Hexagone

“ Il me montrait aussi que l’ordre des deux démonstrations n’était point changé soit qu’on énonçât d’abord la relation cherchée, soit qu’on ne l’énonçât pas ; qu’on pourrait au lieu de dire : inscrire un hexagone régulier dans un cercle, dire : démontrer que le côté de hexagone régulier inscrit est égal au rayon, sans qu’on est pour cela à changer un seul mot à la démonstration, et qu’inversement on pourrait dire : trouver le rapport qui existe entre la surface du carré construit sur l’hypoténuse et la surface des deux autres. ”

“ Ainsi dans le prisme hexaèdre régulier, dont l’hexagone ABCDFG (fig. 9, Pl. i) , représente la base soudivisée en triangles, qui sont les bases d’autant de molécules, il est évident que deux triangles quelconques, voisins l’un de l’autre, tels que Api, AOi, composent un rhombe ”

“ L'hexagone (fig. 75) est le polygone de six côtés. La longueur du côté d'un hexagone inscrit dans une circonférence est égale au rayon de cette circonférence. En effet, l'angle AOB est évidemment un sixième de quatre angles droits ou ou f d'un angle droit; les angles OAB, OBA, sont égaux comme opposés dans un triangle isocèle; leur somme égale deux angles droits, moins l'angle ~AOB = 1/3 d'un angle droit ou ~1 d'angle droit : or, étant égaux, chacun vaut d'angle droit. ”

“ XIX. AUTRE FLAMBEAU A BASE HEXAGONE.
(Pl VII, fig. 8.) Le piédestal est un prisme hexagone. Les côtés sont ornés de la même manière que le précédent, les dentelures seulement sont un peu plus longues, et forment, par cette raison , une espèce de feston.
Il y a sur la base un ornement en relief ; sa forme est un hexagone con-
cave, c'est sur lui que repose le soubassement, qui lui-même est surmonté d'un autre plus petit, sur lequel enfin repose le pied du nam- beau. ”

“ Un hexagone régulier de côté a tourne autour d'un axe MN mené dans son plan par l'un des sommets F, perpendiculairement au rayon OF qui aboutit à ce sommet. On demande le volume et la surface du solide engendré. ”

“ Donc, pour évaluer le volume d'un prisme quelconque, faites le produit de la surface de sa base par sa hauteur. Soit : BxH.
Exercice. — Calculer le poids d'un prisme régulier hexagonal en fonte; ayant 0TM,5b de hauteur. Le côté de l'hexagone de base est égal à 0m,35. Le décimètre cube de fonte pèse 7 kil. 2.
Solution. — Cherchons d'abord la surface de l'hexagone. Il a pour périmètre 0,35 x 6 ou 2miO. Il faut trouver l'apothème OP.
Dans le triangle rectangle OAP (fig. 159) , le rayon OA est égal au côté de l'hexagone, ou à 0m,35 ”

“ Cela posé, pour que cet hexagone soit régulier, il faut et il suffit que ses sommets soient les milieux des côtés du polygone
gauche sur lesquels ils se trouvent. En effet, J° si je suppose cet hexagone régulier, et que je mène par le point d'intersection 0 de ses diagonales 1M, KN, LP un plan parallèle aux deux faces opposées AC, EG du cube, ce plan passera par la diago- , nale IM qui est parallèle au côté KL de l'hexagone et, par suite, au plan ABC. La diagonale NK et les arêtes FB, HD du cube seront dès lors partagées en segments proportionnels par les trois plans parallèles. ”

“ Un principe généralement admis dans les sciences de la nature, c'est que, dans leur domaine, tout s'accomplit avec la plus grande économie possible de force mécanique. C'est pour cela, par exemple, que le basalte, en se solidifiant, se fractionne en prismes hexagonaux ; car l'hexagone est de toutes les figures géométriques celle qui, tout en épuisant entièrement l'espace sur un plan donné, se rapproche le plus du cercle et, par conséquent, embrasse la plus grande surface avec le moindre périmètre. ”

“ Manière de décrire un polygone régulier, pentagone, hexagone, etc.
On décrit une circonférence de cercle, on la partage en autant de parties égales qu'on veut donner de côtés nu polygone; ensuite on mène les lignes AB, BD, DE, etc., par les points A, B, D, E, etc. (fig. 20, 21, 22) , qui partagent la circonférence : on a le polygone cherché, qu'on nomme ou pentagone, ou hexagone, ou heptagone, ou octogone, ou ennéagone, ou décagone, etc., suivant qu'il a ou cinq, ou six, ou sept, ou huit, ou neuf, ou dix, etc., côtés. ”

“ Que l’on en peut faire aussi des pyramides, ayant la base carrée, pentagone, hexagone, ou de tant de côtés que l’on voudra, dont toutes les surfaces aient les mêmes réfractions que les surfaces naturelles du cristal, hormis la base, qui ne rompra point le rayon perpendiculaire. Ces surfaces feront chacune avec l’axe du cristal un angle de 45 degrés 20 minutes, et la base sera la section perpendiculaire à l’axe. ”

