Étienne Bezout

“ Chaque art subdivise à sa manière l'unité principale qu'il s'est choisie. Les subdivisions du mètre sont différentes de celles du jour, de l'heure ; celles du jour, différentes de celles de la circonférence, et ainsi de suite: nous les ferons connaître lorsque nous traiterons des nombres complexes.
20. Mais de toutes les divisions et subdivisions qu'on peut faire de l'unité, celle qui se fait par décimales, c'est-à-dire en partageant l'unité en parties de dix en dix fois plus petites, est incontestablement la plus commode dans les calculs. ”

“ Ainsi, pour marquer sept mille huit cent cinquante-neuf, on écrira 7859; pour marquer sept mille neuf, on écrira 7009; et pour sept mille, on écrira 7000; où l'on voit qu'un chiffre suivi de trois autres, ou de trois zéros, marque un nombre mille fois plus grand que s'il était seul.
13. En continuant ainsi de renfermer dix unités d'un certain ordre dans une seule unité, et de placer ces nouvelles unités dans des rangs de plus en plus avancés vers la gauche, on parvient à exprimer d'une manière uniforme, et avec dix caractères seulement, tous les nombres entiers imaginables. ”

“ Mais on peut toujours ramener une proportion à cet état (175) en multipliant les deux conséquents par la raison. Cette multiplication fera, à la vérité, que le produit des extrêmes sera un certain nombre de fois plus grand qu'il n'aurait été, ou sera un certain nombre de fois plus petit, si le rapport est une fraction ; mais elle produira le même effet sur celui des moyens; donc, puisque après cette multiplication, le produit des extrêmes serait égal au produit des moyens, ces deux produits doivent aussi être égaux sans cette même multiplication. ”

“ Donc, si le premier terme de la progression est l'unité, chaque autre terme sera formé de la raison même élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent; car la multiplication par le premier terme qui est l'unité, n'augmente point le produit. ”

“ Do tous les moyens qu'on peut employer pour réduire une fraction à une expression plus simple, le plus direct est celui de diviser les deux termes par le plus grand diviseur commun qu'ils puissent avoir : voici la règle pour trouver ce plus grand diviseur.
Divisez le plus grand des deux termes par le plus petit; s'il n'y a point de reste, c'est le plus petit terme qui est le plus grand diviseur commun. ”

“ On peut le plus souvent pousser chaque division jusqu'à un chiffre de plus, c'est-à-dire jusqu'à autant de chiffres qu'on en a déjà à la racine ; mais il y a quelques cas, rares à la vérité , où l'erreur sur le dernier chiffre pourrait aller jusqu'à cinq unités; au lieu qu'en se bornant à un chiffre de moins, comme nous venons de le faire, on n'a jamais à craindre même une unité d'erreur sur le dernier chiffre. ”

“ La division sert non-seulement à trouver combien de fois un nombre en contient un autre, mais encore à partager un nombre en parties égales. Prendre la moitié, le tiers, le quart, le cinquième, le vingtième, le trentième, etc., d'un nombre, c'est diviser ce nombre par 2, 3, 4, 5, 20, 30, etc , ou le partager en 2, 3, 4, 5, 20, 30, etc., parties égales, pour prendre une de ces parties.
La division sert encore à convertir les unités d'une certaine espèce en unités d'une espèce supérieure; par exemple, un certain nombre de minutes en heures, et celles-ci en jours. ”

“ L'unité est une quantité que l'on prend (le plus souvent arbitrairement) pour servir de terme de comparaison à toutes les quantités d'une même espèce ainsi lorsqu'on dit un tel corps pèse cinq kilogrammes, le kilogramme est l'unité ; c'est la quantité à laquelle on compare le poids de ce corps ; on aurait pu également prendre l'hectogramme pour unité, et alors le poids de ce corps eût été marqué par cinquante. 5. Le nombre exprime de combien d'unités, ou de parties d'unité, une quantité est composée. ”

“ Examinons maintenant les changements qu'on peut faire naître dans un nombre par le déplacement de la virgule.
Puisque la virgule détermine la place des unités, et que tous les autres chiffres ont des valeurs dépendantes de leurs distances à cette même virgule; si l'on avance la virgule d'une, deux, trois, etc. places sur la gauche, on rend le nombre 10, 100, 1000, etc. fois plus petit; et au contraire on le rend 10, 100, 1000, etc. fois plus grand, si l'on recule la virgule d'une, deux, trois, etc. places sur la droite. ”

“ Lorsqu'il se trouve des zéros entre les chiffres du multiplicateur, comme la multiplication par ces zéros ne donnerait que des zéros, on se dispensera d'écrire ceux-ci dans le produit; et, passant tout de suite à la multiplication par le premier chiffre significatif qui vient après ces zéros, on en avancera le produit sur la gauche d'autant de places plus une qu'il y a de zéros qui se suivent dans le multiplicateur, c'est-à-dire de deux places s'il y a un zéro, de trois s'il y en a deux. ”

“ La soustraction est l'opération par laquelle on retranche un nombre d'un autre nombre. Le résultat de cette opération s'appelle reste, ou excès, ou différence.
Pour faire cette opération, on écrira le nombre qu'on veut retrancher, au-dessous de l'autre, de la même manière que dans l'addition; et ayant souligné le tout, on retranchera, en allant de droite à gauche, chaque nombre inférieur, de son correspondant supérieur; c'est-à-dire les unités des unités, les dizaines des dizaines, etc. ; on écrira chaque reste au-dessous, dans le même ordre, et zéro lorsqu'il ne restera rien. ”

