Joseph Bertrand

“ Au lieu de dire que les deux premiers nombres sont un certain nombre de fois plus grands que les deux autres, et ont un plus grand commun diviseur le même nombre de fois plus grand, on peut dire, au contraire, que les deux derniers sont un certain nombre de fois plus petits qu'eux, et ont un commun diviseur le même nombre de fois plus petit, le théorème peut donc être énoncé ainsi : si deux nombres entiers sont un certain nombre de fois plus petits que deux autres, leur plus grand commun diviseur est le même nombre de fois plus petit ”

“ THÉORÈME I. Tout nombre entier qui n'est pas premier, admet ait moins un diviseur premier.
Si, en effet, un nombre n'est pas premier, il admet un ou plusieurs diviseurs autres que lui-même et l'unité : or il est évident que le plus petit de ces diviseurs est premier, car, s'il en était autrement, il admettrait un diviseur plus petit que lui, qui devrait diviser le nombre proposé. ”

“ REMARQUE. Quand les chiffres de rang impair ont une somme plus grande que ceux de rang pair, on peut dire : un nombre entier est égal à un multiple de 11, augmenté de l'excès de la somme des chiffres de rang impair sur la somme des chiffres de rang pair. Quand, au contraire, la somme des chiffres de rang pair est la plus grande, on peut dire : un nombre entier est égal à un multiple de 11, diminué de l'excès de la somme des chiffres de rang pair sur celle des chiffres de rang impair. ”

“ L'opération par laquelle on forme les puissances d'un nombre s'appelle élévation aux puissances.
EXEMPLE. Dans notre système de numération, les unités des divers ordres, dix, cent, mille, etc., sont les puissances de la base dix.
Pour écrire une puissance d'un nombre, on écrit, au-dessus de lui, le nombre de fois qu'il doit être pris comme facteur, qui se nomme l'exposant de la puissance. ”

“ THÉORÈME II. Pour diviser un nombre par le produit de plusieurs facteurs, il suffit de le diviser successivement par chacun d'eux.
1° Ce théorème est évident dans le cas où les divisions se font exactement. Si l'on a, par exemple, à diviser une grandeur en 35 parties égales, on peut la partager d'abord en 5, puis partager ensuite chacune des cinq parties en 7. Cela fera, en tout, sept fois cinq ou trente-cinq parties, évidemment égales entre
elles, et représentant, par conséquent, le quotient de la division de la grandeur considérée par le nombre 35. ”

“ REMARQUE II. Pour rendre un nombre décimal dix, cent, mille, fois plus grand ou plus petit, il suffit de déplacer la virgule d'un, deux, trois rangs vers la droite ou vers la gauche, car chaque chiffre exprimera ainsi une valeur dix, cent, mille fois plus grande ou plus petite. Si le nombre des chiffres ne permettait pas ce transport de la virgule, on le rendrait possible en écrivant des zéros à la droite des chiffres décimaux ou à la gauche de la partie entière. ”

“ Dans une progression par quotient, chaque terme se forme en multipliant le précédent par la raison : il en résulte que pour former un terme de rang quelconque, il faut multiplier le premier, par la raison prise autant de fois comme facteur, qu'il y a de termes avant celui que l'on considère, c'est-àdire par la raison élevée à une puissance marquée par ce nombre de termes. ”

“ EXEMPLE. Si l'on divise l'unité en sept parties égales, la réunion de cinq de ces parties se représente par f, que l'on prononce cinq septièmes.
Il y a exception pour les dénominateurs 2, 3, 4; au lieu de deuxième, troisième, quatrième, on dit demi, tiers, quart.
Lorsqu'une grandeur est une fraction de l'unité, cette fraction est le nombre qui lui sert de mesure. ”

“ Mesurer une grandeur, c'est la déterminer avec précision en la comparant à une autre grandeur de même nature que l'on regarde comme connue. Dire, par exemple, qu'une longueur a trois mètres, c'est en donner la mesure et l'exprimer au moyen du mètre.
La grandeur qui sert ainsi à en mesurer d'autres prend le nom d'unité. Dans l'exemple précédent le mètre était l'unité.
4. Le résultat de la mesure d'une grandeur s'exprime par un nombre. ”

“ Les unités de dix en dix fois plus grandes et de dix en dix fois plus petites du système des nouvelles mesures sont la réalisation des unités de différents ordres employés dans la numération décimale. Il en résulte que les calculs sont aussi simples que si l'on se bornait à l'emploi exclusif d'une seule unité; rien de plus facile, en effet, que de rapporter à l'unité principale une grandeur exprimée au moyen de ses multiples et de ses sousmultiples décimaux. ”

