“ On sait que rien n’est plus facile que d’obtenir l’équation de la corde commune à deux cercles dont les équations sont données : cette équation étant rationnelle, il s’ensuit que la droite à laquelle elle appartient est réelle, lors même que les deux points qui doivent en déterminer la situation sont imaginaires ; c’est-à-dire, que deux cercles tracés sur un même plan ont encore une corde commune, lors même qu’ils ne se coupent pas ; c’est cette corde que M. Gaultier de Tours a dénommée l’Axe radical des deux cercles [2] . ”

“ M. Carnot qui, dans un ouvrage très-remarquable, a présenté sur la transformation des coordonnées, des réflexions du plus grand intérêt [3] , a proposé, pour exprimer analitiquement la nature d’une courbe, le moyen que voici : Si, par l’un quelconque des points d’une courbe, on lui mène une tangente, et qu’après avoir mené à la courbe une corde quelconque, parallèle à cette tangente, on joigne le point de contact au milieu de cette corde par une droite, cette droite fera avec la tangente un angle dont la grandeur variera, généralement parlant, avec la situation de la corde. ”

“ Nous nous proposerons, en troisième lieu, de déterminer, pour un temps quelconque proposé, la longitude géocentrique d’une planète, moyennant une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des excentricités de la planète et de la terre. L’extrême complication des calculs auxquels nous conduit le développement des coefficiens nous oblige à faire une supposition qui heureusement est admissible, et qui ne restreint en aucune manière la généralité du problème. ”

“ Il arrive souvent, en effet, dans l’analise, qu’une série qui, par sa nature, ne peut exprimer que des quantités réelles, prend une valeur, ou plutôt une forme infinie ; lorsqu’elle doit représenter une quantité imaginaire ; et on peut présumer pareillement qu’une série composée de termes de la forme ou peut devenir infinie, si elle doit exprimer une quantité de l’ordre
Quant aux démonstrations qui emploient les logarithmes, elles laissent aussi, ce nous semble, quelques nuages dans l’esprit, en ce qu’on n’a pas encore des notions bien précises sur les logarithmes imaginaires. ”

“ LEMME I. Le premier terme de la puissance d’un polynôme est, sans réductions ni modifications quelconques, la puissance du premier terme de ce polynôme.
Démonstration. Il est aisé de voir (§. I. Lemme I) que le premier terme du produit de polynôme est, sans réductions ni modifications quelconques, le produit des premiers termes de ces polynômes. Or, si les polynômes sont tous égaux, leur produit devient la puissance de l’un d’eux, et le premier terme de ce produit devient, en même temps, la puissance du premier terme du polynôme, ce qui démontre la proposition annoncée. ”

“ PROBLÈME. Un point parcourant l’axe des d’un mouvement uniforme, avec une vitesse connue égale à exerce une force attractive ou répulsive inconnue, constante ou variable, sur un autre point absolument libre d’ailleurs, posé sur le plan des coordonnées que l’on suppose rectangulaires. L’action de sur est telle que ces deux points sont toujours maintenus à une distance constante l’une de l’autre. On demande, d’après cela, la nature de la courbe décrite par le point ainsi que les autres circonstances du mouvement ? ”

“ Plus généralement, si l’on fait un tout de deux quantités de même nature, mais de signes contraires, l’effet de celle qui aura la moindre valeur absolue sera de détruire dans l’autre une portion égale a elle-même ; en sorte qu’il s’en formera un résultat unique ; égal à la différence de leurs valeurs absolues, et affecté du signe de la plus grande.
D’après les idées que je viens de développer, lorsque l’expression se présente à moi, je n’y vois nullement une soustraction impossible à effectuer, et je n’y vois pas d’avantage une forme algébrique inintelligible par elle-même. ”

