Quadrature

“ La quadrature de la parabole, donnée de deux manières différentes par Archimède, fut le premier exemple de la quadrature rigoureuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites.
Chacun sait que les spirales, la proportion de leur aire avec celle du cercle, et la manière d'en mener les tangentes; que le centre de gravité d'un secteur parabolique quelconque; l'expression des volumes des segments des sphéroïdes et des conoïdes paraboliques ou hyperboliques 1; la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit ”

“ QUADRATRICE, s. f. en Géométrie, est une courbe méchanique, par le moyen de laquelle on peut trouver des rectangles ou quarrés égaux à des portions de cercle, ou en général à des portions d’espaces curvilignes. Voyez Cercle, Quadrature, &c. ”

“ La quadrature du cercle ou la maniere de faire un quarré dont la surface soit parfaitement & géométriquement égale à celle d’un cercle, est un problème qui a occupé les mathématiciens de tous les siecles. ”

“ Une dernière classe importante d'applications du calcul aux différences finies, qui mérite d'être distinguée de la précédente, consiste dans l'usage éminemment utile qu'on en fait, en géométrie, pour déterminer par approximation la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit, et, de même, la quadrature et la cubature d'un corps ayant une forme quelconque. ”

“ Mais il est vrai aussi, comme j’espère le démontrer, que les conceptions modernes de la physique et les rapports nouveaux qu’elle nous suggère entre la réalité et la géométrie tendent à nous faire envisager sous un angle entièrement nouveau cette vieille et passionnante question. Je pense même pouvoir démontrer tout à l’heure que le problème de la quadrature du cercle est, — contrairement à ce que croyait pouvoir penser la science classique, — résolu par la nature elle-même et sous nos yeux. ”

“ Il est facile ensuite d’avoir un quarré égal à ce rectangle, puisqu’il ne faut pour cela que trouver une moyenne proportionnelle entre les deux côtés du rectangle. Voyez Aire, Quarré. Voyez aussi les méthodes particulieres de trouver les superficies de ces figures aux mots Triangle, Parallelogramme, Trapese, &c.
La quadrature des courbes, c’est-à-dire la maniere de mesurer leur surface, ou de trouver un espace rectiligne égal à un espace curviligne, est une matiere d’une spéculation plus profonde, & qui fait partie de la Géométrie sublime. ”

“ Rectifier le cercle revient donc au même que de le quarrer : mais l’un & l’autre sont également difficiles. Voyez tous les différens efforts que l’on a faits pour rectifier le cercle, afin de trouver sa quadrature, au mot Quadrature du cercle. ”

“ Trouver le centre de gravité de cette surface, ou demy surface, ou quart de surface, etc. ; ce qui est le plus difficile et proprement le seul que je propose.
Dans tous lesquels problemes je suppose la quadrature du cercle, où il est necessaire de la supposer.
Voila ce qui restoit à descouvrir sur la nature de cette ligne, et dont je tiendray la solution secrette jusques au dernier Decembre de cette année 1658. afin que si quelqu’un en trouve la resolution dans ce temps, il ait l’honneur de l’invention. ”

“ Quadrature du cercle. On ne sait pas ce que c’est, mais il faut lever les épaules quand on en parle. ”

“ Hippocrate de Chio et la quadrature des lunules dans les Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. Il, 2e série, p. 179-184. ↑ La quadratrice, ainsi nommée, quand Dinostrate, disciple de Platon et frère de Ménechme, l’inventeur des sections coniques, eut démontré qu’elle procurait la quadrature du cercle. ↑ 990 d : Ταῦτα δὲ μαθόντι τούτοις ἐφεξῆς κ. τ. ε. ↑ Epinomis, 931 e : Μετὰ δὲ ταύτην τοὺς τρὶς ηὐξημένους καὶ τῇ στερεᾷ φύσει ὁμοίους, τοῦς δὲ ἀνομοίους αὖ γεγονότας ἑτέρᾳ τέχνῃ ὁμοίᾳ ταύτῃ, ἣν δὴ γεωμετρίαν ἐκάλεσαν οἱ προστυχεῖς αὐτῇ γεγονότες. ”

“ Évidemment, si le côté est double, la surface est double ; si le côté est triple, la surface est triple. Si notre idée du carré était aussi confuse que l’idée d’Infini, ou de Tout, ou de Dieu, un tel raisonnement passerait pour bon. Je pourrais même le fortifier en disant : la cause qui fait que la surface augmente, c’est que le côté augmente ; il ne peut y avoir plus ni moins dans l’effet que dans la cause ; donc le carré de côté double a une surface double. ”

