité de l'espèce marquée par le dénominateur ; ou, ce qui revient au même, multipliez le numérateur par le dénominateur, extrayez la racine carrée du produit à moins d'une unité, et donnez à cette racine, le dénominateur de la fraction proposée. ”

“ Élever un nombre à une puissance n'est donc autre chose que le multiplier. On pourrait même dire que l'élévation aux puissances est, par rapport à la multiplication ordinaire, ce que celleci est par rapport à l'addition, puisqu'une multiplication n'est qu'une addition dans laquelle tous les nombres à ajouter sont égaux, et qu'une élévation à une puissance n'est qu'une ou plusieurs multiplications, dans laquelle les facteurs sont égaux. ”

“ En résumant ce qui précède, nous dirons, que l'unité est une quantité fournie par la nature, ou choisie arbitrairement pour étaluer d'autres quantités de même espèce et les comparer entre elles, et qu'un nombre est le rapport qui existe entre une quantité et l'unité employée pour l'évaluer. ”

“ Telle est la définition que l'on donne ordinairement de la quantité; il est facile de voir, d'après cela, que, parmi les quantités, les unes sont susceptibles d'être appréciées exactement, d'être mesurées: une ligne, par exemple, un poids déterminé ; d'autres au contraire, ne sont pas susceptibles d'être mesurées avec précision : par exemple, un sentiment de joie, de tristesse.
Les quantités de la première espèce sont les seules dont on s'occupe dans les mathématiques ; ou plutôt les mathématiques ne s'occupent des quantités qu'à ce point de vue qu'elle sont mesurables. ”

“ Car le diviser par 3 et par 5, par exemple, c'est lui ôter un facteur égal à 3, puis un facteur égal à 5, par conséquent deux facteurs dont le produit est 15; et le diviser par le produit de 3 par 5, c'est le diviser par 15 ou lui ôter un facteur 15. Or, ce que nous disons ici des nombres 3 et 5, nous le dirions évidemment de deux autres nombres quelconques, et le même raisonnement prouverait notre proposition, savoir : que diviser un nombre par plusieurs autres revient à le diviser par leur produit. ”

“ En traitant de la multiplication, nous avons vu quels changements éprouve un produit lorsque le multiplicande ou le multiplicateur, ou l'un et l'autre en même temps, deviennent un certain nombre de fois plus grands ou plus petits. Il est naturel de se demander quel changement éprouvera un quotient lorsqu'on fera de pareils changements sur le dividende ou le diviseur. ”

“ Pour énoncer une fraction, on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur, en ajoutant à celui-ci la terminaison ième. Ainsi, la fraction f, par exemple, s'énoncera quatre septièmes. Remarquons, toutefois, que quand le dénominateur est un des nombres 2, 3, 4, il s'exprime par ces mots : demi, tiers, quart. Ainsi, les fractions L L £ s'énoncent comme il suit : un demi, deux tiers, trois quarts.
Quand on sait exprimer une fraction, rien de plus facile que d'exprimer un nombre fractionnaire. ”

“ Lorsqu'un nombre entier n'a pas de racine cubique exacte en nombre entier, on prouve, comme pour le cas correspondant des racines carrées, que ce nombre n'a pas non plus de racine cubique exacte en fraction. ”

“ Si la fraction renferme un nombre déterminé de chiffres, rien n'est plus facile que de lui donner la forme des fractions ordinaires, on n'a qu'à effacer le zéro et la virgule qui précèdent les décimales, et aussi les zéros qui pourraient se trouver avant le premier chiffre significatif, et mettre pour dénominateurs 10, 100', 1000, etc., suivant que le dernier chiffre décimal exprimera des dixièmes, des centièmes, des millièmes, etc. ”

“ Nous avons, dans les chapitres précédents, appris à combiner les nombres par addition, soustraction, multiplication, division; à les élever à des puissances ; à en extraire des racines. C'est à cela que se borne l'Arithmétique. Lorsqu'on propose un problème, c'est-àdire, lorsqu'on demande de trouver une quantité inconnue qui remplisse certaines conditions, si les données (a) de ce problème sont exprimées par des nombres, il faut, pour trouver la quantité demandée, combiner ces nombres de différentes manières. L'Arithmétique enseigne les moyens de faire ces combinaisons ”

