Carl Friedrich Gauss

“ Soient maintenant les longitudes géocentriques correspondant à ces trois positions du corps céleste ; leurs latitudes géocentriques ; leurs distances à la Terre projetées sur l’écliptique ; ensuite, les longitudes héliocentriques correspondantes de la Terre ; ses latitudes que nous ne posons pas égales à zéro, pour qu’il soit permis non-seulement d’avoir égard à la parallaxe, mais aussi, si l’on veut, d’adopter tout autre plan à la place de l’écliptique ; soient enfin, les distances de la Terre au Soleil projetées sur l’écliptique. ”

“ Lorsqu’une observation dont la précision n’est pas absolue, fait connaître une certaine quantité liée analytiquement à une grandeur inconnue, le résultat de cette observation peut fournir pour l’inconnue une valeur erronée, mais dans la détermination de laquelle il n’y a rien d’arbitraire qui puisse donner lieu à un choix plus ou moins vraisemblable.
Mais si plusieurs fonctions de la même inconnue sont données par des observations imparfaites, chaque observation fournira une valeur de l’inconnue, et l’on pourra également obtenir des valeurs, par la combinaison de plusieurs observations. ”

“ Quoique ces Tables, qui sont dans les mains de tout le monde, et que l’on doit espérer devoir accroître encore par la suite, suffisent dans la plupart des cas qui se présentent ordinairement ; il n’est cependant pas rare qu’un calculateur habile tire de la décomposition des grands nombres en facteurs, des avantages qui compensent au-delà l’emploi du temps. En outre, la dignité de la science semble demander que l’on recherche avec soin tous les secours nécessaires pour parvenir à la solution d’un problème si élégant et si célèbre. ”

“ Quand l’on considère une surface non comme la limite d’un solide, mais comme un solide flexible quoique inextensible, dont une des dimensions est regardée comme évanouissante, les propriétés de la surface dépendent, en partie de la forme à laquelle on la conçoit réduite, en partie sont absolues, et restent invariables, suivant quelque forme qu’on la fléchisse. C’est à ces dernières propriétés, dont la recherche ouvre à la géométrie un champ nouveau et fertile, que doivent être rapportées la mesure de la courbure et la courbure totale, dans le sens que nous avons donné à ces expressions ”

“ Déterminer l’orbite d’un astre sans aucune hypothèse, d’après des observations n’embrassant pas un intervalle trop grand ni même choisi pour qu’elles puissent souffrir l’application de méthodes spéciales, ait été jusqu’au commencement de ce siècle presque entièrement négligé, ou du moins n’ait été traité par personne sérieusement et d’une manière convenable, quoique certainement ce problème se recommandât aux théoriciens par sa difficulté et son élégance, bien que sa grande utilité pratique n’eût pas été constatée par les observateurs. ”

“ Désignons par la notation la facilité relative d’une erreur : on doit entendre par là, à cause de la continuité des erreurs, que est la probabilité que l’erreur soit comprise entre les limites et . Il n’est pas possible, en général, d’assigner la forme de la fonction , et l’on peut même affirmer que cette fonction ne sera jamais connue dans la pratique. On peut néanmoins établir plusieurs caractères généraux qu’elle doit nécessairement présenter : est évidemment une fonction discontinue ; elle s’annule pour toutes les valeurs de non comprises entre les erreurs extrêmes. ”

“ I La nature d’une surface courbe est déterminée par une équation entre les coordonnées relatives à chacun de ses points. En vertu de cette équation chacune de ces trois variables peut être considérée comme une fonction des deux autres. La généralité est encore plus grande si l’on introduit en outre deux nouvelles variables et si l’on représente chacune des variables comme fonction de en sorte que, au moins en général, des valeurs déterminées de correspondent toujours à un point déterminé de la surface et réciproquement. ”

“ Les nombres négatifs ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si est la représentante d’une certaine classe, la forme sera celle de la classe négative, et il suit de là qu’il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives. ”

“ Au contraire, dans la première détermination d’une orbite encore entièrement inconnue (problème qui est de beaucoup le plus difficile) , il n’est nullement indifférent d’employer telles ou telles inconnues ; elles doivent plutôt être choisies avec adresse de manière que de la nature du problème même, il soit permis de déduire les valeurs approchées. Ce qui réussit d’une manière très-satisfaisante toutes les fois que les trois observations employées pour la recherche de l’orbite n’embrassent pas un trop grand mouvement héliocentrique du corps céleste. ”

“ C’est à l’observateur qu’il appartient de rechercher avec soin les causes qui peuvent produire une erreur constante, pour les écarter s’il est possible, ou tout au moins apprécier leur effet, afin de le corriger sur chaque observation, qui donnera alors le même résultat que si la cause constante n’avait pas existé. Il en est tout autrement des erreurs irrégulières : celles-là, par leur nature, se refusent à tout calcul, et il faut bien les tolérer dans les observations. ”

