Nombre entier

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ Pour convertir un nombre entier en parties d'une espèce donnée, on multiplie le nombre entier par le dénominateur qui indique l'espèce des parties, et l'on prend le produit pour numérateur de la fraction. ”

“ Pour écrire en chiffres un nombre entier énoncé en langage ordinaire, il faut considérer les différentes espèces d'unités dont se compose le nombre, les écrire successivement, à partir de la gauche, en ayant soin de remplacer par des zéros les unités qui pourraient manquer. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”

“ THÉORÈME II. Si un nombre entier a un ou deux chiffres, sa racine carrée n'a qu'un chiffre. S'it a trois ou quatre chiffres, sa racine carrée a deux chiffres; s'il a cinq ou six chiffres, saracine carrée a trois chiffres, et, en général, s'il a 2n ou 2n— 1 chiffres, sa Tacine carrée a n chiffres. ”

“ La valeur d'un nombre, à une unité près, est le plus grand nombre entier qui y soit contenu.
La valeur d'un nombre, à un dixième près, est le plus grand nombre entier de dixièmes qui y soit contenu.
La valeur d'un nombre, à un centième près, est le plus grand nombre entier de centièmes qui y soit contenu.
La valeur d'un nombre, à un millionième près, est le plus grand nombre entier de millionièmes qui y soit contenu, etc. ”

“ Quand un nombre contient un nombre entier d’unités, & qu’il contient de plus de ces sortes de parties, qui sont des dixièmes de l’unité, des centièmes, des millièmes, &c. l’on ajoûte les chiffres qui marquent ces parties dans la même ligne au devant de l’unité, en allant dans ce cas de gauche à droite, & quand il manque un chiffre dans l’un des rangs, on marque 0 dans ce rang-là pour distinguer les rangs qui sont plus à droite. ”

“ D. Comment écrit-on en chiffres un nombre entier quelconque ?
R. On écrit le nombre tel qu'on le dicte, en commençant par la droite, allant vers la gauche, de manière que chaque tranche renferme trois ordres : on en excepte la plus élevée qui peut n'avoir qu'un ordre ou deux ; à cet effet, on a soin de mettre un zéro pour chaque ordre d'unités manquant dans une tranche, et trois zéros pour chaque tran-
che qui ne serait pas nommée. ”

“ III. En se fondant sur la proposition précédente et sur celle qui a été énoncée (Chap. I, ex. III) , on peut prouver que l'opération du plus grand commun diviseur exige un nombre de divisions au plus égal à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres.
CHAPITRE VII.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS.
Définitions.
109. Un nombre entier est dit premier lorsque n'a pas d'autres diviseurs entiers que lui-même et l'unité. ”

“ La valeur absolue d'un chiffre est celle qu'il a quand on le considère seul, et la valeur relative celle qu'il a d'après la place qu'il occupe dans le nombre. Ainsi, dans 4 738, la valeur absolue du premier chiffre à gauche est quatre, ou 4, et sa valeur relative est quatre mille, ou 4 000.
26. Remarque. — Notre numération est appelée décimale, parce que lea nombres sont formés d unités de dix en dix fois plus grandes, et parce qu'on y emploie dix caractères ou chiffres pour représenter tous les nombres possibles.
27. Rendre un nombre entier 10,100,1OOO. fois plus grand ou plus petit. ”

“ Enfin, si le nombre exprime des entiers et des parties d'entier, on l'appelle nombre fractionnaire. Deux heures et demie, quinze litres et trois dixièmes.
6. On dit qu un nombre est complexe, quand il exprime différentes espèces d'unités qui pourraient être ramenées à une seule ; par exemple, quand on dit : ce vase pèse deux hectogrammes et huit grammes, on pourrait simplifier l'expression en disant : deux cent huit grammes ;. alors lu nombre devient incomplexe, parce qu'il n'exprime qu'une seule espèce d'unités. ”

“ Quant au signe √ , qui indique la racine d'un nombre ou d'une quantité, c'était son triomphe, et, lorsqu'il le complétait de la barre horizontale sous cette forme :
√ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
il semblait que ce bras indicateur, dépassant la limite du tableau noir, menaçait le monde entier de le soumettre à ses équations furibondes! ”

“ L’infini des Nombres est un fait prouvé pour votre Esprit, dont aucune preuve ne peut être donnée matériellement. Le Mathématicien vous dira que l’infini des Nombres existe et ne se démontre pas. Dieu, cher pasteur, est un nombre doué de mouvement, qui se sent et ne se démontre pas, vous dira le Croyant. Comme l’Unité, il commence des Nombres avec lesquels il n’a rien de commun. L’existence du Nombre dépend de l’Unité qui, sans être un Nombre, les engendre tous. Dieu, cher pasteur, est une magnifique Unité qui n’a rien de commun avec ses créations, et qui néanmoins les engendre ! ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ La ligne de démarcation de l’Arithmétique et de l’Algèbre provient de l’idée que l’on se fait du nombre, suivant qu’on le considère comme grandeur ou seulement comme numéro d’ordre, c’est-à-dire suivant que l’on accepte ou que l’on refuse la notion de continuité ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ Non seulement chaque chiffre exprime à sa façon une idée essentielle, mais la combinaison des chiffres, c’est-à-dire leur rang dans la série et leur place dans le nombre, se réalise conformément aux lois mêmes de la logique scientifique. En ce sens, ils constituent une véritable langue nouvelle dont les phrases, ici les nombres, sont formées selon des règles syntaxiques constantes au moyen de mots, ici les chiffres. ”

