Gaspard Bovier-Lapierre

“ La sécante d’un angle ou d’un arc est le nombre abstrait qui exprime la longueur de la droite menée du centre par la seconde extrémité de l’arc jusqu’à la rencontre de la tangente menée à l’origine de l’arc, par rapport au rayon pris pour unité. ”

“ La multiplication d'un nombre par un autre est une opération par laquelle on cherche un troisième nombre qui vaut autant de fois le premier que le second contient d'unités.
Le premier nombre, celui qui doit être multiplié, s'appelle multiplicande; le second, multiplicateur; et le résultat, produit. Le multiplicande et le multiplicateur portent aussi le nom de facteurs. 1 Nous ne considérons d'abord la multiplication que dans le cas ou le multiplicateur est un nombre entier, le multiplicande pouvant être indifféremment un nombre entier ou un nombre décimal (*) . ”

“ Ce nombre de parties dans lesquelles on divise l'unité est tout à fait arbitraire. Ainsi on pourrait diviser le mètre en huit parties égales, et si on trouvait que cette huitième partie est contenue cinq fois dans la longueur d'une baguette, on dirait qu'elle a cinq huitièmes de mètre.
La centième partie du mètre, la huitième partie du mètre sont aussi des unités ; mais on dit que ce sont des unités fractionnai res, pour indiquer qu'elles ne sont que des parties de l'unité entière. Douze centièmes de mètre, cinq huitièmes de mètre sont aussi des nombres ”

“ On a donc cherché à obtenir, par le calcul, les trois éléments d’un triangle dont les trois autres sont connus ; c’est ce qu’on appelle résoudre un triangle. Cette partie des mathématiques, qui apprend à résoudre un triangle, porte le nom de trigonométrie. ”

“ Dans ce cas le franc est l'unité, et trente est le nombre qui fait connaître combien la somme contient de ces unités.
La longueur d'une table, la valeur d'une somme d'argent sont des quantités. En général on désigne par ce nom tout ce que l'on conçoit comme pouvant être plus ou moins grand ; tels sont le
poids d'un objet, l'espace de temps qui s'écoule d'un moment à un autre, la contenance d'un bassin, etc. ”

“ Cas où l’on connaît seulement les angles d’un triangle.
La géométrie apprend qu’un triangle n’est pas déterminé quand on ne connaît que ses angles. La trigonométrie va nous conduire au même résultat. ”

“ Règle pour lire une fraction décimale de mètre cube. — Quand on doit lire une fraction décimale de mètre cube, on donne une idée plus nette de sa grandeur en indiquant le nombre de décimètres cubes, de centimètres cubes et de millimètres cubes qu'elle contient, au lieu d'énoncer les dixièmes, les centièmes. de mètre cube.
HÈGLE. — Pour lire une fraction décimale de mètre cube, on la divise en tranches de trois chiffres à partir de la virgule, et s'il ne reste qu'un ou deux chiffres pour la dernière, on la complète par deux zéros ou un zéro. ”

“ Lorsque le sinus d’un arc a est donné en même temps que l’arc, il n’y a plus qu’une des quatre solutions qui convienne pour le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc. Le choix ne présente aucune difficulté. ”

“ Le plus souvent, dans l'énoncé d'un nombre décimal, au lieu d'indiquer séparément le nombre de dixièmes, le nombre de centièmes, le nombre de millièmes, etc., on énonce la fraction décimale comme un seul nombre à la suite duquel on met le nom de la dernière unité décimale. ”

“ La simplification à introduire dans l’enseignement de la trigonométrie consiste moins à en élaguer le superflu et à n’y conserver que le strict nécessaire qu’à changer la méthode et à ne pas s’attacher exclusivement à l’unité du plan. ”

“ DÉTERMINATION* DU SlÈTRE. —ANCIENNES MESURES DE LONGUEUR.
On dit dans tous les traités d'arithmétique : le mètre est la dixmillionième partie du quart du méridien. Cette définition est inintelligible pour les enfants, qui ignorent généralement ce que c'est qu'un méridien. Nous allons donner à ce sujet quelques explications fort simples.
La terre est une sphère, c'est-à-dire un corps rond comme une boule ; les inégalités que forment les montagnes à sa surface sont aussi peu de chose, en raison de son étendue, que des grains de sable très-fins qui seraient sur une petite boule. ”

“ La trigonométrie fournit des formules très-simples pour calculer la surface d’un triangle, quand on connaît trois de ses parties, parmi lesquelles il y a au moins un côté.
1o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés deux côtés et l’angle compris entre eux. ”

