Gaspard Bovier-Lapierre

“ Cas où l’on connaît seulement les angles d’un triangle.
La géométrie apprend qu’un triangle n’est pas déterminé quand on ne connaît que ses angles. La trigonométrie va nous conduire au même résultat. ”

“ Lorsque le sinus d’un arc a est donné en même temps que l’arc, il n’y a plus qu’une des quatre solutions qui convienne pour le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc. Le choix ne présente aucune difficulté. ”

“ Une longue expérience m’a prouvé combien il y a d’avantages à tirer d’une première formule tout ce qu’elle renferme d’applicable, et à n’en amener une nouvelle que lorsqu’elle est indispensable pour franchir un obstacle et aller en avant. La mémoire est ainsi soulagée, et les élèves ne trouvent plus de répugnance à apprendre ces formules lorsqu’elles se montrent accompagnées d’applications propres à en faire comprendre le sens et l’utilité. ”

“ La simplification à introduire dans l’enseignement de la trigonométrie consiste moins à en élaguer le superflu et à n’y conserver que le strict nécessaire qu’à changer la méthode et à ne pas s’attacher exclusivement à l’unité du plan. ”

“ Ainsi le rapport de deux côtés d’un triangle est égal au rapport des sinus des angles opposés à ces côtés.
L’égalité trouvée peut s’écrire ainsi
. On obtiendrait de la même manière
. On a donc la relation suivante :
(6) , qui exprime que chaque côté d’un triangle, divisé par le sinus de l’angle opposé, donne un quotient constant [1] .
On énonce ordinairement ce principe de la manière suivante : les trois côtés d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés. ”

“ La trigonométrie fournit des formules très-simples pour calculer la surface d’un triangle, quand on connaît trois de ses parties, parmi lesquelles il y a au moins un côté.
1o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés deux côtés et l’angle compris entre eux. ”

“ Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle. ”

“ Lorsque les données du problème sont prises arbitrairement, la seule condition nécessaire pour que le triangle existe, quand l’angle A est obtus, est que le côté a soit le plus grand des deux côtés donnés. ”

“ Il en serait de même pour les logarithmes des tangentes des angles inférieurs à 45° et des cotangentes des angles supérieurs à 45° ; car la tangente et la cotangente de 45° sont égales à 1. Pour éviter dans la partie entière de ces logarithmes l’emploi d’un chiffre surmonté du signe , chaque logarithme a été augmenté de 10. On doit donc, dans les calculs, diminuer de 10 tout logarithme d’un sinus et d’un cosinus pris dans les tables, le logarithme de la tangente d’un angle inférieur à 45° et celui de la cotangente d’un angle compris entre 45° et 90°. ”

“ La démonstration a été donnée sur une figure où la somme des arcs a et b est moindre que 90°, et l’arc b plus petit que l’arc a. Elle se répéterait de la même manière si cette somme était supérieure à 90°, et si l’arc b était plus grand que l’arc a. Il est seulement nécessaire de bien faire attention au signe que doit prendre le cosinus. ”

“ On a inscrit les logarithmes des sinus en colonne vis-à-vis le nombre de degrés et de minutes de l’angle correspondant placé dans une autre colonne ; on a fait la même chose pour le cosinus, la tangente et la cotangente. ”

“ Il est facile de trouver le logarithme d’une ligne trigonométrique lorsque l’angle ne contient que des degrés et des minutes. Par exemple, pour avoir on cherche la page en haut de laquelle on lit 21°. On descend ensuite dans la colonne des minutes à gauche de la page jusqu’au nombre , et on prend le nombre placé sur la même ligne horizontale que dans la colonne qui porte en tête le mot sinus. En diminuant ce nombre de 10 on a
. Si l’on veut la tangente de 68° 14′, on cherche la page au bas de laquelle on voit . On monte ensuite dans la colonne des minutes à droite de la page jusqu’au nombre . ”

“ La mémoire est fatiguée par la multiplicité des formules, et si l’élève est obligé de passer de l’une à l’autre sans voir les applications dont chacune est susceptible, il se décourage à travers ces principes abstraits et néglige souvent une étude qui lui paraît alors hérissée de difficultés. ”

“ En A′ on construit un angle égal à l’angle A, et en C′ un angle égal à l’angle C. Le triangle A′B′C′, ainsi obtenu, est semblable à celui du terrain ; il en est le plan. Les nombres de millimètres que contiendront les côtés A′B′ et B′C′ indiqueront combien il y a de mètres dans AB et BC. L’angle B′ sera égal à l’angle B ”

