Parallélogramme

“ Il nous semble que, pour modifier mécaniquement la direction d'un mouvement et la résultante d'un parallélogramme de forces, il faut de toute nécessité ou détruire un des mouvements composants, ou introduire et créer un mouvement nouveau. ”

“ Soit (fig. 7) un parallélogramme non conjugué quelconque, inscrit à une ellipse dont le centre est intersection des deux diagonales de ce parallélogramme. Par ce centre soit mené le diamètre conjugué de la diagonale en joignant le parallélogramme sera un parallélogramme conjugué. Or, d’après cette construction, la tangente en devant être parallèle à d’où il suit que le point doit être situé entre et cette tangente ; que par conséquent des deux triangles de même base le dernier est celui dont la hauteur et conséquemment dont l’aire est la plus grande ”

“ Pour trouver l’aire d’un rhombe, ou d’un rhomboïde. (Voyez Rhomboïde) sur la ligne CD, prise pour base, laissez tomber la perpendiculaire Ae, qui sera la hauteur du parallélogramme ; multipliez la base par la hauteur, le produit sera l’aire cherchée ; ainsi, supposons que CD soit de 456 piés, & Ae de 234, l’aire sera de 102704 piés quarrés.
En effet, il est démontré qu’un parallélogramme obliquangle est égal en surface à un parallélogramme rectangle de même base CD & de même hauteur AE. fig. 25. Voyez Parallélogramme. ”

“ Deux couples situés comme on voudra dans deux plans qui se coupent sous un angle quelconque se composent toujours en un seul.
Et si l'on représente les moments de ces couples par les longueurs respectives de deux droites tirées sous un angle égal à celui des deux plans, et qu'on achève le parallélogramme, le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale de ce parallélogramme, et le plan de ce couple partagera l'angle que font entre eux les plans des couples composants, comme la diagonale du parallélogramme partage l'angle que font les deux côtés adjacents. ”

“ Les complémens d’un parallélogramme sont deux parallélogrammes que la diagonale ne traverse pas, & qui résultent de la division de ce parallélogramme par deux lignes tirées d’un point quelconque de la diagonale parallélement à chacun de ses côtés. ”

“ Quant à croire que des corps animés de mouvemens simultanés puissent cesser de former des combinaisons, ce serait croire que des mouvemens selon les côtés du parallélogramme pourraient cesser décomposer un mouvement selon la diagonale, si un artiste suprême ne se proposait pas de réaliser cette figure agréable à l’œil. ”

“ PROBLÈME I. étant donné un pentagone composé d’un parallèlogramme et d’un triangle qui ont un côté commun, transformer ce pentagone en un parallélogramme équivalent dont un côté soit un quelconque des deux autres côtés du triangle, et dont le côté adjacent soit dirigé suivant le côté du parallélogramme primitif adjacent à ce même côté du triangle ? ”

“ Je complète le parallélogramme A'B'C'D', sa projection sur le plan considéré est un parallélogramme ABCD dans lequel la diagonale est égale au côté.
Si je considère le lieu défini comme plus haut pour le parallélogramme A'B'C'D', sa projection sur le plan du parallélogramme ABCD est une ellipse ; car nous venons de voir que ce lieu est une
ellipse pour le parallélogramme dans lequel une diagonale était égale à un côté ”

“ Le parallélogramme des mouvements nous procure un moyen simple de démontrer le mouvement parabolique des corps pesants.
Lorsqu'un corps pesant est lancé horizontalement, quelque grande que soit sa vitesse, il ne continue pas à se mouvoir suivant une ligne
horizontale ; la pesanteur l'abaisse de plus en plus au-dessous de cette ligne, et lui donne ainsi un mouvement curviligne. ”

“ Celle loi remarquable du parallélogramme des forces, qui régit l'équilibre de trois forces quelconques, de quelque nature qu'elles soient, peut se formuler ainsi : Si trois forces agissant sur un point sont en équilibre, et qu'on mesure, à partir de ce point, des lignes dans les directions des forces, de manière à ce que chaque ligne contienne autant d'unités de longueur qu'il y a d'unités dans la force qu'elle représente, ces trois lignes formeront les deux côtés adjacens et ta diagonale d'un parallélegramme. ”

“ Projetons sur ce plan, par des droites parallèles au rayon r", le parallélogramme construit sur les deux premiers rayons r, r' : la projection sera égale à ce parallélogramme, divisé par le cosinus de l'angle que son plan fait avec le plan P; donc la valeur inverse de cette projection sera égale à la valeur inverse du parallélogramme, multipliée par le cosinus.
Si l'on projette de même, sur le plan P, les deux autres parallélogrammes construits, l'un sur r et r", l'autre sur r', r", on aura trois projections dont la somme des valeurs inverses des carrés sera égale à une constante. ”

