Charles Roguet

“ En général chaque particule d'un corps animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe, tend sans cesse à s'échapper en suivant la direction de la tangente à la circonférence que parcourt cette particule. ”

“ La force qui produit le mouvement d'un corps lorsque celui-ci, abandonné à lui-même, tombe sur la terre, est la pesanteur. Le poids d'un corps est l'effet produit par l'action de la pesanteur sur ce corps. ”

“ On nomme angle au centre d'une circonférence, tout angle qui a pour sommet le centre de la circonférence.
36. On peut tracer une circonférence d'un rayon donné, ou égale à une circonférence donnée, par un mouvement continu, à l'aide du compas. Après avoir donné aux branches un écartement tel que la distance des deux pointes soit égale au rayon donné de la circonférence, on place l'une des pointes au point qu'on a choisi pour centre, et on fait tourner l'autre pointe autour de celle-ci en l'appuyant sur le papier. ”

“ COROLLAIRE IV. — Tout angle inscrit dans un segment moindre que le demi-cercle est un angle obtus; car il a pour mesure un arc plus grand que la moitié de la demi-circonférence, c'est-à-dire un arc plus grand qu'un quadrant (175) .
TUÉORÈME.
195. — Tout angle formé par une corde et une tangente a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés (fig. 119) . ”

“ Lorsqu'on doit, au contraire, faire au point 0 d'une droite donnée OA un angle égal à un angle donné, on relève l'angle donné comme on vient de le dire ; ensuite on place le diamètre de l'instrument sur la droite OA de manière que le centre tombe au point 0, que l'on prend pour sommet de l'angle demandé. On marque ensuite un point E, vis-à-vis de la division du rapporteur qui correspond au nombre de degrés trouvés; on tire OE et l'angle DOE est l'angle demandé, puisqu'il a la même mesure que l'angle donné. ”

“ Sil'on fait tourner rapidement un corps attaché à l'une des extrémités d'une corde dont l'autre extrémité est fixe, la corde se tend de plus en plus à mesure que le mouvement devient plus rapide. Le corps, en tournant, agit sur la corde de la même manière que s'il était soumis à l'action d'une force qui tendrait à l'éloigner du centre de la circonférence qu'il parcourt dans son mouvement ”

“ Au point B on élève une perpendiculaire sur AB et, du point A comme centre avec b pour rayon, on décrit une circonférence qui coupe en D cette perpendiculaire : on tire la droite AD, et on élève sur AD, au point
D. une perpendiculaire qui rencontre le prolongement de AB en un point G, dont. la distance AC, au point A, est la troisième proportionnelle demandée (380, 2°) . ”

“ Toute droite telle que AB, menée par le centre et terminée à la circonférence, est un diamètre. Tous les diamètres sont égaux, car un diamètre est le double du rayon.
33. On appelle arc (fig. 17) une portion quelconque de la circonférence, telle que CMD. La droite qui unit deux points
de la circonférence est une corde. On dit que la corde sous-tend l'arc qui a les mêmes extrémités qu'elle; d'où il résulte qu'une même corde sous-tend toujours deux arcs qui, réunis, forment la circonférence. ”

“ Connaissant le rayon et l'apothème d'un polygone régulier, déterminer le rayon et l'apothème du polygone régulier de même aire et d'un nombre double de côtés.
En désignant par R et r le rayon et l'apothème du polygone donné, et par R' et r', ceux du polygone de même aire et d'un nombre double de côtés, on trouve :
THÉORÈME.
555. L'aire d'un secteur circulaire est égale au produit de l'arc correspondant par la moitié du rayon (fig. 315) . ”

“ Divisons les angles P'BC, BCN' chacun en deux parties égales ; les deux bissectrices se rencontreront, puisqu'elles font avec la sécante BC deux angles intérieurs dont la somme est moindre que deux angles droits; et leur point de rencontre, 0', sera également distant des trois droites données.
Donc, si du point 0' comme centre et avec un rayon égal à la distance de ce point à l'une des droites on décrit une circonférence, elle sera tangente aux trois droites données.
SCOLIE. — La construction précédente s'applique aussi
lorsque deux des droites sont parallèles. ”