“ Et, pour convertir un nombre complexe en une seule fraction de l'unité principale, convertissez-le d'abord en unités de la plus petite espèce, et donnez pour dénominateur au nombre trouvé, le nombre qui exprime combien il faut d'unités de la plus petite espèce pour faire une unité principale. ”

“ On peut remarquer que tous les procédés que nous venons de donner pour trouver l'intérêt d'un capital se réduisent à deux choses : — 1° multiplier le capital par le temps , c'est-à-dire par le nombre d'ans , ou de jours, ou de mois qu'à duré le placement ; — 2° diviser le produit obtenu par le nombre que nous avons appelé diviseur correspondant au taux et à l'unité de temps. ”

“ Cela posé, on voit que ces décompositions doivent avoir un terme ; car si elles n'en avaient pas, il s'ensuivrait que le nombre A serait le produit d'une infinité de facteurs entiers, et par conséquent serait un nombre infini, ce qui n'est pas possible. Il viendra donc un moment où les facteurs obtenus ne pourront être divisés par aucun nombre, si ce n'est par eux-mêmes ou par l'unité, et par conséquent seront premiers. Donc tout nombre qui n'est pas premier peut se décomposer en facteurs premiers. ”

“ Nous avons dit (250.) que la détermination d'une quantité inconnue nécessite quelquefois plusieurs proportions, et qu'alors la règle de trois est dite composée. Une règle de trois composée est, comme nous allons le voir, un ensemble de règles de trois simples, liées les unes aux autres par l'énoncé du problème a résoudre, et
l'on dit qu'une semblable règle est directe, ou inverse, ou en partie directe et en partie inverse, suivant que les règles de trois simples, dont elle est composée, sont toutes directes, ou toutes inverses, ou les unes directes et les autres inverses. ”

“ Et pour diviser une fraction par un nombre entier, 3, par exemple, il faut ou multiplier le dénominateur par 3, ce qui est toujours possible , ou diviser le numérateur par 3 ; et l'on n'emploie ce dernier procédé que quand le numérateur est un multiple de 3.
Ces idées sont très-simples ; mais il faut se les rendre bien familières avant de passer plus loin ; c'est pour cela que nous les avons reproduites sous différentes formes. Quand on sait bien ce que l'on sait, on y trouve facilement beaucoup de choses qu'on ne sait pas. ”

“ On voit facilement qu'une fraction est improprement dite toutes les fois que le dénominateur n'est pas plus grand que le numérateur (6.) .
86. On a besoin quelquefois de trouver les entiers contenus dans une fraction improprement dite. Puisqu'une fraction n'est que l'indication d'une division, on voit que pour avoir ces entiers il suffit d'effectuer la division; le quotient donnera les entiers, et le reste, s'il y en a un, sera le numérateur d'une nouvelle fraction qui aura le même dénominateur que la première. ”

“ La multiplication des fractions embarrasse quelquefois les commençants. En partant de la définition que l'on donne ordinairement de la multiplication, ils ne comprennent pas ce que c'est que multiplier par une fraction, et sont tout étonnés des résultats auxquels conduisent les procédés que l'on donne pour faire ces multiplications. ”

“ Il résulte de ce qui précède que la division résolvant ce problème général : Étant donné un produit et l'un des facteurs, trouver l'autre facteur, peut servir à deux usages : 1° à chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre, comme dans le premier exemple, et alors le facteur donné est le multiplicande ; 2° à partager un nombre en plusieurs parties égales pour avoir l'une de ces parties, comme dans le deuxième exemple, et alors le facteur donné est le multiplicateur. ”

“ Mais, en assujettissant les divisions de l'unité à un mode particulier de décroissement, on est parvenu à apporter une grande simplicité dans les calculs. Nous allons nous occuper des fractions qui résultent de ce mode de division.
Supposons l'unité partagée en dix parties égales, chacune de ces parties sera un dixième de l'unité ; si l'on partage ensuite chaque dixième en dix parties égales, ces parties seront des centièmes de l'unité. De même, si l'on partage chaque centième en dix parties égales, ces nouvelles subdivisions seront des millièmes. ”

