Arithmétique

“ L'ARITHMÉTIQUE est la science des nombres , et le nombre est une quantité d'unités réunies ensemble.
Par le mot quantité , on entend tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution, ce qui fait l'objet des mathématiques ; mais l'arithmétique est exprimée par toutes sortes de nombres proposés , et son but est de représenter les nombres , les composer et décomposer par des moyens faciles. ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ L’objet de l’arithmétique est le nombre, celui de l’algèbre, la quantité, celui de la géométrie, la forme, etc., mais le nombre, la quantité, la forme, etc., ne peuvent se définir en tête de la science qui s’en occupe, puisque c’est ce qui reste de réel, après abstraction faite de certaines différences, et que le but de la science est de rassembler les éléments de cette définition. ”

“ Comment chaque jour peuvent-ils faire leurs comptes si complexes? L’arithmétique les rend faciles. Traversez le Pont-au-Change, demandez aux orfèvres le secret de leurs alliages et comment, nouveaux Archimèdes, par le poids ils calculent le titre. Les mathématiques leur enseignent à le faire. ”

“ Arithmétique spécieuse, est cette espece d’Arithmétique qui enseigne à calculer les quantités exprimées par les lettres de l’alphabet, que les premiers algébristes appelloient species, especes, apparemment parce que ces lettres servent à exprimer généralement toutes les quantités, & en marquent ainsi l’espece générale, pour ainsi dire. On appelle cette arithmétique spécieuse, pour la distinguer de celle où les quantités sont exprimées par des nombres, qu’on appelle Arithmétique numérique. Voyez Arithmétique.
L’Arithmétique spécieuse, est ce que nous appellons communément Algebre. ”

“ Le calcul des valeurs, ou l'arithmétique, paraît, au premier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'algèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du calcul des fonctions. ”

“ Dans les élémens des mathématiques, on rencontre ces nombres qui sont d’un emploi continuel pour tous les usages, de la vie, et qu’on abandonne bientôt dès qu’on pénètre plus avant dans l’algèbre. Après avoir étudié les diverses branches des mathématiques, on retrouve de nouveau, aux limites, pour ainsi dire, de la science, les nombres entiers et les fractions, dont certaines propriétés, fort difficiles à découvrir, constituent une sorte d’arithmétique transcendante, qu’on appelle théorie des nombres. ”

“ Ce qui ne peut se faire qu’en beaucoup de temps par l’arithmétique se fait en un moment par l’algèbre et l’analyse, sans que l’esprit se brouille par le changement des chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d’arithmétique ne découvre qu’une vérité, une semblable opération d’algèbre en découvre une infinité. ”

“ L’Arithmétique, par exemple, est la science des rapports de nombre, — la Géométrie, des rapports de forme, — les Mathématiques en général, des rapports de quantité en général, de tout ce qui peut être augmenté ou diminué. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ L'arithmétique est la science des nombres ; la connaissance de ses règles et de ses procédés, ou tout au moins de moyens mécaniques d'arriver aux résultats de ses opérations, est indispensable à tout le monde. ”

“ Il ne faudrait pas croire qu'en nous servant ainsi de lettres pour représenter les nombres et par suite pour représenter les quantités, nous passions du domaine de l'arithmétique dans celui de l'algèbre, où l'on représente principalement les quantités par des lettres. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ Les nombres étant des rapports apperçûs par l’esprit, & distingués par des signes particuliers, l’Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l’art de combiner entr’eux ces rapports, en se servant pour faire cette combinaison des signes mêmes qui les distinguent. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ La règle arithmétique change de nom, en ce cas, je ne sais pas pourquoi. Dix forces mises dans une seule ne s’additionnent plus, elles se multiplient. En s’annihilant ainsi, de parti pris, dix hommes donnent cent forces. C’est la vraie vérité. ”

“ L'arithmétique comprend l'art d'effectuer les opérations auxquelles les nombres donnent naissance et l'étude de leurs propriétés; mais cette seconde partie sera réduite, dans ce traité, aux propositions fondamentales qui peuvent faciliter ou abréger les opérations.
NUMÉRATION DÉCIMALE.
Définition des nombres entiers.
7. Les nombres entiers sont ceux qui expriment l'unité ou la réunion de plusieurs unités. Leur étude constitue la partie
principale de l'arithmétique, car c'est toujours sur des nombres entiers que se font, en dernière analyse, les opérations. ”

“ L'autre arithmétique, suscitée par la complication croissante de la civilisation, d'abord très-circonscrite et moins estimée, s'est développée et agrandie, et est devenue l'Arithmétique positive, l'Arithmétique des modernes. ”

“ Si nous plaçons au début de chaque problème une convention explicite, tout ira bien, nous n’aurons plus qu’à appliquer les règles de l’arithmétique et de l’algèbre et nous irons jusqu’au bout du calcul sans que notre résultat puisse laisser place au doute ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ Il faut compter ! Je ne sais comment nous ne sommes tous bons arithméticiens, quand (même) nous n'aurions jamais vu arithmétique ni jetons ! Car nous ne pratiquons toute notre vie autre science avec eux. ”

