Félix Tisserand

“ Les attractions du Soleil sur les unités de masse de la Terre et de la Lune pourront être représentées par les droites ST et SL. Pour étudier le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre, il faut appliquer à la Lune une force ST égale et contraire à l'attraction du Soleil sur la Terre. La résultante de LS et ST est la force LT que Newton décompose en deux autres LE et ET, l'une perpendiculaire, l'autre parallèle à PT. La composante LE est la seule qui modifie les aires décrites par le rayon vecteur de la Lune; nous allons calculer son
intensité. ”

“ En effet, les forces perturbatrices se présentent sous cette forme (forme procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de la longitude vraie) ou du moins elles y sont facilement réductibles; pour les réduire à une autre forme, par exemple à des séries de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, il faudrait, à cause des inégalités considérables du mouvement lunaire provenant soit de sa partie elliptique, soit des perturbations, porter fort loin les approximations, ce qui compliquerait l'analyse et rendrait les approximations moins convergentes. ”

“ Cet argument est donc la valeur moyenne de la distance angulaire du périgée de la Lune au Soleil; l'intervalle de temps qui sépare les deux époques où le périgée est en conjonction avec le Soleil est la révolution synodique du périgée ”

“ Pour déterminer x, Newton considère l'orbite lunaire dont il s'agit ici (on a négligé l'excentricité propre) comme une ellipse mobile dont la Terre occupe le centre et dont le périgée suit le Soleil, de manière que le petit axe de l'ellipse correspond toujours à la syzygie et le grand axe à la quadrature. Laplace dit à ce sujet : « Cette considération est exacte, mais elle exigeait une démonstration (' ) ; ces hypothèses de calcul, fondées sur des aperçus vraisemblables, sont permises aux inventeurs dans des recherches aussi difficiles. ». ”

“ Les approximations sont beaucoup plus lentes pour certains coefficients que pour d'autres; elles le sont surtout pour les coefficients affectés de petits diviseurs. Il y a divers artifices que suggère la marche des nombres, et qui permettent d'abréger un peu les calculs.
Hansen dit que, pour obtenir les expressions finales employées dans ses Tables de la Lune, il a dû faire douze ou treize approximations qui lui ont demandé environ trois années de travail. ”

“ Il est donc prouvé par là même que le moyen mouvement de la Lune n'augmentera pas toujours, et qu'il finira par diminuer, repassant à la longue par les mêmes grandeurs, de part et d'autre d'une valeur moyenne. ”

“ Si l'on persistait à maintenir dans la comparaison des observations modernes l'accélération de Hansen, ce qui reviendrait à faire δs = 0, il faudrait, pour représenter l'erreur tabulaire en 1889, admettre une valeur de u comprise entre 23° et 33°, 28° par exemple, et pour T une valeur peu éloignée de 320 ans.
Pour fixer cette valeur de T, un nouveau calcul serait nécessaire.
La théorie de la Lune se trouve arrêtée par la difficulté que nous venons de développer; déjà, à l'époque de Clairaut, la gravitation paraissait impuissante à expliquer le mouvement du périgée. ”

“ Dans le Livre des Principes, Newton, après avoir assigné la cause des perturbations du mouvement elliptique de la Lune, a fait voir, de plus, comment on pouvait calculer les grandeurs d'une partie d'entre elles avec assez d'exactitude pour fournir déjà une confirmation remarquable de la gravité universelle. ”

“ Cependant, si l'on a égard à ce fait connu que, dans chaque éclipse de Soleil, les régions de la Terre recouvertes par l'ombre pure de la Lune (zones de la totalité) forment une bande très étroite; si l'on se rappelle que, en un lieu donné, les éclipses totales de Soleil sont très rares, qu'à Paris, par exemple, on n'en aura vu qu'une pendant toute la durée des XVIIIe et XIXe siècles, qu'à Londres on a été pendant cinq cent soixante-quinze ans sans en observer une seule, depuis 1140 jusqu'en 1715, et que, depuis l'éclipsé de 1715, on n'y en a pas vu d'autres ”

“ On voit très nettement comment la fonction perturbatrice dépend des quantités r, v, P, Q et K, qui ont donné lieu aux dérivées partielles
considérées plus haut.
Remarque. — On sait que l'attraction des planètes sur la Terre produit un faible déplacement séculaire de l'écliptique; on peut, avec une approximation suffisante, admettre qu'en vertu de ce déplacement on a
et considérer b et c comme constants. ”

“ Nous accorderons sans peine qu'il est possible de présenter les coefficients des inégalités lunaires par des fonctions des éléments sous une forme différente de la nôtre, qui aurait l'avantage de les rendre plus convergents.
Il faut avouer qu'il est très difficile de réaliser avec succès une belle conception dans la théorie de la Lune. ”

