Pierre de Fermat

“ Mais sitôt qu'on lui oppose un autre milieu, par exemple CBE, dans lequel il soit obligé de passer, on peut dire et il est vrai qu'à l'égard de ce milieu il a diverses tendances. Car si on le lui oppose directement, sa chute est perpendiculaire et n'a qu'une direction à son égard ; mais si on le lui oppose de biais, comme il est dans la page 17 de la Dioptrique (fig. 102) , alors ce rayon à son égard a une double direction :
Fig. 102.
l'une qui le fait tendre vers lui, qui est de haut en bas; et l'autre qui le porte de gauche à droite, à laquelle ce milieu n'est point du tout opposé. ”

“ Que si nous supposons que c'est l'une des autres boules C, D, F, G, qui rencontre A au point B, il s'ensuivra la même chose, à savoir qu'elle sera contrainte, par la force qu'elle recevra, de prendre sa détermination vers H comme auparavant, au moment même qu'elle en est touchée. Et la qualité du milieu ne changera point cette détermination, sinon qu'ayant reçu moins de force, parce que n'étant touchée que de biais elle n'est pas poussée par toute la force de la boule qui la touche, elle ira moins vite. ”

“ Si, les puissances étant égales et les angles de direction égaux, les bras sont inégaux, la puissance qui sera sur plus grand bras fera plus d'effet.
Comme en cette première figure (fig. 39) , le centre de la balance Fig. 39.
ou du levier étant A, si les bras AB et AC sont égaux et les angles ABD, ACE égaux, les puissances égales D, E tireront également et feront équilibre. De même, le bras AF étant égal à AB, l'angle AFG à l'angle ABD, et la puissance G à la puissance D, ces deux puissances G, D tireront également et, pour ce qu'elles tirent de même part, l'effet sera
doublé. ”

“ Car je vous demande s'il est vrai que la nature doive toujours agir par les voies les plus courtes et les plus simples, puisque la ligne droite est sans doute et plus courte et plus simple que pas une autre, quand un rayon de lumière a à partir d'un point d'un corps rare pour se terminer dans un point d'un corps dense, n'y a-t-il pas lieu de faire hésiter la nature, si vous voulez qu'elle agisse par ce principe à suivre la ligne droite aussitôt que la rompue, puisque si celle-ci se trouve plus courte en temps ”

“ Car seroit-il bien possible qu'un rayon qui est déjà dans l'air, qui a déjà sa direction toute droite et qui ne tend nullement ailleurs, sitôt qu'on lui oppose de l'eau ou du verre, s'avisât de se détourner ainsi qu'il fait, pour le seul dessein d'aller justement chercher un point où son mouvement composé soit le plus bref de tous ceux qui y peuvent aller du lieu de son départ? ”

“ Car, pour choisir le point H plutôt que tout autre, il faudroit supposer que ce rayon MN, que la nature n'a pu envoyer vers là sans une tendance indéfinie en ligne droite, se souvint qu'il est parti du point M avec ordre d'aller chercher, à la rencontre de cet autre milieu, le chemin qu'il pût parcourir en moins de temps pour de là arriver en H : ce qui, à vrai dire, est imaginaire et nullement fondé en Physique. ”

“ La première objection (2) consiste en ce que vous ne voulez pas accorder que le mitan d'une ligne qui conjoint deux poids égaux descendant librement, s'aille unir au centre du monde. En quoi certes il me semble que vous faites tort à la lumière naturelle et aux premiers principes : car, puisque ces deux poids sont égaux et qu'ils ont tous deux même inclination pour s'unir au centre du monde, s'ils n'étoient pas empêchés, il est clair qu'ils y approcheront tous deux également. ”

“ Que si le poids est divisé en plus de deux parties égales et, qu'étant étendu sur des portions égales du levier, deux d'icelles parties se ren- contrent aux points C, D, [et] les autres dans l'espace CBD, celles qui seront en C [et] D, ne chargeront point l'appui B; quant aux autres, elles le chargeront, mais d'autant moins que plus elles approcheront des points C, D, auxquels finit la charge. Ainsi, il s'en faudra beaucoup que toutes ensemble étendues chargent autant l'appui que si elles étoient amassées en B ”

“ Page 8 de l'édition originale du Traité de Descantes.
qu'il y a autant de différence de l'un à l'autre que de la puissance à l'acte; outre qu'en ce sujet, il semble qu'il y a une particulière disconvenance, en ce que le mouvement d'une balle est plus ou moins violent, à mesure qu'elle est poussée par des forces différentes, là où la lumière pénètre en un instant les corps diaphanes et semble n'avoir rien de successif. Mais la Géométrie ne se mêle point d'approfondir davantage les matières de la Physique. ”