“ On ne doit pas perdre de vue, dans tout ceci, que le système de deux droites tracées sur un même plan forme une véritable ligne du second ordre, et doit conséquemment en avoir toutes les propriétés.
Concevons que le centre d’une surface conique quelconque, du second ordre, coïncide avec celui d’une sphère ; le système total des courbes à double courbure résultant de l’interseetion des deux surfaces jouira, par rapport aux arcs de grands cercles, des mêmes propriétés dont jouissent les lignes du second ordre par rapport aux lignes droites. ”

“ On voit en particulier que, toutes choses égales d’ailleurs, plus l’angle sera aigu et plus aussi la courbure de la courbe devra varier rapidement d’un point à l’autre ; tandis qu’au contraire plus il approchera d’être droit et plus la courbe tendra à prendre une courbure uniforme, comme celle du cercle.
Il paraît que M. Carnot a eu principalement en vue, dans le choix de ces deux coordonnées, la simplicité de l’équation transformée ; et, en effet, l’application qu’il fait de sa méthode à la parabole le conduit à une équation à peu près aussi simple que l’équation ordinaire de cette courbe ”

“ Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.
Soient et les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, le rayon vecteur de ce point et la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a
étant une constante. ”

“ Nous appellerons, de même, Angles positifs ceux qui sont comptés depuis l’axe des abscisses positives, en montant, et Angles négatifs ceux qui sont comptés depuis le même axe, en descendant. C’est là la définition ordinaire des quantités positives et des quantités négatives en géométrie ; mais, il s’en faut de beaucoup qu’on en ait tiré toutes les conséquences qu’elle est susceptible d’offrir. En combinant cette définition avec les précédentes, nous allons en déduire une manière simple, uniforme et féconde de représenter les lignes de grandeur et de position. ”

“ Ainsi, c’est à tort que l’on avait considéré la suppression du binôme comme une soustraction, puisqu’il est évident qu’il fallait, au contraire, ajouter à chaque membre la quantité pour avoir Lorsqu’on opère sur des quantités numériques, il est clair qu’on ne peut jamais éprouver le moindre embarras ; mais, en opérant sur l’équation littérale
où et peuvent avoir telles valeurs que l’on veut, rien n’indique si, pour dégager l’inconnue on a réellement une addition ou une soustraction à effectuer. ”

“ De plus, l’échange des facteurs entre eux ne devant pas changer le produit, et un même coefficient se trouvant dans l’un occuper le même rang, en allant de gauche à droite, qu’il occupe dans l’autre, en allant de droite à gauche ; il s’ensuit que les coefficiens également distans des extrêmes, dans l’un quelconque des facteurs, doivent être donnés, tous deux, par la même équation : circonstance qui doit encore, comme la première, doubler le degré des équations du problème. ”

“ Toutes les observations de ce genre qui me sont connues, et pour lesquelles on s’est servi de réticules, ont été faites au moyen des passages des taches et des bords du soleil et de la lune, ou des cornes de ce dernier astre, lorsqu’il était en croissant, aux fils horisontal et vertical de la lunette d’un quart de cercle, ou par le fil horaire et les obliques d’en réticule de 45°. Un célèbre astronome [3] pensait même que le réticule rhombe ne pouvait servir pour l’observation des astres qui ont un diamètre considérable, comme le soleil et la lune ”

“ Comme toute section conique est la perspective d’un certain cercle, et comme, d’un autre côté, les perspectives de droites qui se coupent au même point sont des droites qui se coupent au même point, on peut, conclure de ce qui précède que, généralement, les diagonales qui joignent les sommets opposés de tout hexagone circonscrit à une section conique se coupent au même point. ”

“ Il n’est pas besoin d’un grand effort d’attention pour apercevoir qu’indépendamment de leur valeur absolue, on a sans cesse à considérer, dans les quantités leur mode d’existence, c’est-à-dire, l’opposition qui peut se trouver entre celles qui sont de même nature. Cette opposition est un fait évident, préexistant à tout système, à toute convention, et généralement aperçu par tout le monde. Ainsi, par exemple, chacun conçoit clairement que 12 francs de dettes ne sont point la même chose que 12 francs de biens ”