“ On y arrive en démontrant un lemme important relatif à la solution représentée par les formules (IX) et (X) . Nous revenons en arrière, pour un moment, et nous considérons C, (G) , (H) , c, (g) et (h) comme des constantes. L'intégrale
est une fonction de L, C, (G) et (H) . Si nous remplaçons L par sa valeur (IX) .
K deviendra une fonction de t + c, C, (G) et (H) ; seulement, comme les coefficients Lp contiennent les quantités C, (G) et (H) , les dérivées partielles de K par rapport à C, (G) et (H) ne seront pas-les mêmes avant et après la substitution. Soient
leurs nouvelles valeurs. ”

“ Opérations abrégées. Résultat final. — Après les cinquante-sept opérations complètes, Delaunay a fait disparaître les termes périodiques restants, qui sont tous très petits, en suivant la même méthode, mais très abrégée, en ce sens qu'il n'a pas tenu compte des changements qu'entraîne la disparition d'un terme dans les autres termes, ce qui revient à négliger le carré de la force perturbatrice; il a simplifié aussi la substitution dans les coordonnées de la Lune, en ne conservant que les termes principaux. ”

“ On peut affirmer que cette méthode conduirait à des calculs inextricables si l'on voulait la faire servir à édifier une théorie complète du mouvement de la Lune, car on verra plus loin qu'il faut un très grand nombre d'approximations successives pour obtenir notamment l'expression de trr avec une précision suffisante. Néanmoins la méthode de Poisson peut rendre de précieux services dans le calcul des inégalités à longue période, de l'accélération séculaire et enfin de l'influence de l'aplatissement de la Terre sur le mouvement de la Lune. ”

“ Cherchons son influence sur le mouvement de la Lune. Elle doit être très faible, et, si elle arrive à être appréciable, ce ne pourra être qu'à la faveur d'un très petit diviseur introduit par l'intégration. Il y en a précisément un qui correspond à l'argument ur + 2 e; le périgée fait sa révolution en 9 ans et le nœud en 18 ans f ; la vitesse moyenne du périgée est donc presque égale à deux fois la vitesse moyenne du nœud, prise avec un signe contraire, et le coefficient de t dans ur + 2e est très petit. L'inégalité en question contiendra, comme on sait, le facteur e2. ”

“ Si on la décompose en deux forces, l'une dirigée vers le point T, l'autre normale au rayon vecteur, on voit que la dernière augmentera l'aire de C en A et de D en B, et la diminuera dans les deux autres quadrants.
Newton en conclut (corollaire III) que, toutes choses égales d'ailleurs, le corps P se meut plus vite dans les syzygies que dans les quadratures, et ensuite (corollaire IV) que l'orbite de P est plus courbe dans les syzygies que dans les quadratures. Ces deux propositions supposent que l'excentricité propre est nulle. ”

“ La détermination précise de ces deux inégalités, par la théorie, est la chose la plus difficile que l'on rencontre dans la théorie du mouvement de la Lune. J'ai cherché à deux reprises à déterminer leurs valeurs, par des méthodes différentes, mais j'ai obtenu des résultats essentiellement différents l'un de l'autre. ”

“ Quand on suit la méthode de calcul ordinaire, avec les b~l, il arrive souvent que le coefficient de l'inégalité est la différence très petite de deux nombres très grands, qu'il faut calculer avec beaucoup de décimales, circonstance qui rend le travail excessivement pénible. Or l'introduction des permet d'éviter cet inconvénient en réduisant tout de suite les coefficients à leur vraie valeur. Les jouent un rôle important, surtout dans les termes qui dépendent des excentricités. ”

“ Les difficultés que présente la théorie de la Lune tiennent surtout à ce que les résultats fournis par les approximations successives ne convergent que très lentement. Dans le cas des planètes, les inégalités qui sont du second ordre relativement à la fonction perturbatrice sont généralement faibles, et l'on peut presque toujours négliger celles du troisième ordre. Pour. la Lune, il n'en est pas ainsi: certaines perturbations sont encore sensibles, bien qu'elles soient du cinquième ordre. ”

“ Un moyen que nous avons employé pour soustraire notre théorie à l'influence de ces erreurs faciles à commettre dans une recherche aussi compliquée fut celui de développer sans cesse les diviseurs qui naissent de l'intégration et d'arrêter les produits des différentes fonctions là où les termes subséquents seraient d'un ordre supérieur à celui que l'on considère. ”

“ Si l'on ne conservait dans la formule (17) que les termes en m2 et en m3, qui sont seuls exacts, on n'aurait 1 — c qu'à i près. On ne saurait avoir les valeurs complètes des termes m4 et m5 parce que, 3 dans l'équation (E) , la portion 1 2m2 du coefficient de p demande à être -
complétée par des termes en m", m5, , et de même pour le reste de l'équation. Toutefois, la comparaison des deux valeurs de c montre que les termes ainsi négligés sont relativement peu importants, de sorte que l'équation (E) réalise, sous une forme simple, une approximation déjà assez grande. ”

