Integers

“ On appelle en général quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. L'étendue, la durée, le poids, etc., sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l'objet des mathématiques; mais l'arithmétique, qui fait partie de ces sciences, ne considère les quantités qu'en tant qu'elles sont exprimées en nombres.
2. L'arithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés, et son but est de donner des moyens faciles , tant pour représenter les nombres , que pour les composer et décomposer, ce qu'on appelle calculer. ”

“ L'arithmétique est la base des mathématiques, elle en est l'alphabet ; les opérations qui constituent toute l'arithmétique sont au nombre de quatre, que l'on nomme addition, soustraction, multiplication et division. ”

“ Dans l’addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres) , l’un des deux nombres représente l’excès de la somme sur l’autre nombre. Dans la multiplication l’un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l’autre nombre. Voyez Somme, Produit.
A l’égard du détail des opérations particulieres de l’Arithmétique, il dépend de la forme & de l’institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n’a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ On appelle nombre le résultat que l'on obtient en mesurant ou en comptant une grandeur. Or, lorsqu'on mesure une grandeur, il peut arriver : 1 ° qu'elle contienne son unité un nombre exact de fois; 2° qu'elle ne soit qu'une ou plusieurs parties de son unité; 3° qu'elle contienne son unité une ou plusieurs fois avec un reste. De là trois espèces de nombre : le nombre entier, la fraction et le nombre fractionnaire. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ DE LA NUMÉRATION.
L'arithmétique est la science des nombres: elle nous apprend comment il faut calculer pour obtenir un nombre inconnu qu'on veut trouver. Calculer, c'est combiner les nombres, soit en
ajoutant l'un à l'autre, soit en retranchant l'un de l'autre. ”

“ COMMENT une personne qui ne connaît ni la division, ni aucune des règles d'opération de l'arithmétique, ni même les TABLES d'addition et de multiplication, mais seulement les termes techniques des opérations, et, par habitude, les nombres pairs et impairs, à la vue de leur expression vulgaire en chiffres, PEUT-ELLE juger, d'un coup d'œil, s'il y a CERTITUDE absolue ou NON que la division PAR considérable qu'un arithméticien du 1ER ordre vient d'effectuer est FAUSSE ? ”

“ ALGÈBRE ; c’est la science du calcul des grandeurs considérées généralement. Pour cet effet, on représente les différentes quantités qu’on veut soumettre au calcul par des signes très-universels : comme ces signes sont nécessairement arbitraires, on a choisi les lettres de l’alphabet & quelques caractères, lesquels n’ayant aucune valeur, ou signification déterminée, peuvent désigner toute espèce de quantité, une grandeur quelconque. Dans l’arithmétique les caractères numériques, 1, 2, 3, 4, &c. ”

“ Toute science mathématique est fondée sur une idée simple, unique : l’arithmétique sur l’idée du nombre, la géométrie sur celle de l’étendue, la mécanique sur la notion de la force, le calcul infinitésimal sur celle de la variation. ”

“ L’Arithmétique, par exemple, est la science des rapports de nombre, — la Géométrie, des rapports de forme, — les Mathématiques en général, des rapports de quantité en général, de tout ce qui peut être augmenté ou diminué. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ Comment chaque jour peuvent-ils faire leurs comptes si complexes? L’arithmétique les rend faciles. Traversez le Pont-au-Change, demandez aux orfèvres le secret de leurs alliages et comment, nouveaux Archimèdes, par le poids ils calculent le titre. Les mathématiques leur enseignent à le faire. ”

“ Il ne faudrait pas croire qu'en nous servant ainsi de lettres pour représenter les nombres et par suite pour représenter les quantités, nous passions du domaine de l'arithmétique dans celui de l'algèbre, où l'on représente principalement les quantités par des lettres. ”

“ Qu'est-ce que l'arithmétique? — Que nous apprend l'arithmétique? — Qu'est-ce qu'un nombre? — Comment appelle-t-on les choses dont un nombre est composé? —
A quoi sert la numération? — Que faut-il faire pour énoncer facilement les nombres? — Combien y a-t-il de chiffres dans une tranche? — Toutes les tranches doiventelles avoir trois chiffres? — Comment s'appelle la première tranche, en partant de la droite, la troisième, la quatrième? — Quel chiffre emploie-t-on pour remplacer les unités qui manquent dans un rang quelconque? ”

“ Si l’on a plusieurs représentations du nombre par la forme qui appartiennent à la même valeur de l’expression , en supposant toujours les valeurs de premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme ... ”

“ LEÇON lre. Numération décimale 1 Id. 2. Addition et soustraction des nombres entiers. 11 Id. 3, h. Multiplication des nombres entiers. — Le. produit de plusieurs nombres entiers ne change pas, quand on intervertit l'ordre des facteurs. — Pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de multiplier successivement par les facteurs de ce produit. 21 Id. 5, 6. Division des nombres entiers. — Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de diviser successivement par les facteurs de ce produit. ”