“ COROLLAIRE II. — Le polygone étoilé pentagonal est évidemment le plus simple des polygones réguliers étoilés, car on ne peut déduire aucun polygone régulier étoilé du carré ou du triangle équilatéral.
§ 4. — Rapport de la circonférence au diamètre.
Rectification de la circonférence.
DÉFINITIONS.
484. On nomme limite d'une grandeur variable une autre grandeur constante, telle que la différence entre elle et la
variable puisse devenir et rester moindre que toute grandeur donnée. ”

“ Si par un point P, pris d'une manière quelconque dans le plan d'un angle YOX, on mène diverses sécantes telles que PAB, le lieu du' point C, conjugué harmonique du point P par rapport au segment AB compris entre les côtés de l'angle, sera le rayon OC, conjugué harmonique de OP par rapport à l'angle YOX ou par rapport aux rayons OY, OX (fig. 259) .
Car (426) toute transversale menée par le point P coupera le faisceau OPACB en quatre points formant un système harmonique. ”

“ AB, CD sont égales, si, après avoir transporté UV sur XY et placé le point C au point A, on peut amener le point D à se confondre avec le point B, en faisant tourner UV autour du point A.
8. DISTANCE DE DEUX POINTS. — On nomme distance de deux points A et B (fig. 2) la portion de droite terminée aux points A et B.
9. Du COMPAS. — Le compas peut servir à relever la distance de deux points, en amenant les deux pointes aux deux points donnés. La seule vérification à faire subir au compas est de s'assurer que sa charnière joue à frottement égal. ”

“ Dans plusieurs métiers on est obligé de former des figures égales par symétrie ; tels sont ceux, par exemple, qui ont pour objet la confection des vêtements, parce que le corps humain est composé de parties égales et symétriquement placées. ”

“ SCOLIE I. — On peut déduire de chacun des théorèmes (393, 396) un moyen de construire la quatrième proportionnelle à trois droites données.
400. SCOLIE II. — On nomme puissance d'un point par rapport à un cercle, le produit des distances de ce point aux deux points de rencontre de la circonférence avec une sécante menée par ce point. Si l'on désigne par d la distance du point au centre, par r le rayon, cette puissance est égale, d'après ce qu'on vient de voir, à ± (r2 — d2) , suivant que le point est intérieur ou extérieur à la circonférence. ”

“ En effet, un losange est un parallélogramme , puisque les côtés opposés sont égaux; par conséquent les diagonales se coupent en un point qui est le milieu de chacune d'elles, et la diagonale BD, unissant le sommet B du triangle isocèle ABC au milieu 0 de la base AC, est perpendiculaire sur AC.
281. ”

“ Inscrire un décagone régulier dans une circonférence donnée (fig. 270) .
Supposons que la corde AB soit égale au côté du décagone régulier inscrit. Tirons les rayons OA, OB. L'angle AOB est 1 1 d. 4 2 égal a -1 de 4 angles droits, ou à —, ou enfin à - d'un angle 10 10 5 droit. La somme des angles à la base A et B du triangle OAB 2 est donc égale à l'excès de deux angles droits sur d'un o angle droit, ou à - d'un angle droit ; et, comme le triangle 4 OAB est isocèle, chacun des angles A et B est égal à - d'un 5
-angle droit. Tirons la bissectrice AC de l'angle A ; elle divise
Fig. 270. ”

“ En effet, plaçons le triangle A'B'C' sur le triangle ABC, en mettant le point A' au point A et le point B' au point B, ce qui
est possible, puisque A'B' = AB. Or, l'angle A' étant égal à l'angle A, le côté A'C' prend alors la direction de AC, et comme A'C' = AC, le point C' tombe en C. Par conséquent les périmètres des deux triangles coïncident et les triangles sont égaux.
250. SCOLIE. — On doit remarquer dans ce cas d'égalité, que les côtés égaux sont opposés à des angles égaux. ”

“ Si l'on tire le diamètre BE, on a dans le triangle rectangle ABE:
Le rapport du côté du triangle équilatéral inscrit au rayon est donc égal à y 3455. COROLLAIRE II. — On peut construire : 1° le dodécagone régulier inscrit, en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les côtés de l'hexagone et en joignant ensuite deux à deux les points de division consécutifs; 2° Le polygone régulier inscrit de 24 côtés, en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les côtés du dodécagone régulier, et ainsi de suite. ”