“ Pour distinguer les différentes espèces de prismes droits, on ajoute le nom du polygone qui leur sert de base. Le prisme hexagonal, par exemple, est celui dont la base est un hexagone.
19.
Deux prismes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.
Pour trouver la manière de mesurer toutes sortes de prismes droits, on remarquera d'abord que de deux prismes droits dont les bases sont égales, celui qui a une plus grande hauteur est plus grand en solidité, dans la même raison que sa hauteur est plus grande. ”

“ Décrire un hexagone régulier, égal au triangle ABC. Les angles de chacun des six triangles, dont se compose l'hexagone, étant de 6o°., on formera sur la base AB le triangle équilatéral ABd, dont les angles sont de 6o°. ;
on tracera les côtés BD et a D par l'angle C , on mènera une parallèle à AB ; on aura déterminé le point E à la rencontre de BE. On prendra la sixième partie de EB., que l'on portera de B en F sur le prolongement de BD. On décrira le demi-cercle d RF sur d F , pris comme diamètre ”

“ Le haut des deux soubassemens est orné, comme c (fig, 9) , de bordures rondes; le pied du flambeau et la bobèche sont les mêmes, et sort de la même hauteur. Les côtés de la base hexagone g c, sont d'un pouce trois quarts ; le diamètre du premier soubassement a, est de deux pouces et un quart; celui du petit, un peu moins d'un pouce trois quarts. On trouvera un tracé exact d'un côté du piédestal hexagone (fig. 9, pt. VI) . Pour faire l'ornement hexagone concave (fig. 1, pt. VI) qui est placé sur la base, on
devra employer un carton d'une assez forte épaisseur. ”

“ Un hexagone régulier peut être divisé en six triangles équilatéraux, comme on le voit sur la fig. 17. On peut profiter de cette observation pour le dessin de la figure.
Vérification de l'hexagone. On vérifiera les côtés au demimètre ; ils doivent tous être égaux. On vérifiera les angles au rapporteur ; ils doivent être chacun de 120 degrés.
28. — « On appelle octogones réguliers un polygone à huit côtés dont les angles et les côtés sont égaux. »
Copier l'octogone régulier fig. 18. L'élève tracera une verticale qu'il coupera en deux parties égales par une horizontale ”

“ On donne le nom de quadrilatère 1 au polygone de quatre côtés, de pentagone à celui de cinq, d'hexagone à celui de six; puis viennent l'heptagone, l'octogone, Yennéagone, le décagone 2, etc., pour sept, huit, neuf, dix côtés, etc.
Polygones réguliers. — Un polygone est régulier lorsque tous ses angles sont égaux ainsi que tous ses côtés.
Il pourrait n'avoir que les angles égaux comme le rectangle, ou seulement les côtés égaux comme le losange : alors il n'est pas régulier. ”

“ Pour compléter cette théorie, il resterait à assigner, 1.o la plus grande ellipse circonscrite à un quadrilatère quelconque ; 2.o le plus grand ellipsoïde inscrit à un hexaèdre octogone quelconque ; 3.o le plus petit ellipsoïde circonscrit à un octaèdre hexagone quelconque. Si nous sommes assez heureux pour jamais parvenir à ces diverses déterminations, nous nous empresserons de faire connaître les résultats auxquels nous serons parvenus. ”

“ Dessiner un prisme hexagonal tronqué dont la base est horizontale. Le plan est un hexagone égal à la base, ou semblable et fait d'après l'échelle; l'élévation est un trapèze A'A"D"D' (P. IV, F. 50) , si vous placez le prisme de manière que la troncature soit perpendiculaire au plan vertical. Les arêtes vues B, C doivent être tracées sur ce trapèze ; mais on ne peut y représenter les arêtes cachées E, F, parce que les diagonales BF, CE du plan sont perpendiculaires à la ligne de terre. ”

“ Pour quelle position du point B le pentagone GDBEF est-il maximum (fig. 1107) ?
Le maximum a lieu lorsque le point B est au milieu de la demi-circonférence (fig. 1107) , car alors le pentagone GDBEF est la moitié de l'hexagone régulier inscrit.
Le minimum a lieu lorsque C (fig. 1108) appartient au diamètre; alors le pentagone égale la moitié de l'hexagone régulier, moins le triangle DAG.
Fig. 1108.
Fig. 1109.
La valeur est intermédiaire pour toute autre position (fig. 1109) , puisque le pentagone égale le demi-hexagone diminué de la différence des triangles ISDL et LEII.
Problème 615. ”

“ Cette impossibilité provient de ce que la somme des angles plans d'un angle polyèdre ne peut être égale à quatre angles droits : on ne peut donc pas former un polyèdre régulier avec un polygone régulier quelconque : ainsi considérons un hexagone régulier; chacun de ses angles est égal à A d'angle droit, trois de ces angles formeraient donc quatre angles droits; nous ne pouvons donc réunir trois angles d'un hexagone, et à plus forte raison d'un polygone d'un plus grand nombre de côtés ”