“ Cette formule est celle qui donne un côté d’un triangle quand on connaît les deux autres et l’angle compris entre eux.
Observons d’abord que si on pouvait isoler sous le radical, la quantité étant le carré de , il n’y aurait plus qu’un binôme sous le radical. ”

“ Ainsi, dans le triangle ABC, on connaît les côtés AC, BC et l’angle ACB compris entre eux ; on pourra donc calculer le côté AB qui est la distance demandée.
Remarque. Pour obtenir le côté AB, il n’est pas absolument nécessaire de connaître la longueur des côtés AC et BC ; il suffit d’avoir leurs logarithmes. ”

“ Si l’on veut résoudre ces deux cas au moyen des formules
,
on arrive toujours à une équation à deux inconnues. Néanmoins le problème n’est pas indéterminé. Il y a une autre équation sous-entendue, c’est A + B + C = 180°. Mais la résolution de ces équations présente quelques difficultés, parce que les angles y entrent de deux manières différentes. ”

“ Son sinus est , sa tangente est , sa sécante est , son cosinus est , sa cotangente est , et sa cosécante est .
Si on désigne par a l’arc , l’arc sera égal à , et, d’après l’égalité des triangles rectangles de la figure, on trouve facilement
2o Soit l’arc et .
Son sinus est , sa tangente est , sa sécante est , son cosinus est , sa cotangente est , sa cosécante est .
Comme l’arc est égal à l’arc , l’arc est égal à , et on a
3o Si à un arc moindre que on ajoute un nombre entier de circonférences, le nouvel arc se terminera au même point que le premier ”

“ On dirige ensuite l’alidade mobile vers le point S, et on détermine au moyen de l’arc ab l’angle ScD. On mesure en outre la distance cD, en portant la chaîne horizontalement sur le sol dans la direction BA.
On connaît ainsi dans le triangle rectangle ScD le côté cD et l’angle ScD ; on pourra donc calculer le côté SD. Au résultat trouvé, il faudra encore ajouter la hauteur DA du point D au-dessus du sol.
46. Problème II. — Trouver la hauteur d’une montagne. ”

“ Problème VI. — Étant données les tangentes de deux arcs, trouver la tangente de la somme et de la différence de ces arcs.
D’après les formules (1) et (8) , on a d’abord
. Divisant le numérateur et le dénominateur par et supprimant les facteurs communs aux deux termes de chaque fraction, on trouve
Pour tang (a – b) , il n’y a qu’à changer dans ce qui précède + en – au numérateur et – en + au dénominateur. ”

“ Or la formule (12) donne
;
la formule (10) donne aussi
. En substituant ces résultats dans la valeur trouvée pour c, on obtient
;
car étant le complément de , le facteur est égal au facteur .
Par cette dernière méthode, on utilise dans le calcul du côté c le logarithme de a + b, déjà employé dans le calcul des angles, et l’on n’a à chercher que deux nouveaux logarithmes au lieu de trois.
Exemple. — Dans un triangle on a
a = 215m,36,xxxb = 183m,47,xxxC = 71° 25′ 14′′ ;
calculer les angles A et B, et le côté c.
Calcul de A et B.
. ”

“ Divisant le numérateur et le dénominateur du second membre par a, on trouve :
. Comme la tangente d’un angle peut prendre toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’infini quand l’angle varie depuis 0° jusqu’à 90° on peut, quel que soit le quotient , le regarder comme exprimant la tangente d’un angle que l’on calculera par la relation .
Remplaçant donc par , on obtient :
. Mais on a déjà trouvé au no 40 :
. On a donc, pour calculer les angles du triangle ABC, les deux formules :
Elles donnent pour le calcul
On déterminera ensuite le côté AB = c par la formule
, d’où . ”

“ Pour effectuer le calcul, on doit d’abord chercher le carré de l’arc de avec 18 chiffres décimaux par la multiplication abrégée. On obtient
ou, en se bornant aux treize premières décimales comme pour le sinus,
.
57. Les sinus et cosinus de ,,... pourraient être tirés des égalités
,
,
,
et ainsi de suite. Mais Th. Simpson, mathématicien anglais du xviiie siècle, observant que les arcs dont on cherche les sinus et cosinus forment une progression par différence, a simplifié le calcul de la manière suivante. Prenons les formules du no 38
. ”