“ Pour ce qui concerne l'inclinaison, la seconde des formules (10) donne
en négligeant le terme en cos (2u — u' — θ) qui se détruit à très peu près, Newton obtient, pour le mouvement horaire médiocre de l'inclinaison relatif à la durée d'une lunaison,
Pour l'ensemble des positions du Soleil, cette quantité s'annule, de sorte que l'inclinaison a une valeur moyenne constante; il n'y a qu'une inégalité périodique principale en cos2 (v'— θ) , qui cadre bien aussi avec ce que fournit l'observation. ”

“ Nous laissons de côté l'action des planètes et l'influence de l'aplatissement de la Terre dont nous tiendrons compte plus tard; nous n'aurons donc à considérer que trois points matériels S, T, L, les centres de gravité du Soleil, de la Terre et de la Lune, où seront concentrées les masses M, mo et mi de ces trois astres. ”

“ Hansen considère une ellipse de grandeur et de forme constantes, qu'il fait tourner dans le plan de l'orbite mobile, d'un mouvement uniforme, afin de tenir compte, dès la première approximation, du mouvement moyen du périgée. Soient a0, n0, e0 les éléments rigoureusement constants de cette ellipse : ce seront les valeurs moyennes des éléments variables a, n et e; désignons, en outre, par n0y la vitesse angulaire de rotation de l'ellipse, et par tt0 une constante. A désignant la position occupée à l'époque t par le point le plus voisin de la Terre, on aura XOA = no + no yt. ”

“ R est maintenant une fonction de t et des six éléments canoniques, qui est donnée par l'enchaînement des formules (2) , (3) , (4) , et aussi des formules analogues à (3) qui font connaître x', y et z'. Ces dernières sont, en accentuant les lettres et faisant 1" = o (ce qui revient à prendre le plan de l'écliptique pour plan des xy) , (3') x'= r' cos (ν'+ h') , y'= r'sin (ν'+h') ;
v -h h' sera la longitude du Soleil; nous représenterons la longitude du périgée solaire par g' + hl. Les éléments de l'orbite solaire sont regardés comme constants. ”

“ La même chose est faite ensuite pour la fonction G0 et les quantités R, Y, S, V, Z correspondantes, puis pour Σ0, R, ., Bo, R,., Co, R,
Hansen dit que, pour déterminer les inconnues, il n'a pas employé la méthode des coefficients indéterminés, mais celle des approximations successives. On intègre d'abord en ayant égard à la première puissance de la force perturbatrice. Les développements précédents de T0, B0 et C0 sont portés dans les équations différentielles qui doivent déterminer nz, v, P et Q. On effectue les intégrations qui se réduisent à des quadratures. ”

“ Les théories de la Lune publiées jusqu'ici n'offrent pas une expression littérale et explicite des trois coordonnées; elles portent toutes le caractère d'une solution qu'on pourrait appeler mixte, en réfléchissant qu'on y procède par des opérations algébriques entrelacées avec des opérations arithmétiques où les quantités numériques absolues se trouvent enveloppées avec les valeurs spéciales des constantes arbitraires. ”

“ MM. Hill et Adams, auxquels nous avons déjà fait allusion et dont nous parlerons bientôt, que les perturbations de la Lune qui proviennent du Soleil, supposé se mouvoir dans une ellipse invariable, sont maintenant calculées avec une précision presque suffisante. Cela est établi par l'heureux accord de deux théories entièrement différentes. Les écarts sensibles qui subsistent malheureusement encore entre les Tables de Hansen et les observations de la Lune doivent donc avoir une autre source. Delaunay espérait sans doute que sa théorie les expliquerait en partie ”

“ Pour les planètes, la longitude héliocentrique peut se mettre sous la forme
L = c + no t + p, ~p — B sin ( (3f -+- (3') , où c, no, B, p et W désignent des constantes. Il en résulte que, si l'on considère trois époques aussi distantes que possible, t0, li et t2, t, < tl < t2, on aura, en mettant aux lettres L et p les indices correspondants, Lo = c + no to + po, 1"1 = c + no t1 + pu L2 = c + no t2 + P2, d'où
c'est ainsi qu'on détermine réellement no. Or, dans le cas de la Lune, les deux valeurs ainsi trouvées pour no sont différentes; la seconde est plus grande que la première ”

“ Une réflexion importante doit être faite ici : l'observation avait devancé la théorie dans la découverte de l'accélération séculaire ; mais la théorie va prendre sa revanche en nous montrant comment se passeront les choses dans l'avenir le plus reculé. On sait, en effet, par la théorie des inégalités séculaires, que l'excentricité e' ne diminuera pas toujours; dans 24000 ans environ, elle aura atteint son minimum et commencera à augmenter, variant ainsi périodiquement dans un cycle immense. ”

“ La seconde Partie de cet Ouvrage est consacrée à l'Astronomie elle-même. On y a introduit avec les questions explicitement comprises dans le programme de la licence ès Sciences mathématiques, diverses questions d'Astronomie théorique qui doivent être, aujourd'hui, regardées comme élémentaires : la détermination des orbites, des planètes et des comètes d'après trois observations, les principes de la théorie des planètes, de la théorie de la Lune et du Calcul numérique des perturbations. ”