“ Les questions en nombres entiers ne sont point de son goût. Il s'imagine que je ne sais point les centres de gravité des hyperboles intinies, et il semble promettre sur la fin la quadrature de l'hyperbole, c'est-à-dire de celle d'Apollonius : car, pour toutes les autres, ni lui ni moi ne l'ignorons pas.
Je lui réponds succinctement : 3. Premièrement à ce qu'il dit que je fais grand cas des propositions négatives, comme qu'il n'y a que le seul quarré 25 qui, ajouté à 2, fasse un cube en nombres entiers ”

“ Mais il en faut toujours revenir là : si par le mot aucunement vous entendez que la toile n'empêche pas que la balle ne continue sa marche vers la droite et que son progrès ne se fasse également et en temps égal, je le ni e et c'est ce qu'il faut prouver; si vous entendez que la toile ne lui est aucunement opposée, c'est à dire qu'elle n'empêche pas que la balle ne continue d'avancer vers la droite, sans assurer encore si son progrès doit se faire en temps égal, vous ne trouverez jamais votre compte dans la conclusion. ”

“ Si l'on compare la marche que suit Archimède (De planorum æquilibriis, I) pour démontrer le principe d'équilibre de la balance, on reconnaît que Fermat admet en fait comme postulats : 1 ° Que la direction de la gravité passe constamment par un point déterminé hors du corps pesant, à savoir par le centre de la Terre ; 2° Que le point d'application de la gravité (au moins pour un corps sphérique homogène) est un point déterminé de la figure du corps pesant ”

“ Quand en l'exemple ci-dessus je suis demeuré d'accord que la balle, perdant au point B la moitié de sa vitesse, ne laissoit pas de continuer son chemin suivant la ligne BD, avec cette seule différence qu'elle alloit de moitié moins vite, ç'a été pource que, ne changeant point de milieu et aucun plan ne lui étant opposé, on ne pouvoit pas dire que la détermination de la balle suivant la ligne AB fût composée de deux
déterminations, non plus que lorsqu'une balle tombe perpendiculairement sur un plan. ”

“ Qui dederit quartam solutionem, portento erit simile.
En quoi, sans préjudice de la grammaire, ils pèchent autant contre les Mathématiques, qui nous enseignent qu'il est impossible qu'en ce cas et autres pareils, il y ait quatre solutions. Car il est très certain qu'un problème ne peut recevoir pour le plus qu'autant de solutions que son plus grand terme a de degrés, et ainsi ils ont fait eux-mêmes ce portentum d'avoir proposé une question impossible. ”

“ Nous avons réuni à une fin de lettre, datée, des manuscrits A, B, une lettre très courte, non datée, des Varia, évidemment écrite sur le vu de la réponse de Mersenne à la Lettre IV.
(2) Voir la Pièce II. -.
1
qu'en soi il ne change point de poids, mais qu'il est tiré avec plus ou moins de force, ce qui est bien différent du reste.
Soit le centre de la Terre C (fig. 13) , le grave B au point B et le point D dans la superficie. M. de Beaugrand tient que, si on pèse le Fig. 13. ”

“ Il arrivera que ces forces, ayant un grand effet sur elle, la pousseront en un moment jusques en D. Mais si elle étoit dans l'eau, alors ces deux forces n'ayant pas un si grand effet sur elle, mais ne laissant pas de l'avoir de tous côtés proportionné à leur force, parce que l'eau s'ouvre également de tous côtés, ne la pousseront que jusques en E; mais elle ne chan-
gera point pour cela de direction, laquelle elle prend dès le premier moment. ”

“ Soit (fig. 60) BDN la parabole donnée dont DC est le diamètre, et que du point donné B il faille tirer la ligne droite BE qui rencontre Fig. 60.
DG au point E et qui soit la plus grande qu'on puisse tirer du même point E jusques à la parabole : sic enim proponitllr quœrenda maxima.
Sa règle dit : statuatur ur quilibet quœstionis terminus esse A; je prends donc EC pour A, ainsi qu'il a fait : et inveniatur maxima (à savoir BE) in terminis sub A gradu, ut libet, involutis; ce qui ne se peut faire mieux qu'en cette façon : Que BC soit B, le quarré de BE sera Aq. ”

“ Que si au contraire nous supposons que, ces boules étant au point B, la boule A leur cède plus aisément et les entraîne, pour ainsi dire, vers H, cela fait que ces boules descendent plus vite, mais cela ne change rien à leur mouvement vers la droite (ou vers la gauche) auquel elle n'est point opposée. Et ainsi ces boules, au moment qu'elles sont au point B, étant plus disposées à aller vers H qu'elles n'étoient aupa- ravant, et n'étant ni plus ni moins disposées qu'elles étoient à aller vers I, elles doivent changer de direction et la garder après l'avoir prise. ”

“ Or, de même qu'en ce cas l'ex- périence nous fait voir que ces deux poids approcheront également du centre D et de la ligne CD, il ne faut pas douter qu'au premier cas ils n'approchent également du centre de la terre, et la raison de toutes ces deux propositions est, qu'ayant même inclination au centre et ne pouvant tous deux y descendre, à cause qu'ils s'entr'empêchent, ils y approchent du moins également : autrement la force de celui qui y approcheroit davantage seroit plus grande. ”

