Théorie des nombres

“ De toutes les branches des mathématiques, la théorie des nombres est celle dont il est peut-être le moins difficile de donner quelque idée aux personnes du monde. Les énoncés des questions les plus simples relatives à cette théorie peuvent souvent s’expliquer assez clairement et ont été parfois compris dans ce qu’on appelle les jeux de société. ”

“ C’est ainsi qu’ont pris naissance le Problème des nombres premiers et les autres problèmes de l’Arithmétique, la théorie de Galois, des équations, la théorie des invariants algébriques, celle des fonctions abéliennes et automorphes ; c’est enfin là, d’une manière générale, l’origine de presque toutes les questions les plus délicates des théories modernes des nombres et des fonctions.
D’ailleurs, tandis que travaille le pouvoir créateur de la raison pure, le monde extérieur fait de nouveau sentir son influence ”

“ La théorie des nombres cessait d’être un dédale grâce à l’introduction des variables continues sur un terrain qui semblait réservé exclusivement à la discontinuité. L’analyse sortant de son domaine vous amenait ainsi un précieux renfort. On peut dire en effet que le prix de vos découvertes est encore rehaussé par le soin que vous avez toujours eu de mettre en évidence l’appui mutuel que se prêtent les unes aux autres ces sciences en apparence si diverses. ”

“ D'après cela : cinq plus sept et 5 +7, par exemple, sont des expressions non vulgaires, l'une verbale, l'autre en chiffres, du même - nombre, dont douze est l'expression vulgaire verbale, et 12 l'expression vulgaire en chiffres.
XIV. Le nombre 1, le premier ou le plus petit de tous les nombres, celui dont tous les autres se composent, est le seul qui n'ait pas d'expression en chiffres, ce qui devait être a cause de sa simplicité ; aussi l'homme qui, le premier, dans les temps les plus reculés, éleva le doigt, dont il est l'image, pour manifester le nombre 1, commença la science des nombres. ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ C'est le dernier des grands mathématiciens ayant eu des connaissances presque universelles : depuis cette époque, la littérature scientifique a pris un tel développement que les mathématiciens ont été forcés de se spécialiser et de s'attacher particulièrement à une branche ou à quelques branches particulières. Nous allons maintenant étudier brièvement les plus importantes découvertes que fit Gauss en mathématiques pures.
Son ouvrage le plus célèbre dans ce genre est les Disquisiliones Arithmeticæ, qui a été le point de départ de plusieurs études importantes sur la théorie des nombres. ”

“ La notion de nombre incommensurable sera déduite de la mesure des grandeurs ; on pourra définir les nombres incommensurables soit par des suites, soit par des coupures opérées dans l'ensemble des nombres rationnels. Il ne sera pas nécessaire de donner une théorie complète des opérations sur ces nombres, et l'on pourra admettre qu'elles sont soumises aux mêmes règles que les opérations élémentaires de l'arithmétique. L'essentiel est que les élèves sachent dans quels cas de tels nombres se trouvent définis, et comment ils interviennent dans les calculs numériques. ”

“ Legendre a nouvellement exposé sa démonstration dans un excellent ouvrage intitulé : Essai d’une théorie des nombres, p. 214 et suiv., mais cependant de manière à n’y rien changer d’essentiel, ensorte que cette méthode est encore sujette à toutes les objections que nous avons faites no 297. Il est vrai que le théorème (qui sert de base à une supposition) que dans toute progression arithmétique on trouvera des nombres premiers, si et n’ont pas de diviseur commun, a été exposé avec plus de détail dans cet ouvrage, p. ”

“ C’est ainsi que, dans les suites (1) (Sections III et VI) , le nombre est une fonction de définie pour toutes les valeurs entières positives de . Citons, comme exemples de fonctions définies pour toutes les valeurs réelles de la variable : la partie entière de (valeur approchée de à une unité près, par défaut) ; le nombre ; la valeur absolue de : ; le nombre lui-même. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ DE LA NUMÉRATION.
L'arithmétique est la science des nombres: elle nous apprend comment il faut calculer pour obtenir un nombre inconnu qu'on veut trouver. Calculer, c'est combiner les nombres, soit en
ajoutant l'un à l'autre, soit en retranchant l'un de l'autre. ”

“ La règle du sage est de ne jamais penser l’infini et le fini sans penser aux nombres et à la numération, hors desquels ces expressions n’ont plus de sens. La science des nombres forme comme le ciel des sciences, où s’élaborent les méthodes et les combinaisons. ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ S’il n’y avait pas de grandeurs mathématiques, il n’y aurait pas de nombres, tandis que les grandeurs mathématiques existent, même pour celui qui n’a pas l’idée de nombre. L’emploi des nombres tire principalement son utilité de ce que ceux-ci ne conservent pas la trace des grandeurs qui leur ont donné naissance ”

