Michel Chasles

“ L'étude des coniques a donc rétrogradé, depuis un siècle, d'une manière extraordinaire. Cela est fâcheux, non-seulement à cause du rôle important que ces célèbres courbes jouent dans toutes les parties de la Géométrie, et qui rend leur connaissance indispensable, mais aussi parce que, en principe général, on doit, dans toutes parties des sciences, accoutumer l'esprit à toujours établir ses spéculations sur les vérités les plus générales que présente chaque théorie. C'est le plus sûr moyen, sinon l'unique, de simplifier l'étude d'une science et d'en assurer les progrès. ”

“ « Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, une tangente quelconque à la courbe a le produit de ses distances à deux sommets opposés du quadrilatère dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux autres sommets ; » enfin M. Poncelet a montré, dans sa Théorie des polaires réciproques, que le théorème de Newton, sur la description organique des coniques, a pareillement son correspondant; et qu'il en est de même aussi du théorème de Carnot sur les segments faits, par une conique, sur les trois côtés d'un triangle2. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ Quand la courbe est tracée, il faut qu'elle le soit complétement, c'est-à-dire que toutes ses branches soient décrites, pour que les transversales la rencontrent en autant de points que l'indique le degré de la courbe. Par exemple, si la courbe est une de celles du quatrième degré, appelées ovales de Descartes, il faut connaître sa compagne, seconde ovale, jouissant des mêmes propriétés que la première, non indiquée par la construction que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes, mais qui est renfermée dans la même équation. ”

“ Il nous serait facile de montrer les ressources immenses que ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient offertes, depuis un siècle et demi, aux géomètres, si une fatale et injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie pure. Mais il nous suffit d'avoir montré que celle de La Hire, particulièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que la belle théorie des figures homologiques, dont M. Poncelet a tiré des résultats aussi nombreux que remarquables. ”

“ Mais ce caractère d'intuition est le propre, en général, des méthodes qui reposent sur la pure contemplation de l'étendue, et particulièrement de celles où l'on fait intervenir la considération des figures à trois dimensions, pour la démonstration des propositions de Géométrie plane. La
dénomination de méthode d'intuition, qui convient en général à la Géométrie de Monge, ne caractériserait donc pas ce principe, en vertu duquel on applique, à un état général d'un système, les propriétés qu'on a démontrées pour un autre état, également général, du même système. ”

“ Aucune théorie, aucune découverte, quelque minime qu'elle paraisse d'abord, n'est à négliger; car, à défaut d'une application immédiate, chaque vérité partielle a du moins l'avantage d'être un anneau de la chaîne continue qui lie entre elles toutes les vérités de cette vaste théorie; et ce simple anneau est peut-être un germe de grandes découvertes, que développeront rapidement les méthodes de généralisation de la Géométrie moderne. ”

“ Considérons les sommets de rang impair : ils déterminent un triangle, de position tout à fait arbitraire par rapport à la conique. Chacun des sommets de rang pair de l'hexagone est le point d'intersection de deux tangentes issues de deux sommets du triangle; qu'on joigne ce point, par une droite, au troisième sommet du triangle, on aura ainsi trois droites qui concourront en un même point. Cette proposition, qui n'est, sous un autre énoncé, que le théorème de M. Brianchon, est une propriété d'un triangle quelconque tracé dans le plan d'une conique. ”

“ Dans la Géométrie, jusque-là, on avait supposé les grandeurs déjà formées, pour les comparer entre elles ou avec leurs parties. Roberval, remontant à la génération des quantités, introduisait dans la Géométrie les puissances qui les engendrent; et, des rapports entre ces puissances, il déduisait ceux qui ont lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance à laquelle il attribuait la formation des grandeurs est le mouvement. ”

“ Enfin, Barrow, dans ses Lectiones opticæ, a appliqué avec habileté la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion et la réfraction sur des surfaces courbes. Il a construit les points où se réunissent les rayons infiniment voisins; mais, malgré son goût et son habitude des spéculations géométriques, il n'a pas songé à considérer la courbe qui naît de la succession de ces points ou de l'enveloppe de ces rayons; comme Huygens, qui a touché de près aussi à la découverte de cette courbe, il en a laissé l'honneur à Tschirnhausen. ”

“ Ces deux règles, qui attestent que nous avons eu nos temps d'ignorance, auraient-elles pénétré dans l'Inde, où des géomètres, véritablement dignes de ce nom, les auraient reconnues fausses? Et la proposition de Brahmegupta aurait-elle été destinée à subsituer, à cette pratique ignorante, une règle vraiment exacte et géométrique?
Il semble, du moins à raison de leur identité, que ces règles des Occidentaux, et celles que l'auteur hindou énonce comme fausses, ont une même origine. Car il n'en est pas de l'erreur comme de la vérité. La vérité, en Géométrie, est la loi commune ”

“ C'est en cela, soit dit en passant, que nous paraît consister le principal avantage de l'Analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux méthodes a le merveilleux privilége de négliger les propositions intermédiaires dont la seconde a toujours besoin, et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage, si beau et si précieux, de l'Analyse, a son côté faible, comme toutes les conceptions humaines : c'est que cette marche pénétrante et rapide n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit ”

“ De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, des preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la Géométrie pure peut puiser en elle-même, sont nées ces vérités simples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait, inaperçu depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu, se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui constituent la Géométrie récente. ”

“ Dans les applications que nous avons faites du principe d'homographie, nous avons eu souvent à considérer des points et des droites situés à l'infini, qui se transformaient, dans la figure homographique, en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut avoir à considérer, à l'infini, des figures plus compliquées ”

“ Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants. ”