“ Dans les extractions des racines, pour éviter toute méprise, lorsqu'il entrera des compléments arithmétiques dans les logarithmes dont on fera usage, on aura soin d'ajouter ou d'ôter à la caractéristique autant de dizaines qu'il est nécessaire pour que ce dont elle sera trop forte soit précisément d'autant de dizaines qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque le degré de la racine : et ayant, conformément à la règle ordinaire, divisé par le nombre qui marque le degré de la racine, la caractéristique sera trop forte précisément de 10 unités. ”

“ Un nombre que l'on carre, est donc tout à la fois multiplicande et multiplicateur; il est donc deux fois facteur (42) du produit ; c'est pour cela qu'on appelle aussi ce produit ou carré, la seconde puissance de ce nombre.
Il ne faut d'autre art pour carrer un nombre, que de le multiplier par lui-même selon les règles ordinaires de la multiplication ; mais pour extraire la racine carrée d'un nombre, c'est-à-dire pour revenir du carré à la racine, il faut une
méthode, du moins lorsque le nombre ou carré proposé a plus de deux chiffres. ”

“ Pour se faire une idée nette des fractions, il faut concevoir que la quantité qu'on a prise d'abord pour unité est elle-même composée d'un certain nombre d'unités plus petites, comme l'on conçoit, par exemple, que l'heure est composée de soixante parties ou de soixante unités plus petites qu'on appelle minutes. ”

“ Par un raisonnement semblable, on voit que moins on supposera de parties dans l'unité, moins il faudra de ces parties pour former une même quantité ; que par conséquent on peut, sans changer une fraction, rendre son dénominateur 2, 5, 4, etc., fois plus petit, pourvu qu'en même temps on rende son numérateur 2, 5, 4, etc., fois plus petit; et en général, une fraction ne change point de valeur quand on divise ses deux termes par un même nombre. ”

“ Dans notre système de poids et mesures, chaque unité principale se compose par dizaines pour former des unités de plus en plus grandes, et se décompose par dixièmes pour former des unités de plus en plus petites, absolument comme les nombres entiers et leurs parties décimales. ”

“ Lorsque le nombre proposé n'est pas un cube parfait, la racine qu'on trouve n'est qu'une racine approchée, et il est rare qu'il soit suffisant de l'avoir en nombres entiers. Les décimales sont encore d'un usage très-avantageux pour pousser cette approximation beaucoup plus loin, et aussi loin qu'on le désire, sans que cependant on puisse atteindre à une racine exacte.
156. Pour approcher aussi près qu'on le voudra de la racine cubique d'un cube imparfait, il faut mettre à la suite de ce nombre trois fois autant de zéros qu'on veut avoir de décimales à la racine ”

“ Mais si le dividende et le diviseur ont des unités de même espèce, il faut, avant de faire la division, examiner si le quotient doit être ou ne pas être de même espèce qu'eux ; ce que l'état de la question décide toujours. ”

“ Tout changement fait dans une proportion, de manière que la somme de l'antécédent et du conséquent, ou leur différence, soit comparée à l'antécédent ou au conséquent ; de la même manière dans chaque rapport, formera toujours une proportion. ”

“ Ces moyens consistent à réduire le calcul des nombres les plus composés à celui de nombres plus simples, ou exprimés parle plus petit nombre de chiffres possible. C'est ce qu'il s'agit d'exposer actuellement.
DE L'ADDITION DES NOMBRES ENTIERS ET DES PARTIES DÉCIMALES.
55. Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres par un seul est ce qu'on appelle faire une addition.
Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante. ”

“ Or, il y a le même nombre de termes de part et d'autre.
Concluons de là qu'un terme quelconque de la progression géométrique aura toujours pour correspondant, dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celle-ci autant de fois
que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s'agit. ”

“ Il reste à expliquer pourquoi la suppression de la virgule dans le dividende et dans le diviseur ne change rien au quotient lorsqu'on a rendu le nombre des décimales le même dans chacun de ces deux nombres : c'est ce qu'il est aisé d'apercevoir, parce que dans l'exemple ci-dessus le dividende 12,52, et le diviseur 4,30 ne sont autre chose que 1252 centièmes et 430 centièmes , puisque les unités entières valent des centaines de centièmes (22) ; or, il est clair que 1252 centièmes ne contiennent pas autrement 430 centièmes, que 1252 unités ne contiennent 430 unités ”

“ Les parties de l'unité, que nous venons de décrire sont ce que l'on appelle les décimales.
25. Quant à la manière de les énoncer, elle est la même que pour les autres nombres. Après avoir énoncé les chiffres qui sont à la gauche de la virgule, on énonce les décimales de la même manière; mais on ajoute, à la fin, le nom des unités décimales de la dernière espèce; ainsi, pour énoncer ce nombre 54,572, on dirait trentequatre unités et cinq cent soixante et douze millièmes; si c'étaient des mètres, par exemple, on dirait trente-quatre mètres et cinq cent soixante et douze millièmes de mètre. ”

“ Supprimez, sur la droite du dividende, autant de chiffres moins un qu'il y en a dans le diviseur; faites ensuite la division comme à l'ordinaire; s'il n'y a point de reste, vous mettrez à la suite du quotient autant de zéros que vous avez supprimé de chiffres dans le dividende. Mais s'il y a un reste, vous continuerez de diviser, non pas par le même diviseur qu'auparavant, ce qui n'est plus possible, mais par ce diviseur dont vous aurez supprimé le dernier chiffre de la droite ”