“ On dit qu'un angle est aigu, s'il est moindre qu'un angle droit, et obtus s'il est plus grand. Ainsi (fig. 10) , la droite OD étant perpendiculaire sur AB, l'angle AOC est aigu et l'angle BOC est obtus. ”

“ On nomme horizontale, toute droite tracée dans un plan horizontal. Une verticale est perpendiculaire à toutes les horizontales qu'elle rencontre. D'où vient que l'on dit que la verticale est perpendiculaire au plan horizontal.
577. L'intersection d'un plan quelconque par un plan horizontal est dite une hori:ontale du premier plan. Si l'on coupe un plan par deux plans horizontaux, les intersections sont des droites parallèles, car elles sont dans un même plan, et, en outre, elles ne peuvent pas se rencontrer, puisque, s'il en était autrement, les deux plans horizontaux se rencontreraient. ”

“ Ce cercle est en outre mobile dans son plan autour de son centre. Un support à trois branches supporte ce cercle, auquel il est articulé au moyen d'un genou.
Le cercle est muni, comme le graphomètre, d'une alidade, et le diamètre qui représente la ligne de foi porte deux pinnules. Mais ordinairement l'alidade et la ligne de foi, au lieu de pinnules, sont munies de lunettes placées l'une au-dessus du cercle, et l'autre au-dessous. L'alidade peut être fixée au cercle dans une position quelconque à l'aide d'une vis de pression.
Soit VOU (fig. H3) l'angle à mesurer. ”

“ Si l'on rase une maison régulière, à sa base, ou à chacune de
ses parties principales, on trouve la figure d'un rectangle (qui est, comme nous le verrons plus tard, sa projection horizontale) . Une route droite, une portion rectiligne de canal, le cadre de certaines portes, de certains châssis sont des rectangles.291. Le carré est constamment employé dans les arts. Les petites faces des règles qu'on nomme carrelets et qui servent à tracer" des droites parallèles et équidistantes sont des carrés. ”

“ Ainsi il arrive fréquemment qu'une meule animée d'un mouvement de rapide rotation se brise et que ses éclats volent au loin. Pour éviter ces dangers, on encastre des cercles de fer sur les faces planes des meules près des bords. ”

“ Si l'on a b > a, l'arc rencontre BX en un point A et son
prolongement en A'; et il y a une seule solution, c'est le triangle ABC ; l'angle opposé à b dans le triangle A'BC étant le supplément de l'angle donné B.
§ 3. — Quadrilatères.
DÉFINITIONS.
273. On distingue parmi les quadrilatères : 1° Le parallélogramme, dont les côtés opposés sont parallèles ; 2° Le losange, dont les quatre côtés sont égaux; 3° Le rectangle, dont les angles sont droits.
40 Le carré, dont les angles sont droits et les côtés égaux.
5° Le trapèze, dont deux côtés opposés sont parallèles. ”

“ Construire un polygone égal à un autre au moyen de projections sur les côtés d'un triangle (fig. 184) , On choisit trois sommets A, B, C du polygone tels qu'en les joignant on obtienne un des triangles les plus grands et les moins irréguliers qu'on puisse former ”

“ Les courroies sont un précieux organe de transmission de mouvement, surtout lorsqu'elles sont en cuir ou en caoutchouc, dont la raideur est peu considérable. On les emploie fréquemment dans les tours à tourner, dans les roues d'émouleurs, dans les rouets à filer, etc. ”

“ Lorsqu'on a fait sur un sujet déterminé toutes les hypothèses admissibles, et que ces hypothèses ont conduit à des conclusions essentiellement distinctes et dont chacune exclut toutes les autres, on peut regarder comme étant vraies les réciproques de tous les théorèmes établis.
THÉORÈME.
60. Lorsqu'on élève par le milieu C d'une droite AB la perpendiculaire DE sur cette droite (fig. 28) , 1° Tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A et B de cette droite ”

“ Le tourneur qui veut donner un contour circulaire à une pièce de bois ou de métal doibtenir sa gouge dans la direction d'une tangente à la circonférence qu'il a le dessein de tracer et faire con- stamment agir l'outil au point de contact pendant que la pièce tourne sur son axe de rotation. ”