“ Dans le quartier de réduction, l'échelle qui existe sur un des côtés seulement de notre quadrant est répétée sur l'autre côté; et, par les divisions de ces deux échelles, sont menées des perpendiculaires qui se coupent à angle droit en couvrant la surface du quadrant d'un treillis à mailles carrées. Du centre, on trace encore des séries de quarts de cercles qui joignent les divisions de même rang et reportent ces divisions sur les rayons obliques du quadrant. ”

“ Soit le carré, fig. 25 ; tirez des angles du carré deux diagonales, ouvrez le compas de la moitié d'une des diagonales, mettez la pointe du compas sur un des angles du carré, et décrivez un arc qui doit être un quart de cercle ; faites-en autant à chacun des autres angles ; où les arcs auront coupé les côtés du carré, tirez une ligne droite d'un point à l'autre le plus près; les lignes étant toutes les quatre terminées, l'octogone sera formé. ”

“ Opérez comme pour faire un rectangle dont la base et la hauteur seraient égales à L (254) ; ou bien , tracez deux droites AC, BD, qui se coupent à angles droits (54) ; décrivez de leur intersection E, avec un rayon quelconque, un arc qui les rencontre aux points F, G; portez L sur la droite FG, de F en H; menez par H une parallèle à BD, jusqu'à EG, pour déterminer le point A; portez EA de E en B, en C, en D, et tirez les droites AB, BC, CD, DA.
Le quadrilatère ABCD est en effet un carré, car ses diagonales AC, BD sont égales et se coupent d'équerre par le milieu. ”

“ PERSPECTIVE DES LIGNES ET SURFACES COURBES.
T. 20. — Pour obtenir rigoureusement la perspective du cercle, il faut avoir celle du carré qui lui est circonscrit. Soit ABC D, un carré perspectif dans lequel on veut tracer un cercle, construisez géométralement avec AB comme côté le carré AB 1 M, menez les deux diagonales, par leur intersection comme centre, avec un rayon égal à la moitié de AB tracez le cercle. A la rencontre de la courbe avec les diagonales, élevez sur AB des perpendiculaires, et par les points R et S menez des lignes au point de vue. ”

“ I. Si l’on joint, par des droites, le milieu de chacune des diagonales d’un quadrilatère à un point de l’autre diagonale, qui soit autant éloigné de l’une de ses extrémités, que le point d’intersection des deux diagonales est éloigné de son autre extrémité ; l’intersection de ces deux droites sera le centre de gravité de l’aire du quadrilatère.
II. Soit déterminé, sur chacune des deux diagonales de la base d’une pyramide quadrangulaire, un point qui soit autant éloigné de l’une de ses extrémités, que le point d’intersection des deux diagonales est éloigné de son autre extrémité. ”

“ Il y a un moyen facile de reconnaître si une régie est bien droite, sans faire usage d'une seconde règle ; car si, d'un point A (fig. 2) appartenant à une surface plane, jusqu'à un second point B, on trace deux fois de suite la même ligne droite AB, en plaçant la règle d'abord dans la position ACDB, ensuite dans la position APQB, les deux droites ainsi tracées doivent se recouvrir parfaitement et les deux traits n'en doivent faire qu'un, lorsque la règle est juste.
6.
Définition du cercle. Rayon, diamètre, corde et arc. ”

“ On connoît l’aire d’un carré parfait en multipliant un de ses côtés par lui-même. Si un des côtés contient 10, son aire en contiendra 100.
☞ On connoît l’aire d’un carré long, en multipliant sa longueur par sa hauteur.
☞ On connoît l’aire d’un triangle en multipliant sa base par la moitié de sa hauteur. La hauteur d’un triangle se mesure par la ligne perpendiculaire tirée du sommet du triangle sur la base.
☞ On connoît enfin l’aire d’un cercle en multipliant sa circonférence par le quart de son diamètre. On sait que la circonférence d’un cercle est sensiblement triple de son diamètre. ”

“ PROGRAMME. — Ligne droite et plan. — Ligne brisée. — Ligne courbe.
Lorsque deux droites partent d'un même point suivant des directions différentes, elles forment une figure qu'on appelle angle. -Génération des angles par la rotation d'une droite autour d'un de ses points.
Angles droit, aigu, obtus.—Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite.
DÉFINITIONS.
1. On appelle corps une portion limitée de l'étendue.
Tout corps a trois dimensions : la longueur, la largeur et la profondeur ou la hauteur. ”

“ Plan coupant dans un solide. — A ce sujet, nous dirons pour fixer les idées plus exactement sur le sens du mot plan, que cette expression, en géométrie, veut dire une superficie plate terminée par une ou plusieurs lignes; ainsi l'étendue renfermée parla circonférence d'un cercle est un plan aussi bien que toute portion de mon papier figurant l'espace compris sous trois, quatre ou un nombre quelconque de lignes droites ou courbes. On appelle également plan une superficie mathématique, qu'on imagine couper les solides de la géométrie, comme le ferait une lame de couteau. ”