“ REMARQUE. La décomposition en facteurs premiers constitue un véritable système de numération des nombres entiers, au moyen duquel tous peuvent être exprimés, et ne peuvent l'être que d'une seule manière. Ce système, fort incommode pour les opérations les plus simples, se prête quelquefois très-facilement aux opérations plus compliquées de l'arithmétique. Nous exposerons quelques-unes de ses applications; mais il convient d'abord d'indiquer le moyen de décomposer un nombre en facteurs premiers, car, jusqu'ici, nous nous sommes bornés à en montrer la possibilité. ”

“ Lorsqu'on multiplie un nombre entier par lui-même, les unités du produit proviennent du produit des unités du multiplicande par celles du multiplicateur, c'est-à-dire du carré du chiffre des unités. Or, quel que soit ce chiffre d'unités, son carré est 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 ou 81, et n'est, par conséquent, terminé par aucun des chiffres 2, 3, 7 ou 8. ”

“ REMARQUE. Toute fraction pouvant être rendue irréductible, le théorème précédent permet toujours de décider si une fraction donnée est égale à un nombre décimal ; dans le plus grand nombre des cas, une pareille transformation n'est pas possible, il faut définir ce qu'on entend alors par : réduire une fraction ordinaire en décimale.
182. D'après ce qui précède, une fraction ordinaire ne pourra pas, en général, se mettre sous la forme d'un nombre décimal.
A plus forte raison, une grandeur quelconque étant donnée, sa mesure exacte ne sera pas, en général, une fraction décimale. ”

“ Dans les calculs pratiques, on regarde souvent comme inutile d'obtenir pour résultat un nombre rigoureusement exact; il suffit ordinairement d'obtenir le nombre demandé à moins d'une unité d'un ordre donné.
Plus souvent encore, un résultat parfaitement exact est non-seulement inutile, mais complétement impossible, faute d'une précision suffisante dans les données; alors on emploie des méthodes plus expéditives pour abréger le calcul des nombres décimaux, en supprimant les chiffres qui seraient ou superflus ou inexacts. ”

“ REMARQUE. La différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale à trois fois le carré du plus petit, plus trois fois le plus petit, plus 1. Si, en effet, on désigne ces deux nombres par a et a + 1, on a, en vertu du théorème précédent, (a + 1) 8 = aS + 3a2 + 3a + 1 ; la différence (a + 1) 3 — aS est donc 3a8 + 3a + l.
291. THÉORÈME II. Le cube d'un produit est égal au produit des cubes des facteurs. ”

“ REMARQUE. Il arrive quelquefois que l'habitude du calcul faisant présumer qu'un chiffre à essayer est trop grand, on le diminue immédiatement d'une unité. En l'essayant après cette diminution, on s'assure qu'il n'est pas trop fort, et on saura qu'il n'est pas trop faible si le reste correspondant ne surpasse pas le triple carré du nombre formé par les chiffres déjà trouvés à la racine, plus le triple de ce nombre. ”

“ Quelquefois, pour rendre le dénominateur d'une fraction un cube parfait, on peut employer un multiplicateur moindre que le carré de son dénominateur : il suffit, en effet, que tous ses facteurs premiers acquièrent des exposants divisibles par 3, ce qui aura évidemment lieu si on multiplie le dénominateur par le produit de tous ceux de ses facteurs premiers dont l'exposant est de la forme 3n + 2, et par le carré de ceux dont l'exposant est de la forme 3n + 1. ”

“ REMARQUE. Un nombre premier, est premier avec tous les nombres entiers qui ne sont pas ses multiples, car n'ayant d'autres diviseurs que lui-même et l'unité, son seul diviseur commun avec un nombre qu'il ne divise pas, est évidemment l'unité. ”

“ THÉORÈME I. Si un nombre divise exactement toutes les parties d'une somme, il divise aussi la somme.
La somme étant en effet composée de parties égales chacune à un nombre entier de fois le diviseur, le contiendra, elle-même, un nombre entier de fois; car la somme de plusieurs nombres entiers est un nombre entier. ”

“ Si l'on détache, à la gauche du dividende, autant de chiffres qu'il en faut, pour former un nombre plus grand que le diviseur et moindre que dix fois le diviseur, le premier chiffre du quotient exprime des unités de même ordre que le nombre formé par des chiffres. ”