“ Il est démontré que toute équation d’un degré quelconque est toujours décomposable en facteurs réels, soit du premier soit du second degré ; et conséquemment il suffit de faire voir que les racines d’une équation du second degré peuvent être représentées par des droites données de grandeur et de position. Or, les racines d’une équation du second degré étant de la forme sont immédiatement constructibles, par les corollaires 3.e et 4.e du théorème 2.e ; car 1.o si est positif, sera la somme ou la différence de deux quantités positives ou négatives, comptées sur l’axe des abscisses ”

“ Soient en effet le segment et une autre surface équivalente construite aussi sur et soient respectivement et les longueurs des deux lignes qui, avec terminent ces surfaces. Soit achevée la circonférence dont fait partie ; soient l’arc et le segment supplémentaires ; on aura, par l’hypothèse ; si donc on pouvait avoic on aurait aussi d’où il résulterait cette conséquence absurde que le cercle n’est point la surface du moindre contour, parmi toutes celles de même étendue. ”

“ Ici la ligne rayon vecteur de la terre, peut toujours être regardée comme donnée ; mais, pour trouver rayon vecteur de la planète, il faut connaître l’anomalie vraie de cette dernière, ou l’angle qui est lui-même égal à la longitude de l’aphélie, moins la longitude héliocentrique ; ce qui fait naître une difficulté, lorsque, de la longitude géocentrique, qui est la seule donnée ; tant par les tables que par l’observation, on veut repasser à la longitude héliocentrique. La difficulté sera levée, par la résolution du problème que voici. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Il a soin, avant de poser chaque carte sur le paquet dont elle doit faire partie, de la lui montrer, de manière qu’il ne puisse la voir lui-même. Il fera bien de ne point regarder cette personne, afin qu’on ne croie pas que, lorsque la carte qu’il lui montre est celle même qu’elle a tirée, il s’en aperçoit au jeu de sa physionomie. Il convient aussi qu’il ne se place pas en face d’une fenêtre ou d’une lumière, afin de ne pas donner à penser que la transparence des cartes peut lui être de quelque secours. ”

“ Ainsi, loin que jamais, par l’effet du frottement et de la résistance du milieu, la tractoire puisse devenir une courbe aux tangentes égales, cette courbe est peut-être la seule au contraire que le point ne puisse jamais décrire, du moins tant que ce point ne sera soumis à l’action d’aucune force étrangère au système. ”

“ Lorsque le réticule est si petit ou l’amplification de la lunette si grande que le rapport du demi-diamètre de l’image du soleil à la moitié de la grande diagonale du réticule est plus grand que celui du rayon au cosinus-verse de la moitié de l’angle aigu du réticule, les contacts de l’image solaire ne peuvent plus avoir lieu, ni en dedans ni en dehors du réticule, et cet instrument devient alors inutile pour l’usage que nous proposons ici. ”

“ Pour déterminer cette constante M. Français considère successivement les deux composantes, parallèles aux axes, de l’impulsion initiale qu’il suppose avoir été imprimée originairement à ce qui le conduit à une équation de relation entre ses composantes ; équation qui entraîne cette conséquence paradoxale que l’une de ces composantes est donnée lorsqu’on donne l’autre, et qu’ainsi on n’a pas la liberté d’imprimer à une vitesse initiale qui soit à la fois arbitraire d’intensité et de direction. ”

“ LEMME. Dans toute équation
la valeur de l’inconnue est une fonction des coefficiens
Démonstration. Une quantité est dite fonction d’une ou de plusieurs autres, lorsque sa valeur dépend de celles qu’on attribue à ces autres quantités ; or, il est évident que la valeur de dépend, et dépend même uniquement, lorsque est donnée, de celles des coefficiens
28. Remarque. ”