Alphonse Amiot

“ COROLLAIRE II. — Le volume engendré par un demi-polygone régulier ABCDEF d'un nombre pair de côtés tournant autour de son diamètre AF est égal aux deux tiers du cercle inscrit par le diamètre du cercle circonscrit.
Car la projection AF du périmètre ABCDEF sur l'axe n'est autre que le diamètre du cercle circonscrit au polygone.
THÉORÈME III.
Le volume d'un secteur sphérique est égal au produit de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère. ”

“ On appelle ligne brisée régulière une ligne brisée , plane et convexe, dont les côtés sont égaux et les angles égaux.
Toute ligne brisée régulière peut être inscrite dans le cercle et lui être circonscrite, comme le périmètre d'un polygone régulier dont elle diffère en ce que son angle au centre n'est pas généralement une partie aliquote de quatre angles droits.
Une ligne brisée régulière a un centre, un rayon et un apothème qui sont le centre et les rayons des cercles circonscrit et inscrit. On donne aussi le nom de diamètre à toute droite menée par son centre. ”

“ On donne le nom d'angle trièdre à celui qui n'a que trois faces.
Un angle trièdre est rectangle, s'il a un angle dièdre droit; bi-rectangle, s'il en a deux; et tri-rectangle, si ses trois angles dièdres sont droits.
2. Un angle polyèdre est convexe, s'il se trouve entièrement d'un même côté de chacun des plans prolongés indéfiniment qui le forment. Dans le cas contraire, on dit qu'il est concave.
Il est évident que le plan ABCDE, qui rencontre toutes les
arêtes de l'angle polyèdre convexe S d'un même côté du sommet, coupe sa surface suivant un polygone convexe ABCDE.
3. ”

“ Construire une ellipse dont on connaît un sommet, un foyer et une tangente.
13. Le lieu géométrique des points d'intersection des diagonales d'un trapèze dont la base inférieure est fixe et dont la base supérieure est constante, ainsi que la somme des deux côtés non parallèles, est une ellipse. (Nouvelles Annales de mathématiques, tome II.) 14. Etant donnés un cercle et un point dans son intérieur, si sur chacun des diamètres de ce cercle on décrit une ellipse qui ait ce diamètre pour grand axe et qui passe par ce point, quel sera le lieu géométrique des foyers de ces ellipses? ”

“ Tout cercle qui ne passe pas par le centre de la sphère se nomme petit cercle, parce que son rayon est moindre que celui de la sphère.
On appelle pôles d'un cercle ABD les extrémités P et P' du diamètre de la sphère perpendiculaire à ce cercle. Cette dénomination provient de ce que le diamètre PP' peut être considéré comme l'axe de la surface de révolution qui termine la sphère. ”

“ Du plan et de la ligne droite. — Deux droites qui se coupent déterminent la position d'un plan. — Condition pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan. — Propriétés de la perpendiculaire et des obliques menées d'un même point à un plan.
DÉFINITIONS.
1. Le plan est une surface telle que la droite, menée par deux points quelconques de cette surface, coïncide avec elle dans toute son étendue.
La position d'un plan dans l'espace n'est pas déterminée, s'il n'est assujetti qu'à la condition de passer par une droite donnée. ”

“ Cône droit à base circulaire. — Sections parallèles à la base.
— Surface latérale du cône, du tronc de cône à bases parallèles. Volume du cône, du tronc de cône à bases parallèles*.
DÉFINITIONS.
1. Lorsqu'une ligne droite ou courbe se meut dans l'espace, le lieu des positions qu'elle y occupe successivement est une surface. Aussi on donne à cette ligne le nom de génératrice de la surface, et celui de directrices aux lignes qui dirigent le mouvement de la génératrice.
Toute surface qui n'est pas plane ni formée par la réunion de surfaces planes est appelée surface courbe. ”

“ Les rayons OA, OB, etc., de la
sphère, menés aux différents points A, B, etc., du contour de la section, sont obliques au plan ABD et égaux entre eux ; donc ils s'écartent également de la perpendiculaire OC (1, VI) , et la courbe ABD qui a tous ses points également distants du point C est une circonférence de cercle. Son rayon CA est moindre que le rayon OA de la sphère.
Remarque. — Les cercles qui ont le même centre et par suite le même rayon que la sphère se nomment grands cercles.
— Tous les grands cercles sont égaux. ”

“ La grandeur d'un angle dièdre, par exemple de l'angle ABCD, ne dépend que de l'écartement de ses faces, qu'il faut toujours concevoir prolongées indéfiniment. Pour se faire une idée de cette grandeur, on suppose le plan DBC d'abord appliqué sur le plan ABC; puis on le fait tourner autour de l'arête BC jusqu'à ce qu'il ait repris sa position primitive. La quantité dont le plan DBC a tourné est précisément ce qui constitue la grandeur de l'angle dièdre ABCD.
2. Deux angles dièdres sont adjacents lorsqu'ils ont la
même arête, une face commune et qu'ils sont placés des deux côtés de cette face. ”

“ Le rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits.
Le carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux, ou un losange dont tous les angles sont droits.
THÉORÈME I.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, les angles opposés le sont aussi.
Je trace la diagonale AC du parallélogramme ABCD; cette droite partage le parallélogramme en deux triangles ABC, ADC, égaux entre eux (3, II) , car le côté AC leur est commun,, les angles BAC,
ACD, sont égaux comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB, CD, et à la sécante AC (7, IV) ”