“ Défiez-vous toujours et d'eux et de vous-mêmes.
NOTES DE L'AUTEUR.
Que du cercle complet l'angle soit diviseur.
A l'heureux exagone accordez-en l'honneur.
Pour qu'on puisse couvrir une surface exactement avec des polygones réguliers de même espèce, il faut que l'angle intérieur soit tel, que, répété un certain nombre de fois, il fasse 360 degrés.
Ainsi l'angle du quarré étant de 90 degrés, quatre quarrés se rangeront autour d'un même point sans laisser aucun intervalle. ”

“ PROBLÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTiVE. (Changement des plans de projection et rotation des figures autour d'un axe.)
42. Lorsque l'équation d'une ligne ou d'une surface est trop compliquée, on cherche, en analyse, à la simplifier en rapportant la courbe ou la surface à de nouveaux axes choisis de manière à faire disparaître certains termes, comme par exemple les rectangles des coordonnées et les termes du premier degré dans les équations des courbes ou des surfaces du second ordre. ”

“ Mais revenons aux superficies. D’après ce que j’ai dit ci-dessus, on peut facilement comprendre qu’en changeant le trait d’un contour, la superficie perd son premier aspect ainsi que son ancienne dénomination, et que, si, par hasard, elle était un triangle, elle pourrait devenir quadrangulaire ou polygonale. On dira qu’un contour est changé toutes les fois que les lignes ou les angles qui le déterminent seront multipliés, diminués, allongés, rendus plus obtus ou plus aigus. Cela nous avertit de dire quelque chose des angles. ”

“ Construction, avec la règle seulement, du point de concours des deux diagonales d’un quadrilatère dont on ne peut construire les sommets, et de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés d’un quadrilatère, lorsque ces côtés ne peuvent être tracés ; par M. Vallès.
GÉOMÉTRIE DES SURFACES COURBES.
Théorèmes sur l’hyperboloïde à une nappe et sur la surface conique du seconde ordre ; par M. Magnus.
Démonstration d’une propriété générale des lignes de contact des surfaces courbes avec les surfaces coniques circonscrites ; par M. Vallès. ”

“ En quelque grand nombre de parties égales que le quadrant soit subdivisé, il peut se faire que l'arc décrit du sommet de l'angle qu'on veut mesurer, et intercepté entre ses côtés, ne contienne pas un nombre exact de ces parties. ”

“ Solution. Abaissez, du point donné, sur la première des deux droites, une perpendiculaire que vous prolongerez au-delà d’une quantité égale à elle-même ; vous obtiendrez ainsi un nouveau point du cercle cherché de sorte que le problème se trouvera réduit à décrire un cercle qui, passant par deux points donnés, touche droite donnée ; problème que l’on sait résoudre.
PROBLÈME XIX. Décrire un cercle qui, ayant son centre sur une circonférence donnée, passe par un point donné et touche une droite donnée ? ”

“ Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un cercle est fixée sur un plan par le moyen d'une équation entre les coordonnées x et y de chacun de ses points et un certain nombre de constantes dont la connaissance suffit pour déterminer cette position géométriquement. ”

“ III. Que l’angle soit différent d’un droit, et que l’arc soit un quadrans. Par soit mené l’arc de grand cercle perpendiculaire à rencontrant en et la circonférence dont fait partie.
L’arc est déterminé à être plus que le plus des arcs et , dont l’un est plus petit et l’autre plus grand qu’un quadrans. ”

“ Vérification du triangle rectangle. On vérifiera l'angle droit à l'équerre : s'il est exact, le triangle rectangle est bien tracé.
18. — Ici, il faudra recommencer les fig. 8, 9,10 et 11, avec des longueurs déterminées en décimètres, centimètres, et millimètres. J'engage les maîtres à suivre exactement cette marche ; elle seule peut conduire promptement les élèves à une grande exactitude de coup d'œil.
19. — « On appelle quadrilatère l'espace renfermé entre quatre droites qui se coupent deux à deux. »
Tracer un quadrilatère. ”

“ Degré, en termes de Géométrie & d’Astronomie, est la division qu’on fait sur les cercles pour servir de mesures. Tout cercle se divise en 360. degrés, & chaque degré en 60. parties égales, qui sont les minutes. Quand on veut déterminer la grandeur d’un angle, on compte les degrés. Par exemple, quand on dit un angle de 90. degrés, on entend un angle droit, parce qu’il comprend la quatrième partie de la circonférence d’un cercle. Cet astre est élevé de tant de degrés sur l’horison, il décline de l’Equateur de tant de degrés. ”