“ Pour diviser un nombre par un autre, lorsque le diviseur ayant plusieurs chiffres, le quotient ne doit en avoir qu'un, divisez le premier ou les deux premiers chiffres du dividende par le premier chiffre du diviseur, et vous trouverez un quotient; multipliez ensuite le diviseur par ce quotient, et, si le produit ne peut se retrancher du dividende, diminuez le quotient trouvé d'une ou de plusieurs unités, jusqu'à ce que vous ayez un quotient tel qu'en multipliant par lui le diviseur, vous puissiez effectuer cette soustraction. ”

“ Soit proposé, "par exemple, d'extraire la racine cubique de 421875,
voici comment on peut raisonner : Puisque le nombre 421875 doit avoir à sa racine cubique des dizaines et des unités , on peut le considérer comme composé de quatre parties : 1° du cube des dizaines; 2°, 3°, 40 des trois autres parties qui composent le cube d'un nombre de deux chiffres. Or, la première partie, le cube des dizaines, donne un nombre exact de mille, et par conséquent ne se trouve pas dans les trois derniers chiffres 875. ”

“ Cela posé, quand on achète un nombre entier de mètres, 3 par exemple, on voit qu'il suffit, pour en connaître le prix, de prendre 12 francs 3 fois; on a donné à l'opération faite pour cela le nom de multiplication, et l'on a défini la multiplication une opération par laquelle on prend un nombre autant de fois qu'il y a d'unités dans un autre. Au contraire, quand on achète une fraction de mètre seulement, on en trouve le prix en prenant seulement une partie de 12 francs. ”

“ Si l'on a bien remarqué la manière dont nous avons résolu la dernière question, on en conclura que pour ramener la règle de société composée à la règle de société simple, il faut multiplier le capital fourni par chaque associé par le nombre qui exprime combien de temps il est resté dans la société ”

“ Il est bon de ne point négliger les simplifications dont nous venons de parler; dans beaucoup de cas on peut trouver un multiple de tous les dénominateurs plus simple que celui qu'on obtient en faisant leur produit. Il y a même un moyen de trouver toujours le multiple le plus simple ; mais nous en renvoyons l'explication à la note cinquième.
102. Maintenant il nous sera bien facile d'additionner les fractions qui n'ont pas le même dénominateur; il suffira de les réduire au même dénominateur, puis d'ajouter les numérateurs, en conservant à la somme le dénominateur commun ”

“ Donc, dans le carré de N il n'y aura aucun facteur N premier commun au numérateur et au dénominateur, et, par conséquent, le dénominateur ne pourra pas diviser exactement le numérateur (297.) ; donc ce carré ne pourra se réduire à un nombre entier.
Nous venons de prouver qu'une fraction ou expression fractionnaire ne peut jamais avoir pour carré un nombre entier; donc, réciproquement, un nombre entier ne peut jamais avoir pour racine carrée une fraction, ce qui est la proposition qu'il fallait démontrer. ”

“ Le nombre suivant appelé dix ou dizaines été employé comme une unité composée, avec laquelle on a compté comme avec les unités simples, et on a dit: une, deux, trois, quatre, etc., dizaines. Dix dizaines ont fait une nouvelle unité composée appelée centaine, et l'on a compté par centaines comme par unités et par dizaines, et on a dit : une, deux, trois, quatre, etc. , centaines. Les mots un, deux, trois, etc., ont donc été employés pour exprimer les différentes
collections d'unités de quelque ordre que ce soit. ”

“ Soit, pour exemple, le problème suivant : Un capital de 750 francs a produit 37 francs 50 centimes d'intérêt dans un an : on demande quel est le taux de l'intérêt. Il est évident que la question revient à celle-ci : Si un capital de 750 francs produit un intérêt de 37 francs 50 centimes, quel intérêt produira un capital de 100 francs ? ”

“ Dans les différentes divisions partielles qu'on doit effectuer il ne peut jamais arriver qu'on trouve un quotient plus fort que 9 ; c'est une conséquence des raisonnements que nous avons faits jusqu'ici. Voici, du reste, comment on pourrait s'en convaincre. Pour qu'on pût trouver plus de 9 dans une division partielle, il faudrait que le dividende partiel fût au moins 10 fois aussi grand que le diviseur ”