“ Théorème. Un nombre composé ne peut se résoudre que d’une seule manière, en facteurs premiers.
Il est évident par les élémens, que l’on peut toujours décomposer un nombre quelconque en facteurs premiers ; mais on suppose à tort tacitement que cette décomposition ne soit possible que d’une manière. Imaginons qu’un nombre composé étant des nombres premiers inégaux, soit encore décomposable d’une autre manière en facteurs premiers. ”

“ Nous ne trouvons certes nulle part dans les annales de l’astronomie une occasion aussi sérieuse, et l’on eût pu à peine en imaginer une aussi grave pour faire le plus vivement sentir l’importance de ce problème, que cette circonstance impérieuse où tout espoir de retrouver dans le ciel la planète atome au milieu des innombrables étoiles et après une année presque écoulée, dépendait uniquement de la connaissance suffisamment approchée de l’orbite établie sur ce petit nombre d’observations. ”

“ La détermination d’une grandeur par l’observation peut se comparer, avec quelque justesse, à un jeu dans lequel il y aurait une perte à craindre et aucun gain à espérer : chaque erreur commise étant assimilée à une perte que l’on fait, la crainte relative à un pareil jeu doit s’exprimer par la perte probable, c’est-à-dire par la somme des produits des diverses pertes possibles par leurs probabilités respectives. ”

“ Ce point de la sphère céleste répond évidemment au zénith même du point de la surface (si la Terre est, à la vérité, considérée comme une sphère) , c’est pourquoi son ascension droite s’accorde avec l’ascension droite du milieu du Ciel ou avec le temps sidéral converti en degrés, et sa déclinaison avec l’élévation du pôle ; si l’on trouvait plus rigoureux d’avoir égard à la figure sphéroïdale de la Terre, il faudrait prendre pour l’élévation du pôle corrigée et pour la distance vraie du lieu au centre de la Terre, valeurs qui seraient déterminées par les règles connues. ”

“ On pourra choisir dans chaque classe de formes de déterminant une d’entre elles que l’on considérera comme forme représentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d’une forme dépend évidemment de la grandeur des nombres et on dira à juste titre que la forme est plus simple que la forme si l’on a . ”

“ Les équations de condition qui existent entre les angles d’un système de triangles, peuvent, en général, se partager en trois catégories.
I. La somme des angles horizontaux, formés autour d’un même sommet et embrassant la totalité de l’horizon, doit être égale à quatre droits.
II. La somme des angles de chaque triangle peut toujours être regardée comme connue ; car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, l’excès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation, qu’il est permis de considérer le résultat comme absolument exact. ”

“ De cette manière on trouve que l’action du Soleil sur les astres en mouvement s’exerce comme si la force d’attraction, dont l’intensité serait inversement proportionnelle au carré de la distance, poussait les corps vers le centre du Soleil. Réciproquement, si nous établissons comme principe l’hypothèse d’une telle force attractive, les mêmes phénomènes en dérivent comme une conséquence nécessaire. ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Que faut-il donc faire dans notre problème si, dans ce cas, la solution est demandée exacte, même en égard à l’aberration ? Le plus simple est certainement de déterminer l’orbite en négligeant l’aberration, puisqu’elle ne peut jamais produire un effet considérable ; les distances seront obtenues par là avec assez de précision pour corriger alors les observations, de l’aberration, par quelques-unes des méthodes exposées tout à l’heure, et pour qu’il soit permis de recommencer avec plus d’exactitude la détermination de l’orbite. ”

“ Au reste, le principe d’après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quantités calculées doit être un minimum, peut encore s’établir sans recourir au calcul des probabilités, comme il suit.
Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu’elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux, on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont pas douées d’une précision absolue. ”

“ On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l’objet de la recherche, contre la réduction des équations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d’impossible, plutôt qu’il ne surpasse les forces actuelles de l’analyse. ”

“ Puisque et parcourent donc dans le même temps un cercle entier depuis jusqu’à le temps d’une révolution que l’on nomme temps périodique s’obtient exprimé en jours, en divisant par le mouvement diurne d’où l’on voit clairement que pour divers corps célestes tournant autour du Soleil, les carrés des temps périodiques sont proportionnels aux cubes de leurs distances moyennes, en tant qu’il soit permis de négliger leurs masses ou plutôt leur différence de masses. ”

“ Jusqu’à présent il n’y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer a priori les déterminans réguliers des irréguliers, d’autant plus que parmi les derniers se trouvent en même temps des nombres premiers et des nombres composés ; ainsi il suffira d’ajouter ici quelques observations particulières. Quand il y a plus de deux classes ambiguës dans le genre principal, le déterminant est sûrement irrégulier, et l’exposant d’irrégularité est pair. ”