“ Théorème XXV. — Deux parallélogrammes qui ont même base et même hauteur sont égaux entre eux par soustraction.
On a ensuite la proposition connue :
Théorème XXVI. — Un triangle quelconque ABC est toujours égal par addition à un certain parallélogramme de même base et de hauteur moitié moindre.
Démonstration. — Prenons les milieux respectifs D et E de AC et de BC (fig. 30) et prolongeons DE de sa propre longueur jusqu’en F ; les
triangles DEC et FBE sont alors congruents et, par suite, le triangle ABC et le parallélogramme ABFD sont égaux entre eux par addition. ”

“ Nous aurions pu partir ici du parallélogramme ABGE qui paraît plus simple, mais nous voulions montrer que tous les parallélogrammes que l'on peut prendre presque au hasard et qui contiennent seulement quatre des points marqués aux quatre sommets, sans en avoir aucun sur le bord ni à l'intérieur, rendent les mêmes services. On démontre qu'ils
ont tous la même aire. ”

“ Imaginons un observateur dont l’œil seroit capable de saisir le progrès des oscillations, et supposons que cet œil fasse lui-même de petits mouvemens oscillatoires semblables ceux que les molécules de l’un des deux rayons auroient faits sur le côté analogue du parallélogramme, dont la diagonale est décrite en vertu du mouvement réel. ”

“ Ainsi, l'on peut toujours substituer aux forces données ces mêmes forces estimées suivant la diagonale de leur parallélogramme. Le principe (9°) renferme donc implicitement le principe (80) , appliqué au cas de deux forces ;
car quand, dans le premier, qui est vrai pour tout angle des composantes , on suppose que cet angle est nul ou égal à 2000, les composantes se confondent avec la diagonale de leur parallélogramme et sont égales à leurs projections sur cette ligne ; on retombe alors sur l'un ou l'autre des principes (11° 12° et 15°) ”

“ On prend pour base d'un parallélogramme ABCD un côté quelconque DC de ce quadrilatère. La perpendiculaire EF, qui mesure la distance de la base DC au côté opposé AB, a reçu le nom de hauteur du
parallélogramme.
2. Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles. ”

“ Un parallélogramme peut avoir ses côtés d'une force infinie, et ses joints assez solides pour ne pas se briser, et cependant être fait de manière que sa forme soit altérée par la moindre force qui agira dessus. Cela est vrai de toutes les figures de quatre côtés et de tous les polygones, à un degré moindre ou plus grand. C'est pour cela que dans tout assemblage, on prend soin de combiner, autant que possible, les compartimens en triangles. Ceci fait, on sait que la rigidité du système peut s'assurer en donnant une force convenable à la charpente et aux joints. ”

“ Sous cette forme elle s'applique non-seulement à un losange dont une diagonale est dirigée de manière à passer par le point B, mais à un parallélogramme quelconque NRST (fig. 44) dont le périmètre est parcouru par un courant électrique qui agit sur le pôle d'un aimant situé dans le plan de ce parallélogramme. ”

“ Que l’on commence par nous résoudre le problème du parallélogramme des forces, si l’on veut nous faire croire à la persistance de la chose. Ou bien une force, qui agit avec l’intensité x, dans la direction ab, est-elle aussi incontestablement la même chose, lorsque son action s’est fondue avec une autre force en une résultante de l’intensité y et de la direction ad ? ”

“ Regle du parallélogramme. On appelle ainsi une regle imaginée par M. Newton, & dont voici l’usage : supposons qu’on ait une équation algébrique ordonnée en x & en y, on demande la valeur de y en x lorsque x = 0, & lorsque x = Œ∞. Pour cela on dispose en cette sorte dans un parallélogramme tous les termes de l’équation, &c. on remplit par des * les
termes qui devroient se trouver dans l’équation & qui ne s’y trouvent pas ”

“ W1 ; qu'enfin on complète le parallélogramme O P Q R par des lignes menées sur la planchette parallèlement, de P et Q, à OQ et OP respectivement; on trouvera que l'unité de longueur P sera contenue autant de fois dans la diagonale OR qu'il y a d'unités de poids dans W3, et que cette diagonale est en ligne droite avec OP3. ”

“ L'équilibre existe lorsque les résultantes du parallélogramme, du parallélipipède ou du polygone des forces sont nulles. Lorsqu'il y a une résultante, le corps est entraine d'un mouvement de translation dans le sens de la résultante. ”

“ Ainsi, pour mesurer la surface de ce parallélogramme rectangle dont la longueur E F est, par exemple, de 253 mètres et la largeur DE de 184 mètres, on multiplie 253 par 184, et le produit 46,552 sera des mètres.
MESURER LA SURFACE D'UN TERRAIN EN FORME DE TRIANGLE.
Lorsqu'un triangle ABC (fig. 11) , et un parallélogramme ACEF, ont chacun la même base AC et
la même hauteur BD, le triangle n'est que la moitié du parallélogramme. ”