“ Tous les changemens que nous opérerons sur les nombres vont devenir maintenant un jeu du principe de la numération et l'introduction de tout mécanisme de calcul, ou de composition et de décomposition de nombres qui constituent au fond l'Arithmétique ; ils sont compris dans ce qui suit : 16. i.0 On peut ou placer à la droite du nombre proposé , ou à sa gauche, ou parmi les chiffres compris entre les deux extrêmes du nombre , un ou plusieurs zéros , et plus généralement un ou plusieurs chiffres (significatifs (i) ou .non) . ”

“ Non seulement chaque chiffre exprime à sa façon une idée essentielle, mais la combinaison des chiffres, c’est-à-dire leur rang dans la série et leur place dans le nombre, se réalise conformément aux lois mêmes de la logique scientifique. En ce sens, ils constituent une véritable langue nouvelle dont les phrases, ici les nombres, sont formées selon des règles syntaxiques constantes au moyen de mots, ici les chiffres. ”

“ Pour multiplier un nombre quelconque, par un chiffre significatif suivi d'un ou plusieurs zéros, on le multiplie par ce chiffre, considéré comme représentant des unités simples, et on écrit, à la droite du produit, autant de'zéros qu'il y en a à la droite du multiplicateur. ”

“ L'arithmétique comprend l'art d'effectuer les opérations auxquelles les nombres donnent naissance et l'étude de leurs propriétés; mais cette seconde partie sera réduite, dans ce traité, aux propositions fondamentales qui peuvent faciliter ou abréger les opérations.
NUMÉRATION DÉCIMALE.
Définition des nombres entiers.
7. Les nombres entiers sont ceux qui expriment l'unité ou la réunion de plusieurs unités. Leur étude constitue la partie
principale de l'arithmétique, car c'est toujours sur des nombres entiers que se font, en dernière analyse, les opérations. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle ; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante.
Ecrivez, les uns sous les autres, tous les nombres proposés; de manière que les chiffres des unités de chacun soient dans une même colonne verticale ; qu'il en soit de même des dizaines, de même des centaines, etc. ; soulignez le tout. ”

“ Mais cet avantage n'est que secondaire, un autre bien plus important se manifestera à mesure que nous avancerons dans l'étude de l'arithmétique ; nous verrons que dans la solution de la plupart des questions d'arithmétique on opère séparément sur chacune de ces parties au lieu d'opérer immédiatement sur le nombre lui-même.
RÉSUMÉ.
1. Définition des grandeurs. — 2. Les grandeurs mesurables sont seules du ressort des mathématiques. — 3, Définition de l'unité. —4. Définition du nombre ; la pluralité est l'origine la plus simple de l'idée du nombre. ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ En arithmétique, évitez, dès le début, les définitions et les règles générales qui simplifient les calculs. C’est surtout en mathématiques qu’on s’aperçoit combien il est nuisible d’apprendre des règles générales. Plus rapide sera la voie par laquelle vous apprendrez à l’élève à calculer, moins il saura. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”

“ Numération, opérations fondamentales; caractères de divisibilité ; nombres premiers et nombres premiers entre eux ; théorie du plus grand commun diviseur entre deux ou plusieurs nombres ; décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers, exposé des différents systèmes de numération; opérations sur les fractions ordinaires et sur les fractions décimales; conversion des fractions ordinaires en fractions décimales et réciproquement; opérations sur les nombres complexes; extraction des racines carrées et cubiques, des nombres entiers et des fractions ; système métrique. ”

“ Pour écrire en chiffres un nombre entier énoncé en langage ordinaire, il faut considérer les différentes espèces d'unités dont se compose le nombre, les écrire successivement, à partir de la gauche, en ayant soin de remplacer par des zéros les unités qui pourraient manquer. ”

“ Qui veut la fin, veut les moyens. Ou bien il faut désespérer de voir l'instruction primaire atteindre le but qu'elle doit se proposer, ou bien il faut que toutes les méthodes de son enseignement cessent -de se traîner dans l'ornière de la routine, et l'Arithmétique est assurément une des premières qui doive en être tirée. ”

“ Je ne présente ici aucune ligne de calculs, parce que je n'entends procéder maintenant que par l'arithmétique du raisonnement', et non par celle des chiffres. Ce sont les principes qui servent de bases aux calculs; d'accord sur les bases, le travail des chiffres et leur application sont à la portée de tout le monde. ”

“ Ils travailleront désormais pour les facultés, pour les colléges, pour les séminaires, pour les écoles, pour les commerçants, pour les industriels, pour les ingénieurs de tous les ordres, pour quiconque, en un mot, veut enseigner la science des nombres sans fatigue, ou faire pour ses propres besoins, et pour ainsi dire en s'amusant, tous les calculs qui se font avec tension d'esprit et perte énorme de temps. ”