“ Qu'est-ce que l'arithmétique? — Que nous apprend l'arithmétique? — Qu'est-ce qu'un nombre? — Comment appelle-t-on les choses dont un nombre est composé? —
A quoi sert la numération? — Que faut-il faire pour énoncer facilement les nombres? — Combien y a-t-il de chiffres dans une tranche? — Toutes les tranches doiventelles avoir trois chiffres? — Comment s'appelle la première tranche, en partant de la droite, la troisième, la quatrième? — Quel chiffre emploie-t-on pour remplacer les unités qui manquent dans un rang quelconque? ”

“ Qui veut la fin, veut les moyens. Ou bien il faut désespérer de voir l'instruction primaire atteindre le but qu'elle doit se proposer, ou bien il faut que toutes les méthodes de son enseignement cessent -de se traîner dans l'ornière de la routine, et l'Arithmétique est assurément une des premières qui doive en être tirée. ”

“ Enseignement de l'arithmétique. — La connaissance de l'arithmétique est indispensable à tout homme mêlé aux affaires. Le commerçant, l'industriel, l'ingénieur, l'ouvrier, ont besoin de savoir calculer avec rapidité et exactitude. Ce caractère Usuel de l'arithmétique indique assez que ses méthodes doivent avoir une grande simplicité, et que son enseignement doit être dégagé aved le plus grand soin de toute complication inutile. ”

“ Mais cet avantage n'est que secondaire, un autre bien plus important se manifestera à mesure que nous avancerons dans l'étude de l'arithmétique ; nous verrons que dans la solution de la plupart des questions d'arithmétique on opère séparément sur chacune de ces parties au lieu d'opérer immédiatement sur le nombre lui-même.
RÉSUMÉ.
1. Définition des grandeurs. — 2. Les grandeurs mesurables sont seules du ressort des mathématiques. — 3, Définition de l'unité. —4. Définition du nombre ; la pluralité est l'origine la plus simple de l'idée du nombre. ”

“ Je ne présente ici aucune ligne de calculs, parce que je n'entends procéder maintenant que par l'arithmétique du raisonnement', et non par celle des chiffres. Ce sont les principes qui servent de bases aux calculs; d'accord sur les bases, le travail des chiffres et leur application sont à la portée de tout le monde. ”

“ Idem, X. Nous venons de parvenir à résoudre complètement la question que nous proposions ici, et nous publierons cette recherche, qui éclaire singulièrement plusieurs parties de l’arithmétique transcendante et de l’analyse, lorsque nous aurons occasion de mettre au jour la continuation de cet ouvrage. ”

“ Dans l’addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres) , l’un des deux nombres représente l’excès de la somme sur l’autre nombre. Dans la multiplication l’un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l’autre nombre. Voyez Somme, Produit.
A l’égard du détail des opérations particulieres de l’Arithmétique, il dépend de la forme & de l’institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n’a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins ”

“ De plus , l'Arithmétique a, par elle-même et dans ses applications, une foule de résultats qu'il n'est plus permis d'ignorer, soit qu'on se borne à l'étude de cette .science, soit qu'on veuille s'occuper de géométrie usuelle, de dessin linéaire, etc., comme l'indiquent les programmes, d'ailleurs fort élastiques, des écoles primaires, supérieures ou autres. ”

“ En arithmétique, la grandeur à diviser est représentée par un nombre, et on cherche le nombre qui représente le quotient.Pour diviser une grandeur par une fraction, il suffit de la multiplier par la fraction diviseur renversée.
Soit, par exemple, à diviser par A 7 une grandeur que j'appelle A. Par définition, A est égal à quatre fois le septième du quotient. Ce septième est donc le quart de A, et par conséquent le quotient est les sept quarts de A, ou le produit de A par la fraction i. Ce qu'il fallait -démontrer. ”

“ L'Astronomie y trouve des ressources infinies ; & la Géométrie, ne peut presque s'en passer.
La commodité du calcul, & celle que donne le choix d'une Progression arithmétique quelconque, a fait préferer à toute autre, la progression décimale ; c'est-à-dire, celle ou chaque nombre est décuple de celui qui le précéde : & nous donnons à la progression arithmétique, une fuite immédiate des nombres naturels, commençant par zéro. Ainsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, &c. Et par ce moyen, le Logarithme de 1, est zéro ”

“ Tous les changemens que nous opérerons sur les nombres vont devenir maintenant un jeu du principe de la numération et l'introduction de tout mécanisme de calcul, ou de composition et de décomposition de nombres qui constituent au fond l'Arithmétique ; ils sont compris dans ce qui suit : 16. i.0 On peut ou placer à la droite du nombre proposé , ou à sa gauche, ou parmi les chiffres compris entre les deux extrêmes du nombre , un ou plusieurs zéros , et plus généralement un ou plusieurs chiffres (significatifs (i) ou .non) . ”