“ Maintenant, soit d la différence entre les logarithmes des sinus des deux angles a et b tels que
Si augmentait de d, l’angle a augmenterait de et serait égal à b.
Si augmente seulement de 1 unité du 5e ordre décimal, l’angle a augmente de Par conséquent si le logarithme du sinus d’un angle inconnu est affecté d’une erreur moindre que 1 unité du 5e ordre décimal, l’erreur commise sur l’angle obtenu sera moindre que Or la différence d va en diminuant à mesure que l’angle augmente ; au delà de 12° elle est plus petite que 60 ”

“ Il est quelquefois utile de transformer en un produit une somme ou une différence de deux quantités quelconques ou .
Pour cela on réduit d’abord l’un des termes du binôme à 1, en divisant et en multipliant le binôme par ce terme. ”

“ Calculer la surface d’un quadrilatère, étant donnés les deux diagonales et l’angle qu’elles forment entre elles.
Remarquons (fig. 15) d’abord que l’angle aigu et l’angle obtus adjacents que les diagonales forment à leur intersection étant supplémentaires, leurs
Fig. 15.
sinus sont égaux : désignons l’angle aigu par . ”

“ Divisons membre à membre les deux égalités (12) , en supprimant en même temps dans le résultat le facteur 2 au numérateur et au dénominateur, nous obtenons
Or le sinus d’un arc divisé par le cosinus du même arc donne la tangente de cet arc, et le cosinus divisé par le sinus donne la cotangente (no 13) ; on a donc d’après cela
On sait de plus que est égal à ”

“ Or le sinus et le cosinus d’un arc ne changent pas quand l’arc est diminué d’un nombre pair de demi-circonférences positives ou négatives, et ne font que changer de signe quand le nombre de ces demi-circonférences est impair.
D’après cela, on a
De plus, comme les arcs et sont complémentaires, on a encore
xx et xx. Construction des racines. — Soit ; menons par le point la droite parallèle à , et prenons égal à (fig. 23) . ”

“ Soit . On peut augmenter a d’un nombre entier positif de circonférences assez grand pour que l’arc soit positif, ce qui ne change pas le sinus et le cosinus. Les deux arcs et étant positif, on a
xxx
On peut ôter un nombre entier de circonférences à ces arcs sans altérer les lignes trigonométriques ”

“ Mais le logarithme cherché est compris entre et dont la différence est le nombre 27 inscrit dans la colonne voisine D, entre la ligne qui commence par 36 et celle qui commence par 37 ; l’augmentation qu’il faut donner à n’est qu’une partie de 27. Pour la connaître on fait le raisonnement suivant.
Si l’angle augmentait de ou , le logarithme augmenterait de 27 unités du cinquième ordre décimal ; si l’angle augmentait seulement de , le logarithme augmenterait de la 60e partie de 27, ou de ; donc pour le logarithme augmente de .
Ce petit calcul se résume ainsi :
ajouter pour . ”

“ Il s’agit maintenant de traiter avec les développements convenables ce qui avait seulement été indiqué.
1o Tout arc inférieur au quadrant est plus grand que son sinus et plus petit que sa tangente.
En effet, soit l’arc AM (fig. 20) . Prolongeons son sinus MP jusqu’en N ”

“ La formule (14) donne déjà
. Pour remplacer le premier membre par une valeur exprimée en fonction des côtés donnés a et b, nous emploierons la proportion . D’après un principe démontré en arithmétique, on en tire
. ”

“ Dans ce cas, il faudrait recommencer les opérations en remplaçant l’un des trois points A′, B′, C′ par un autre.
↑ Il est facile de voir que est équivalent à ; car est la même chose que étant un nombre quelconque. Or, d’après la règle de la multiplication, on a . ”

“ On prend la précaution de former d’avance les produits de k par chacun des neuf chiffres significatifs.
59. Des erreurs étant à craindre dans des opérations aussi étendues, il est important d’avoir des moyens de vérification. ”

“ On peut tirer de en remarquant que est égal à . En effet, on a alors
,
ou
Pour avoir , on remplacera par dans , et il viendra
. Ainsi de l’une des formules (8) et (9) on peut déduire les trois autres. ”

“ Simpson. On y remplace successivement a par en ayant soin dans ces calculs de déterminer le degré d’approximation de chaque résultat [1] .
58. Ces calculs peuvent encore être abrégés. En effet, soit k la différence très-petite qui existe entre et , on aura
,
. Remplaçant par dans les égalités (27) , et transposant, on obtient
Faisant ensuite on trouve
On voit par là qu’en retranchant de , on obtient la différence qu’il y a entre et ”