“ Problème. On a un prisme hexagonal régulier, ayant AA', BB' FF' pour arêtes latérales. On mène les plans AB'C, CD'E EF'A et les plans B'CD', B'EF', F'AB' qui détachent du prisme six pyra- mides triangulaires; exprimer le volume du prisme ainsi tronqué: 1° en fonction du côté AB de l'hexagone; 2° en fonction du côté AC du triangle équilatéral. On sait que h est la hauteur du prisme.
Du prisme ABCDEF x h, il faut retrancher six pyramides triangulaires ayant h pour hauteur et dont la base égale le triangle ABC.
Or six fois ABC = l'hexagone ”

“ III. On peut toujours tracer, sur l’hyperboloïde de révolution à une nappe, un hexagone rectiligne gauche, dont les côtés consécutifs devront appartenir alternativement aux deux séries d’élémens rectilignes de cette surface, puisqu’autrement ces côtés ne pourraient se couper ; de manière que l’hexagone emploîra trois élémens de chacune des deux séries. Ses côtés opposés appartiendront aussi à des séries différentes ; de sorte que deux côtés opposés quelconques concourront toujours en un certain point} et seront conséquemment dans un même plan. ”

“ D'après les calculs 'des plus habiles géomètres, il est démontré que, de toutes les figures, il n'en est aucune qui, dans le même espace limité, ménage autant la place et les matériaux que l'hexagone, et c'est précisément l'hexagone que l'Abeille a adopté dans la construction de ses cellules.
- Voilà pour les parois latérales ; la structure du fond n'est pas moins digne d'admiration : c'est une calotte pyramidale résultant de la réunion de trois losanges ou rhombes, dont les bords s'adaptent obliquement à ceux du tube hexagonal qui constitue les parois de la cellule. ”

“ «Les géomètres savent, dit le Dr Reid, qu'il n'y a que trois sortes de figures que l'on puisse adopter pour diviser une surface en petits espaces semblables, de forme régulière et de même grandeur sans interstices.
«Ce sont le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier qui, en ce qui concerne la construction des cellules, l'emporte sur les deux autres figures, au point de vue de la commodité et de la résistance. Or, c'est justement la forme hexagone que les abeilles adoptent, comme si elles en connaissaient les avantages. ”

“ Vérification de la pyramide pentagonale. On vérifiera la base comme dans la fig. 16, et on s'assurera, au moyen du fil à plomb, si la verticale est exacte.
38. — « On appelle pyramide hexagonale celle dont la base est un hexagone. »
Copier une pyramide hexagonale dont la base est un hexagone régulier, fig. 27. ”

“ Cet axe est perpendiculaire à trois autres axes égaux entre eux et horizontaux, qu'on peut supposer dans le rhomboèdre lui-même. Nous pouvons imaginer le même système d'axes dans le prisme hexagone : on peut même inscrire dans celuici un rhomboèdre avec des axes communs aux deux formes. Cela est suffisant pour que le rhomboèdre et le prisme hexagone se rangent dans un même type cristallin. Ces deux formes
se trouvent, en effet souvent combinées. ”

“ Lorsque l'on a à construire un hexagone, on emploie dans le dessin linéaire la méthode géométrique, puisque l'on a immédiatement, par cette méthode, le moyen de diviser la circonférence en six parties égales en prenant pour ouverture de compas la longueur du rayon. ”

“ Un hexaèdre (fig. 292) a six faces. —Le cube est un hexaèdre.
Un octaèdre (fig. 293) a huit faces.
Un dodécaèdre (fig. 294) a douze faces.
Un icosaèdre (fig. 295) a vingt faces.
Remarque. — On remarquera l'analogie qui existe entre un hexagone, ligure à six côtés, et un hexaèdre, solide à six faces, — entre un octogone, figuré à huit côtés, et un octaèdre, solide à huit faces, etc., — enfin entre un polygone, figure à plusieurs côtés, et un polyèdre, solide à plusieurs faces. ”

“ Il nous paraît facile de la justifier. Car le théorème de l'hexagone, quand on y suppose que deux côtés opposés deviennent infiniment petits, auquel cas la figure représente un quadrilatère inscrit à la conique, et deux tangentes menées par deux sommets opposés, ce théorème, dis-je, donne immédiatement, comme corollaire, le suivant : quand un quadrilatère est inscrit à une conique, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se coupent sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés. ”

“ Or, comme toutes les arètes de l'octaèdre sont égales entre elles, il s'ensuit que l'on a
a étant l'arête du polyèdre.
Ainsi le plan sécant détermine un hexagone à côtés égaux; je dis que les angles en sont égaux, et que par suite il est régulier : il le sera s'il est inscriptible. Or, il suffit de remarquer que, dans chacune des pyramides données, le centre de figure de la base 0 est à égale distance des milieux de toutes les arêtes, par exemple que LO = MO. En effet, dans le peti t triangle MOL on a LO = LM = ; et l'angle en L parallèle et égal à ABP, soit = 60°. ”