“ Tous les changemens que nous opérerons sur les nombres vont devenir maintenant un jeu du principe de la numération et l'introduction de tout mécanisme de calcul, ou de composition et de décomposition de nombres qui constituent au fond l'Arithmétique ; ils sont compris dans ce qui suit : 16. i.0 On peut ou placer à la droite du nombre proposé , ou à sa gauche, ou parmi les chiffres compris entre les deux extrêmes du nombre , un ou plusieurs zéros , et plus généralement un ou plusieurs chiffres (significatifs (i) ou .non) . ”

“ Qu'est-ce que l'arithmétique? — Que nous apprend l'arithmétique? — Qu'est-ce qu'un nombre? — Comment appelle-t-on les choses dont un nombre est composé? —
A quoi sert la numération? — Que faut-il faire pour énoncer facilement les nombres? — Combien y a-t-il de chiffres dans une tranche? — Toutes les tranches doiventelles avoir trois chiffres? — Comment s'appelle la première tranche, en partant de la droite, la troisième, la quatrième? — Quel chiffre emploie-t-on pour remplacer les unités qui manquent dans un rang quelconque? ”

“ Mais cet avantage n'est que secondaire, un autre bien plus important se manifestera à mesure que nous avancerons dans l'étude de l'arithmétique ; nous verrons que dans la solution de la plupart des questions d'arithmétique on opère séparément sur chacune de ces parties au lieu d'opérer immédiatement sur le nombre lui-même.
RÉSUMÉ.
1. Définition des grandeurs. — 2. Les grandeurs mesurables sont seules du ressort des mathématiques. — 3, Définition de l'unité. —4. Définition du nombre ; la pluralité est l'origine la plus simple de l'idée du nombre. ”

“ Si l'on retranche un, deux, trois, etc., zéros sur la droite d'un nombre, on le rend dix fois, cent fois, mille fois, etc., plus petit, ou on le divise en autant de parties égales.
24. Comme on ne saurait être trop exercé sur le système de numération,je vais terminer son exposé par des exemples sur l'art d'écrire et d'énoncer les nombres: 10. Écrire en chiffres le nombre quatre quintillions quatre trillions vingt-quatre billions trois cent-cinq millions trois cent mille cinq cent vingt unités. ”

“ Vous voyez donc, mes enfants, que quand on dit : lcs unités d'un nombre doivent être toutes de même nature, ce n'est pas seulement une règle de calcul qu'on exprime, c'est aussi une vérité de sens commun. ”

“ Pour faciliter la jeunesse et se familiariser dès le principe avec les fractions les plus communes qui figurent si fréquemment dans tous les calculs et tous les comptes , il est essentiel de faire connoître que 2 1/2 équivalent un entier; ainsi que quatre quarts, trois tiers , cinq cinquièmes , six sixièmes , sept septièmes , huit huitièmes , neuf neuvièmes , dix dixièmes , etc. ”

“ Pour multiplier un nombre quelconque, par un chiffre significatif suivi d'un ou plusieurs zéros, on le multiplie par ce chiffre, considéré comme représentant des unités simples, et on écrit, à la droite du produit, autant de'zéros qu'il y en a à la droite du multiplicateur. ”

“ Le nombre qui détermine le mode de groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d'un usage universel parmi les hommes ”

“ Ces moyens consistent à réduire le calcul des nombres les plus composés à celui de nombres plus simples, ou exprimés par le plus petit nombre de chiffres possible. C'est ce qu'il s'agit d'exposer actuellement.
De l'Addition des Nombres entiers et des Parties décimales.
33. Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres par un seul est ce qu'on appelle faire une addition.
Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle ; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante. ”

“ Convention établie en outre pour se dispenser d'écrire les mots intermédiaires dixaines, centaines, etc. Quelques exemples de nombres écrits en chiffres.
Nécessité d'imaginer un dixième caractère auxiliaire: z éro. Sa propriété et son emploi. Un exemple. Remarque sur la quantité de chiffres qu'il faut pour exprimer telles ou telles unités. Composition des tranches ternaires. A partir des billions, chacune des suivantes, dans l'ordre ascendant, a une dénomination dont la base est numérique. Conséquence qui en découle. règle générale pour écrire en chiffres un nombre. ”

“ EXEMPLE. Un milÏÏon vaut dix centaines de mille, cent dizaines de mille, mille fois mille, dix mille fois cent, et cent mille fois dix.
On a donné des noms particuliers à tous les nombres de dizaines inférieurs à dix dizaines. Ces noms sont : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatrevingt-dix. Il est inutile d'indiquer la signification. de chacun d'eux.
Les nombres compris entre dix et cent s'expriment en indiquant le plus grand nombre de dizaines qu'ils contiennent et y joignant le nom du nombre moindre que dix, qui les complète. ”

“ Si l’on a plusieurs représentations du nombre par la forme qui appartiennent à la même valeur de l’expression , en supposant toujours les valeurs de premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme ... ”