“ Soit (fig. 15) une corde d’une hyperbole sur laquelle, comme diagonale, soit construit le parallélogramme dont les côtés opposés soient respectivement parallèles aux deux asymptotes de la courbe, dont nous supposons le centre en Soient les points où les directions des côtés opposés rencontrent l’asymptote qui ne leur est pas parallèle ; et soient les points où les deux autres côtés rencontrent l’autre asymptote. ”

“ Sur le plan de la nature par exemple, il se peut que l'évolution marque le pointillé de cette fameuse diagonale qui, dans le problème du parallélogramme des forces, indique la direction suivie par un point que deux moteurs entraînent simultanément en sens contraire. Entre le pur hasard d'un Chaos et le pur finalisme d'un Cosmos, la voie suivie par l'évolution s'imposerait ”

“ Si les forces agissent en sens directement opposé, elles se retranchent l'une de l'autre; de même encore les vitesses. La théorie du parallélogramme et du parallélipipède des forces s'applique également aux vitesses ”

“ Mais si tu te trompais, ajouta-t-il d'un air inquiet, si nos deux forces n'étaient pas toujours égales et ne se combinaient pas si aisément ?
— J'ai tout prévu ! répondit madame Plombart d'un air triomphant.
— Ecoute-moi bien. Sais-tu ce que c'est que le parallélogramme des rotations ? ”

“ Remarque. Quand XY coupe le parallélogramme, ou a une différence au lieu d'une somme. _
Théorème 53. — I.
818. La projection de la diagonale d'un parallélogramme sur une droite quelconque, égale, la somme des projections de deux côtés adjacents sur ta même droite. (VAIUGNON.)
Soient la diagonale BD et les côtés adjacents BA, BC (fig. 327) .
La projection de BD sur XY égale EG ; il faut prouver qu'on a :
EG = EA + EF.
Or EF = BH = AG et EG = EA + AG :
donc EG = EA + EF.
Remarque. L'énoncé est général, pourvu qu'on regarde comme de signes différents les lignes qui vont en sens contraire ”

“ On prolongera ensuite la ligne a b dans les deux directions opposées en g et en f, de manière que b g devienne égal au prolongement a f On observera la même chose à l'égard de la ligne c d, et l'on obtiendra ainsi la hauteur perpendiculaire du côté, qui est égal aux deux tiers de la longueur du parallélogramme. A l'extrémité des petits côtés de la base oblongue hexagone, on ajoutera en k b les lignes à angle droit b h et i k , à l'aide d'une règle, et on les rendra égales aux lignes b g , a f et aux autres, ce qui donnera les quatre petits côtés. ”

“ Supposons le problème résolu ; prolongeons la médiane AD de sa propre longueur, en DA', et menons BA' et CA', puis, dans le triangle BCA', les médianes BF' et CE'. La figure totale ayant pour diagonales les droites BC et AAI qui se coupent en leurs milieux, est un parallélogramme. Comme les médianes d'un triangle se coupent aux 2/3 de leur longueur, on a DO = DO', et la figure BOCO' est aussi un parallélogramme. ”

“ Que l’on compare dans une parabole, par exemple, l’espace renfermé entre deux ordonnées infiniment proches, une portion infiniment petite de l’axe, & un arc infiniment petit de la courbe, il est certain que cette surface infiniment petite, n’est pas un parallélogramme, car les deux ordonnées parallèles qui la terminent chacune de son côté, ne font pas égales, & l’arc de la courbe oppose à la petite portion de l’axe ne lui est le plus souvent ni égal ni parallèle. ”

“ On observera que OP, représente la première force, et que P1 p, qui est égaie à O Pa, comme côtés opposés d'un même parallélogramme, représente la seconde force en grandeur, et qu'elle est parallèle à sa direction ; que de même les lignes p2 p3, p, p4, p4, p5, représentent les autres forces en grandeurs et sont parallèles à leurs directions. Or ces lignes forment les côtés d'un polygone OP, p 2 p5 p, p 5 que complète la résultante Ops. ”

“ L'application théorique et intelligente du parallélogramme 1 des forces lui dira ensuite si ce moyen est efficace et de quelle manière principalement il répond aux exigences réclamées par les milieux et les complications de l'instrument.
AÉRONAUTIQUE.
CRÉATION D'UNE LOCOMOTIVE AÉRIENNE.
« Dieu a créé, l'homme imite : toutes les prétendues inventions des hommes ne sont que des imitations assez grossières de ce que la nature exécute avec la dernière perfection. » ”