“ Avec le stère, on emploie le décistère seulement. Pour le franc, l'usage n'a adopté que les mots déci et centi, en désignant le dixième et le centième du franc par décime et centime.
83. Manière d'écrire les nombres exprimant des unités métriques. — Les multiples et les subdivisions de chaque mesure principale du système métrique n'étant autre chose que des dizaines, des centaines, des mille, des dizaines de mille, et des dixièmes, des centièmes, des millièmes de l'unité principale, il en résulte qu'il n'y a aucune difficulté à écrire un nombre contenant ces unités. ”

“ Une longue expérience m’a prouvé combien il y a d’avantages à tirer d’une première formule tout ce qu’elle renferme d’applicable, et à n’en amener une nouvelle que lorsqu’elle est indispensable pour franchir un obstacle et aller en avant. La mémoire est ainsi soulagée, et les élèves ne trouvent plus de répugnance à apprendre ces formules lorsqu’elles se montrent accompagnées d’applications propres à en faire comprendre le sens et l’utilité. ”

“ Il y a beaucoup de corps dont la forme diffère seulement de celle du cube, en ce que la longueur, la largeur et la hauteur sont inégales; telles sont une caisse, une poutre équarrie, etc. Ces corps ont six faces rectangulaires.
Pour trouver le volume d'un corps à six faces rectangulaires, il suffit de multiplier la longueur par la largeur, et le résultat de cette multiplication par la hauteur. Pour démontrer cette règle, on n'a qu'à répéter les explications données au n° 92, en remplaçant le mètre carré par le rectangle du n° 90, dont la surface représente 5 fois 5 décimètres carrés. ”

“ Ainsi le rapport de deux côtés d’un triangle est égal au rapport des sinus des angles opposés à ces côtés.
L’égalité trouvée peut s’écrire ainsi
. On obtiendrait de la même manière
. On a donc la relation suivante :
(6) , qui exprime que chaque côté d’un triangle, divisé par le sinus de l’angle opposé, donne un quotient constant [1] .
On énonce ordinairement ce principe de la manière suivante : les trois côtés d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés. ”

“ La surface d'un corps est l'espace occupé par ce corps en longueur et en largeur. Ainsi quand on parle de la surface d'une table, d'un champ, il n'est question que de l'étendue de cette table ou de ce champ en longueur et en largeur, sans tenir compte de l'épaisseur. ”

“ Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle. ”

“ Les mesures principales comprises dans le système métrique sont 4° le mètre pour les longueurs ; 20 le mètre carré pour les surfaces peu étendues, comme celle d'un plancher, et l'are pour la surface des champs ; 5" le mètre cube pour-le volume des corps; il prend le nom de stère quand il s'agit du volume du bois de chauffage ; 4° le litre pour la capacité d'un vase, d'un bassin, etc.; 50 le gramme pour le poids des corps ; 6° le franc pour la monnaie.
Le mètre est une longueur qui est contenue 40 millions de fois dans le tour de la terre (*) . ”

“ Lorsque les données du problème sont prises arbitrairement, la seule condition nécessaire pour que le triangle existe, quand l’angle A est obtus, est que le côté a soit le plus grand des deux côtés donnés. ”

“ C'est ce mouvement de la terre qui produit le jour et la nuit. Le soleil étant immobile dans l'espace, nous avons le jour, quand la partie de la terre que nous habitons est en face de cet astre ; nous avons la nuit, quand le soleil nous est caché par l'épaisseur de là terre. ”

“ On a inscrit les logarithmes des sinus en colonne vis-à-vis le nombre de degrés et de minutes de l’angle correspondant placé dans une autre colonne ; on a fait la même chose pour le cosinus, la tangente et la cotangente. ”

“ Les pièces d'or et les pièces d'argent contiennent une quantité de cuivre égale à la dixième partie de leur poids. Le poids de l'argent ou de l'or qui entre dans la pièce n'est donc que les 9 dixièmes du poids de cette pièce; cette iraction est ce qu'on appelle Je titre de la monnaie. Ainsi le titre est une fraction indiquant la partie du poids total qui est d'or ou d'argent pur. Il est égal au quotient obtenu en divisant le poids d'or ou d'argent par le poids total. ”

“ Il en serait de même pour les logarithmes des tangentes des angles inférieurs à 45° et des cotangentes des angles supérieurs à 45° ; car la tangente et la cotangente de 45° sont égales à 1. Pour éviter dans la partie entière de ces logarithmes l’emploi d’un chiffre surmonté du signe , chaque logarithme a été augmenté de 10. On doit donc, dans les calculs, diminuer de 10 tout logarithme d’un sinus et d’un cosinus pris dans les tables, le logarithme de la tangente d’un angle inférieur à 45° et celui de la cotangente d’un angle compris entre 45° et 90°. ”