“ On peut constater également que l'hélice dont parle Fermat dans ses Lettres 1, 9, et III, 3 n'est autre que celle qu'il désigne sous le nom d'helix Galilei (et non Baliani, fausse leçon de Bossut) dans la Solution du problème proposé par Etienne Pascal (Tome I, pages 73-74) , pièce dont la date semble devoir être assignée en janvier ou février 1637.
Cette spirale de Galilée, nom probablement donné par Mersenne, peut être définie- la courbe décrite, relativement à la Terre supposée animée du mouvement de rotation diurne, par un point matériel pesant tombant librement suivant la loi de Galilée. ”

“ Hoc loco Pappus vocat minimam proportionem μοναχὰν καὶ ἐλάχιστον, minimam et singularem, ideo scilicet quia, si proponatur qumestio circa magnitudines datas, duobus semper locis satisfit quœstioni, sed, in minimo aut maximo termino, unicus est qui satisfaciat locus: idcirco Pappus vocat minimam et singularenz, id est unicam, proportionem omnium quæ proponi possunt minimam. Commandinus hoc loco dubitat quid per μοναχός intelligat Pappus, et veritatem quam modo explicui ignoravit [15] . Sed ecce propositionem:
Sit recta data OMID (fig. 95) , et in ea quatuor puncta 0, M, I, D data. ”

“ BD (fig. 25) , plus Fig. 25.
grands chacun qu'un quart de circonférence, et soit imaginée la ligne
droite DC. Puis, étant divisé le poids en deux parties égales seulement, soit attachée l'une en C, [et] l'autre en D. [Alors] il est clair que le levier, chargé des poids C, D, pèsera sur l'appui B; mais ce sera tout au contraire que si les deux poids étoient amassés en B. Car, si l'appui n'est pas assez fort, il rompra, et les poids, emportant leur. ”

“ Appendix ad Isagogem topicam continens solutiones problematum solidorum per locos, commence par ces mots : Patuit methodus, etc., et finit par ceux-ci : per rectas et circulos expedire ; 2 pag. in-folio (imprimé dans les Opera Varia) . No 10. Opuscule sur la méthode des tangentes, commence par ces mots : Doctrinam tangentium antecedit, etc. ; le même que no 4, 2 pag. 1⁄2 in-folio (imprimé) . No 11. Des nombres des parties aliquotes de F. Commence ainsi : Propos. (i) . Tout nombre impair non quarré est différent d’un quarré, etc., et finit par ces mots : sont beaucoup éloignez l’un de l’autre ”

“ Quum enim, ex hypothesi, tangens KI occurrat basi AF extra curvam, ergo angulus CHI, qui fit ab intersectione perpendicularis in basim HC et tangentis HI, erit minor recto, ideoque a puncto H demissa perpendicularis in rectam BI cadet in punctum V supra puncta B, R, I. Patet itaque rectam HV minorem esse recta HI; item rectam HI minorem esse recta que puncta H et R conjungit: ergo, a fortiori, recta HI minor erit portione curvet HR, quam recta ab H ad R ducta subtendit. ”

“ Et c'est en cette troisième façon que la quantité de la détermination de la balle est devenue moindre, autant que le mouvement : aussi la surface CBE étoit autant opposée à la première que la liaison des parties l'étoit à l'autre : c'est pourquoi il faut réputer comme nul cet exemple qui n'étoit que pour prouver une vérité que les deux parties ne contestent point.
Je ne daignerois d'observer que M. de Fermat appelle force ou puissance mouvante ce que M. Descartes appelle le mouvement, parce qu'il ne paroît pas dans la suite de la lettre que cette différence soit d'aucune conséquence. ”

“ Sit illa recta ABC. Quum in hyperbole per B transeunte ducta sit tangens cum asymptotis in punctis A et C concurrens, ergo, ex Apollonio [30] , rectae AB, BC sunt aequales, ideoque aequales rectse FE, EC, et AF dupla BE sive AN. Est autem, propter circulum, BA equalis AF: ergo BA est dupla AN et, in triangulo simili, posito centro M, semidiameter MB dupla ME. Datur autem semidiameter: ergo et punctum E.
Et generalis ad inventionem maximin et minimæ geometrica est quaestionum ad tangentes abductio ”

“ Le Theoreme est cettui-cy : Si le nombre des hazards qu'on a pour avoir b soit p, et le nombre des hazards qu'on a pour avoir c soit q, cela vaut autant que si l'on avait aval t p+q Par exemple si j'avois 2 hazards pour avoir de ce qui est mis au jeu et 5 hazards pour en avoir!., je múltiplie _31 par 2 et par 5. Puis jeu et 5 hazards pour en avoir~ , je multiplie 2 par 5. Puis j'adjouste ensemble les produits qui sont et la somme est 169, laquelle je divise par 5 + 2, c'est 7 ”