“ IRRATIONNEL Je ne connais rien de plus insupportable en mathématiques que les nombres irrationnels ; leur introduction en arithmétique est un véritable scandale : dans ce domaine si élémentaire, à côté de cette notion du nombre entier qui est la plus claire du monde, à côté de ces propositions si précises, de ces démonstrations si nettes que les plus grands mathématiciens ont pris à cœur d’accroître et de simplifier, et qui ont toute la beauté, toute la perfection de celles que les Grecs nous ont léguées, voici venir tout le cortège du transcendant et de l’infini. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ L'arithmétique est la science des nombres; le nombre est une multitude d'unités mises ensemble ; l'unité est un terme de comparaison. Deux règles forment toute l'arithmétique , c'est l'addition et la soustraction, viennent ensuite
comme auxiliaires la multiplication et la division. ”

“ Le chiffre qui concourt à former nos calculs est une création de l'esprit, faite pour représenter les quantités, les nombres, comme les signes et les mots représentent la pensée. Mais, par cela même qu'il est une création de l'esprit, il n'est quelque chose que pour l'esprit. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ Il y a dans les mathématiques une exactitude qui les accorde assez avec la vérité absolue. Les nombres ne sont redoutables, au contraire, que parce que la raison, tentée d’y rechercher son propre principe, risque de s’égarer jusqu’à ne voir dans l’univers qu’un système de nombres. Cette erreur a été condamnée par l’Église. Toutefois, je vous répondrai hardiment que la mathématique humaine n’est pas la mathématique divine. Sans doute il ne saurait y avoir contradiction de l’une à l’autre, et je désire croire que vous ne voulez pas me faire dire que pour Dieu, trois et trois peuvent faire neuf. ”

“ On ne conçoit qu'avec peine, quand on a étudié les mathématiques comme on les enseigne partout, qu'il se puisse faire qu'on calcule sans chiffres; parce que pour tous les calculateurs, pour tous les mathématiciens, les chiffres ne sont pas seulement les signes représentatifs des nombres, ce sont presque les nombres eux-mêmes, et pour nous le chiffre est si intimement lié au nombre que nous ne pouvons penser à l'un sans nous figurer l'autre. ”

“ Sans doute, ainsi que l’ont dit les Pythagoriciens, les Nombres se trouvent partout dans le monde où nous vivons, dans le ciel, que nous contemplons, dans la nature, que nous cherchons à interpréter. Le nombre est à l’état d’unité dans chacun des individus que nos sens perçoivent ; il est à l’état de multiplicité dans les collections que les individus peuvent former, soit dans une même espèce, soit dans des espèces différentes. Sans doute encore, il y a dans l’univers, dans le monde, des proportions et des harmonies, comme il y en a dans les sons que calculent les mathématiques. ”

“ Est-ce là le début de la démonstration annoncée, on pourrait le croire ; l’auteur, pense-t-on, ayant défini le nombre ordinal fini, et montré que sa définition est exempte de contradiction, va démontrer que tout nombre ordinal fini a un suivant qui est aussi un nombre ordinal fini, et il s’élèvera ainsi jusqu’à la notion du type ordinal de l’ensemble des nombres entiers, c’est-à-dire du plus petit infini. ”

“ Dans d’autres questions, au contraire, des lois connues permettent de mettre expérimentalement en évidence des nombres rationnels simples, les racines carrées de nombres entiers, le nombre etc. ; la liaison est alors intime entre le continu mathématique et le continu physique : la notion arithmétique du nombre intervient véritablement dans l’étude de la nature, et non pas seulement la notion empirique de mesure approchée. ”

“ Les nombres étant des rapports apperçûs par l’esprit, & distingués par des signes particuliers, l’Arithmétique, qui est la science des nombres, est donc l’art de combiner entr’eux ces rapports, en se servant pour faire cette combinaison des signes mêmes qui les distinguent. ”

“ L'idée de nombre est renfermée dans la signification de ces deux mots. — Numéral est un terme de grammaire et signifie qui désigne un nombre: trois est un adjectif numéral. Numérique est un terme de mathématiques et signifie qui a rapport aux nombres, qui se fait avec des nombres, qui a lieu entre des nombres : une opération numérique est une opération faite sur des nombres; une différence numérique est celle qui existe entre deux nombres. ”

“ Tout nombre se divise lui-même, parce que, multiplié par l'unité, il restera ce qu'il est.
Réciproquement tout nombre est divisible par 1, parce que l'unité est facteur de tous les nombres.
Quand un nombre n'est divisible que par luimême et par l'unité, on l'appèle nombre premier. ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ Et alors on pouvait bien supposer que cette antithèse serait prise dans le sens suivant lequel un mystique pouvait espérer de trouver quelque chose de singulier et d’esthétiquement remarquable parmi les propriétés des nombres ; telle est une liaison limitée à trois nombres qui se tiennent immédiatement dans la série infinie des nombres, quoique les mathématiques n’y trouvent rien de merveilleux. ”

“ La difficulté que l’on éprouve à donner une définition arithmétique satisfaisante des nombres irrationnels et des opérations relatives à ces nombres avait été, nous l’avons rappelé, l’une des pierres d’achoppement de la mathématique hellénique. Aussi les modernes ont-ils dû chercher de nouveaux moyens de surmonter cette difficulté. Leurs efforts ont principalement tendu à dégager, sous une forme aussi simple que possible, les postulats grâce auxquels on peut déduire la notion de nombre irrationnel de celle de nombre entier. ”