“ Trouver sur une droite un point tel que la différence des carrés de ses distances à deux points donnés soit égale à un - carré donné.
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS.
PROGRAMME : Parallélisme des droites el des plans.
DÉFINITIONS.
4. Une ligne droite est parallèle à un plan lorsqu'elle ne peut le rencontrer, quelque loin qu'on prolonge cette droite et le plan.
2. Deux plans sont parallèles, s'ils ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge.
THÉORÈME I.
Si deux lignes droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre. ”

“ Dans les deux cas le point d'intersection B des deux droites est appelé le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique.
On nomme angle droit tout angle dont l'un des côtés est perpendiculaire
à l'autre.
6. Un théorème est la proposition d'une vérité qu'il faut démontrer.
L'énoncé d'un théorème renferme deux parties, savoir: une hypothèse faite sur un certain sujet et une conclusion qui est la conséquence de l'hypothèse. Le raisonnement que l'on
fait pour déduire la conclusion de l'hypothèse, lorsque leur dépendance n'est pas évidente, est appelé la démonstration du théorème. ”

“ Un triangle équilatéral ou équiangle est un triangle dont les trois côtés ou les trois angles sont égaux entre eux.
On prend pour base d'un triangle un côté quelconque de ce triangle, et pour sommet le sommet de l'angle opposé à la base. La hauteur du triangle est la perpendiculaire tracée de son sommet sur sa base. ”

“ On dit que deux angles polyèdres, tels que SABCDE, SA'B'C'D'E', sont opposés au sommet, lorsque les arêtes de l'un sont les prolongements des arêtes de l'autre.
On démontrera dans cette leçon que deux angles polyèdres opposés au sommet ont les faces égales et les angles dièdres égaux chacun à chacun, mais qu'en général ils ne sont pas superposables.
THÉORÈME I.
Une face quelconque d'un angle trièdre est moindre que la somme des deux autres. ”

“ Il résulte de celte définition que pour mener un plan tangent à une surface en un point donné M, il suffit de mener les tangentes à deux lignes tracées par ce point sur la surface et de faire passer un plan par ces deux tangentes. — Si la surface peut être engendrée par le mouvement d'une ligne droite, comme le cylindre et le cône, le plan tangent en un point quelconque de cette surface contient la génératrice rectiligne qui passe par ce point ; car cette ligne est elle-même sa tangente. ”

“ On appelle angle au centre un angle dont le sommet est situé au centre d'un cercle.
Un angle est inscrit dans un cercle, lorsqu'il est formé par deux cordes qui se coupent sur la circonférence de ce cercle.
Un secteur est la portion d'un cercle comprise entre deux rayons. — Un segment de cercle est la portion du cercle comprise entre un arc et sa corde. ”

“ Lorsqu'une courbe a un axe et un centre, l'axe passe par le centre; car il divise en deux parties égales la corde menée par le centre perpendiculairement à sa direction.
3. Toute droite menée par le centre d'une ligne courbe se nomme diamètre.
4. On appelle tangente à une ligne courbe, en un point
donné B, la limite BE des positions que prend une sécante BC, lorsqu'on la fait tourner autour du point B de manière qu'un second point d'intersection C se rapproche du premier, jusqu'à se confondre avec lui. ”

“ COROLLAIRE. — Si je mène de chaque foyer une parallèle à la tangente PP' jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire tracée du centre sur cette tangente, les triangles rectangles FCE, F'CG sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et un angle égal chacun à chacun. Il en résulte 4° que les côtés CG, CE sont égaux; 20 que la droite F'P' est égale à la somme des lignes CD, CG, et la droite FP égale à la différence des mêmes lignes. ”

“ Calculer, à moins d'un kilomètre, le rayon de la circonférence de la terre.
3. Calculer, à moins d'une seconde, le nombre de degrés d'un arc égal à son rayon.
4. Lorsqu'on divise une circonférence en -n parties égales, par les points A, B, C, etc., et qu'à partir de A on joint ces points de 2 en 2, de 3 en 3., et, en général, de h en h, par des lignes droites, on forme un polygone régulier de n côtés, si les nombres n et h sont premiers entre eux. ”

“ Les plans, menés par chacune des arêtes d'un angle trièdre et la bissectrice de la face opposée à cette arète, passent par la même droite.
5. Toute section, faite dans un angle trièdre rectangle par un plan perpendiculaire à l'une de ses arêtes, est un triangle rectangle.
6. Le point de rencontre des hauteurs du triangle qu'on obtient en coupant un angle trièdre tri-rectangle par un plan quelconque, est la projection du sommet de l'angle trièdre sur ce plan. ”

“ Un cylindre est droit ou oblique, selon que la génératrice de sa surface convexe est perpendiculaire ou oblique à ses bases.
2. Un cylindre est circulaire s'il a des cercles pour bases.
Dans un cylindre circulaire ABLK la droite CD qui joint les centres C et D des deux bases est parallèle à la génératrice. En effet, soient AK et BL deux positions dans lesquelles la génératrice du cylindre rencontre un même diamètre AB de sa base inférieure. Le plan déterminé par
les deux parallèles AK, BL coupe les bases du cylindre suivant
deux droites parallèles AB et KL ”

“ Le volume du corps engendré par la révolution d'un triangle ABC autour d'une droite xy, située dans le plan de ce triangle et passant par son sommet A sans traverser sa surface, est égal au tiers de la distance du sommet A au côté opposéBC, multiplié par la surface que décrit ce côté en tournant autour de l'axe xy. ”