“ Et, pour compléter cet aperçu des éléments divers qui ont concouru au rétablissement des sciences en Europe, nous l'avons étendu sur la Géométrie des Latins et au Moyen âge.
« L'esprit humain parait marcher dans une route si nécessaire; chaque progrès semble tellement déterminé d'avance, qu'on essaierait en vain d'écrire l'histoire d'un peuple ou d'une science, en partant d'une époque quelconque, sans jeter un regard sur les temps et les événements antérieurs 1. » ”

“ Car si une molécule lumineuse était animée d'un mouvement de translation, elle aurait probablement aussi un mouvement de rotation sur elle-même. Ce qui ne peut être admis, car il s'ensuivrait cette conséquence fausse que, dans la réflexion d'un rayon lumineux sur une surface quelconque, l'angle de réflexion ne serait point égal à l'angle d'incidence. ”

“ Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, pris par rapport à un plan donné, jouit de la propriété que la somme des distances de tous ces points à un plan transversal mené arbitrairement, divisées respectivement par les distances des mêmes points au plan donné, est égale à la distance du centre des moyennes harmoniques au plan transversal, divisée par sa distance au plan donné, et multipliée par le nombre des points. ”

“ Mais l'équation qu'on obtient ainsi est identique. Nous pouvons donc énoncer d'une manière générale le théorème suivant : Quand six points, qui se correspondent deux à deux, sont en involution, le rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre eux est égal au rapport anharmonique des quatre points qui leur correspondent respectivement.
Ce théorème nous semble exprimer la propriété la plus féconde de la théorie de l'involution de six points; il conduit naturellement à différentes expressions de l'involution, que l'on n'a pas encore aperçues. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ IV.
2 Ainsi, par exemple, les ovales de Descartes, ou lignes aplanétiques, sont la projection stéréographique de la ligne de pénétration d'une sphère par un cône de révolution (Théorème de M. Quetelet, voir la note XXI) . On conclura de là que ces célèbres ovales ont toujours deux points conjugués imaginaires, situés à l'infini. Ce que l'on ne verrait peut-être pas par d'autres voies; car on a négligé jusqu'à présent, dans la recherche des points singuliers des courbes, les solutions imaginaires, et même aussi les points situés à l'infini, lesquels échappent souvent à l'Analyse. ”

“ Remarquons que tout autre cône que les deux premiers, qui aura son sommet en un point de la courbe à double courbure, et qui passera par cette courbe, sera aussi du second degré. Car tout plan mené par son sommet ne coupera la courbe qu'en deux points, et par conséquent ne coupera le cône que suivant deux arêtes; ce qui prouve qu'il est du second degré.
Ainsi nous pouvons dire que: Le lieu géométrique des sommets des cônes du second degré, qui passent tous par six points donnés dans l'espace, est la courbe à double courbure, du troisième degré, déterminée par ces six points. ”

“ Cette différence entre la méthode d'Archimède et celle de Grégoire de St-Vincent eut un autre avantage très-grand ; car on peut regarder avec raison que le petit triangle différentiel qui apparaît dans les figures de Grégoire de St-Vincent, entre la courbe et deux côtés consécutifs de l'un des deux polygones à échelles (inscrit ou circonscrit) , a conduit Barrow, Leibniz et Newton au calcul infinitésimal. C'est ainsi que dans les sciences toutes les vérités s'enchaînent et s'étendent, et que les plus grandes découvertes, loin d'être inspirées par révélation, ont été préparées de longue main. ”

“ Plusieurs passages des lettres de Descartes font voir que Desargues ne bornait point ses recherches mathématiques à la Géométrie et à ses applications, mais qu'il écrivait aussi sur l'Analyse; on y voit même que les matières philosophiques lui étaient également familières.
Ces détails montrent le génie de Desargues, dont ses plus illustres contemporains, Descartes, Pascal, Fermat, faisaient le plus grand cas; mais que des hommes médiocres, dont la nouveauté et la généralité de ses vues surpassaient l'intelligence, ont persécuté et dégoûté. ”

“ Les usages de notre théorème ne se bornent pas à la simple Géométrie; il peut être utile aussi en Mécanique pour le calcul des forces vives : car il en résulte que les forces vives des différents points de la figure mobile sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points à celui qui, pendant l'instant où l'on considère le mouvement, est resté fixe : il suffit donc, ce point étant déterminé, de connaître la force vive d'un autre point quelconque de la figure. ”

“ La théorie des polygones, qui a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée; la simple curiosité ne s'en est pas mêlée; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oubli qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Bailly, précisément au sujet des lois de Kepler : « C'est donc en vain qu'on découvre des vérités ; on parle à ses contemporains, ils n'écoutent pas! » Non, ce n'est pas en vain : mais trop souvent les vérités nouvelles ne sont que pour l'avenir. ”

“ On a donc ce théorème général : Quand trois systèmes de deux points forment une involution, il existe toujours un certain point tel, que le produit de ses distances aux deux points de chaque système est constant. ”

“ Newton adopta cette définition des parallèles dans les lemmes 18 et 22 de ses Principes de la philosophie naturelle, où il regarde des droites parallèles comme concourant en un point situé à l'infini.
Desargues appliquait, aux systèmes de lignes droites, les propriétés des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui chose naturelle et très-usitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une équation unique, comme une courbe géométrique, mais ce qui était alors une conception neuve et originale. ”

“ En effet, considérons les deux surfaces et le plan transversal, et formons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à l'infini ; ses pôles deviendront les centres des nouvelles surfaces; les droites menées de ces pôles au point A deviendront deux diamètres de ces surfaces, parallèles entre eux, et leurs plans conjugués seront aussi parallèles entre eux, parce qu'ils passeront par la droite correspondant à la droite BC, laquelle sera à l'infini; il en sera de même des droites menées, des deux pôles, à chacun des points B, C, si ces points sont réels ”