“ Le mètre cube contient 1000 décimètres cubes ; le décimètre cube contient 1000 centimètres cubes, et le centimètre cube contient 1000 millimètres cubes.
En effet supposons qu'on ait tracé sur un plancher un mètre carré divisé par des lignes droites, comme dans la figure du n° 86, en 100 décimètres carrés. En posant un décimètre cube de bois ou de carton sur chaque décimètre carré, on forme une
tranche carrée ayant 1 mètre en longueur et en largeur, 1 décimètre d'épaisseur et composée de 100 décimètres cubes. ”

“ Il est facile de trouver le logarithme d’une ligne trigonométrique lorsque l’angle ne contient que des degrés et des minutes. Par exemple, pour avoir on cherche la page en haut de laquelle on lit 21°. On descend ensuite dans la colonne des minutes à gauche de la page jusqu’au nombre , et on prend le nombre placé sur la même ligne horizontale que dans la colonne qui porte en tête le mot sinus. En diminuant ce nombre de 10 on a
. Si l’on veut la tangente de 68° 14′, on cherche la page au bas de laquelle on voit . On monte ensuite dans la colonne des minutes à droite de la page jusqu’au nombre . ”

“ La démonstration a été donnée sur une figure où la somme des arcs a et b est moindre que 90°, et l’arc b plus petit que l’arc a. Elle se répéterait de la même manière si cette somme était supérieure à 90°, et si l’arc b était plus grand que l’arc a. Il est seulement nécessaire de bien faire attention au signe que doit prendre le cosinus. ”

“ Pour trouver le volume d'un cube, il suffit de multiplier deux fois par lui-même le nombre qui exprime la longueur de son arête. Le produit exprime des mètres cubes, si c'est le mètre qui a été pris pour unité de longueur ”

“ On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur de droite à gauche; on écrit les produits les uns sous les autres au-dessous du trait, de manière que le premier chiffre à droite de chaque produit soit dans la même colonne que le chiffre correspondant du multiplicateur, et on fait la somme des produits. Cette somme est le produit cherché.
Si le multiplicande est un nombre décimal, il faut en outre mettre une virgule au produit, de manière qu'il y dit à sa droite autant de chiffres décimaux qu'au multiplicande. ”

“ En effet, dans tout triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres plus le double produit de l’un de ces côtés multiplié par la projection de l’autre côté sur celui-ci, si l’angle opposé au premier côté est obtus, moins ce double produit si cet angle est aigu.
Considérons le côté AB opposé à l’angle aigu C (fig. 8 ) .
D’après ce théorème, on a
. Or, le triangle rectangle ACD donne ; en substituant cette valeur dans l’égalité précédente, on obtient
. ”

“ Il remarque que ce prix est la 12e partie de 60 centimes, c'est-à-dire 5 centimes. Connaissant alors le prix d'une pomme, il sait que 7 pommes coûteront'7 fois plus ou 55 centimes. Cette marche est à peu près celle de tout le monde; elle est le fruit de la réflexion et non de l'étude. Comme elle nous fait descendre d'un nombre plus ou moins grand à 1 pour remonter ensuite à un autre nombre, elle s'appelle méthode de la réduction à l'unité : c'est la seule qu'on doive indiquer dans un traité d'arithmétique destiné aux écoles primaires. ”

“ Multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre. — Reprenons l'exemple du n° 28, celui où il s'agit de trouver un nombre égal à 6 fois 25fl',84, c'est-à-dire de multiplier 25,84 par 6. On aura évidemment le produit en prenant 6 fois les 4 centièmes, 6 fois les 8 dixièmes, 6 fois les 5 unités, 6 fois les 2 dizaines, et en additionnant ces divers produits. Comme ils ne sont pas considérables, on
peut les additionner, sans les écrire séparément, de la manière suivante : 6 fois 4 font 24 centièmes; j'écris 4 centièmes, et je retiens 2 dixièmes. ”

“ Dans une multiplication où le multiplicande n'est qu'approché, le nombre des chiffres décimaux qu'il faut employer au multiplicande est égal au nombre des chiffres décimaux qu'on veut conserver au produit, plus le nombre des chiffres de la partie entière du multiplicateur.
Dans la division, au contraire, l'erreur du quotient est moindre que celle du dividende ; elle est égale à celle du dividende divisée par le diviseur. En effet, supposons qu'on doive distribuer à 25 personnes une somme de 2Ê8fr,50. ”