“ Enfin, je me suis occupé de la torsion des bois. Dès que ces élémens des machines sont sollicités par des forces qui ne concourent pas au même point, il y a tendance à la torsion ; et, comme toute force produit son effet, il y a réellement torsion. C’est ainsi que des efforts trop puissans brisent les arbres des pressoirs et des moulins. Je me suis donc proposé de déterminer les forces de torsion, en fonction du diamètre des bois, de leur longueur et du temps, qui entre ici comme un élément d’une puissance extraordinaire. ”

“ Mais l’infini n’est-il pas cette région élevée où se trouve le principe de la génération des quantités, la véritable source des lois mathématiques ? Non certainement, à moins que vous ne soyez bien décidé à rester sous l’influence de l’illusion que vous avez signalée. J’ajoute, relativement au calcul différentiel, que l’introduction de l’idée d’infini n’y est pas même utile.
L’idée d’infiniment petit n’abrège point l’exposition. ”

“ J’ai dit, ou du moins voulu dire : admettons que, suivant le système qu’on nous oppose, la tractoire puisse quelquefois, soit par le frottement, soit par la résistance du milieu, soit enfin par tout autre obstacle de nature à agir dans la direction du mouvement, devenir la courbe aux tangentes égales, la suppression de ces obstacles, revenant à l’introduction d’une nouvelle force, également dirigée dans le sens du mouvement, n’aurait d’autre effet que de comprimer la verge sans changer la route décrite par le mobile, laquelle conséquemment devrait encore être la courbe aux tangentes égales ”

“ Il paraît que ces Messieurs ne nient pas que la tractoire ne soit en général une cycloïde ; mais ils pensent que, dans quelques cas, cette tractoire peut être une courbe à tangentes égales. Si, en généralisant le problème de la tractoire, on suppose que le point entraîné soit animé de forces accélératrices quelconques, nul doute qu’alors la tractoire ne puisse devenir une courbe à tangentes égales, ou même telle courbe que l’on voudra. ”

“ Il est clair que, toutes choses égales d’ailleurs, plus la glace est épaisse et plus aussi la distance entre les images doit être grande. On sent aussi que, pour une épaisseur donnée de la glace, et une situation donnée de la lumière, il y a une certaine situation de l’œil, plus favorable que toute autre au parfait développement du phénomène. Enfin, le plus ou moins grand pouvoir réfringent de la glace influe aussi sur la distance entre les images ”

“ J’ai traîné, à dessein, le raisonnement un peu en longueur, afin d’en rendre l’esprit plus facile à saisir ; mais, lorsqu’une fois il est devenu assez familier, on peut le rendre beaucoup plus concis ; il se réduit en effet à dire que si l’erreur d’un calcul fait sur des quantités constantes dans la vue d’évaluer, par approximation, une autre quantité aussi constante, est de nature à être indéfiniment décroissante, cette erreur est, par là même, tout à fait nulle. ”

“ Au lieu de se tenir toujours infiniment près de chaque position d’équilibre, pour voir ainsi ce qui se passe autour d’elle, il considère, à la fois, toutes les positions qu’un corps peut prendre, en flottant sur un même fluide, lorsque ce corps est d’un poids constant et d’une forme extérieure invariable.
Pour que le corps flottant soit en équilibre, il faut, comme on sait, que son centre de gravité soit sur la même verticale que le centre de volume de sa carène ; cette carène étant terminée au niveau du fluide par un plan horizontal qu’on appelle le plan de flottaison. ”

“ La tangente de l’angle inconnu duquel dépend la détermination de tous les autres élémens est donc la racine d’une équation assez simple du troisième degré ; et la nature du problème nous permet de présumer qu’elle est la seule réelle. Remarquons que nous ne nous sommes permis aucune supposition sur la nature de l’orbite, le grand système de la gravitation universelle nous apprenant uniquement que c’est une section conique. ”

“ Mais comme, à une distance finie du sommet, le rayon de courbure de l’hyperbole ne devient pas infini ; on voit que, vers les appuis, la courbe élastique, ayant moins de courbure que l’hyperbole, lui sert de corde et passe au-dessus. Donc auprès de ces appuis (et intérieurement) les abscisses de l’hyperbole doivent être les plus petites. C’est précisément à cela qu’il faut attribuer les différences dont le maximum est, comme nous l’avons dit plus haut, inférieur à sept dixièmes de millimètre. ”

“ Faisons la même chose, par rapport à la prétendue antinomie mathématique que le disciple s’applaudit d’avoir découverte dans la théorie du calcul différentiel. Admettons, ce qui est vrai, que le calcul appartienne exclusivement à la sensibilité qui, selon ces Messieurs, est la faculté de l’individuel ; il s’ensuivra qu’il y a, non seulement paralogisme, mais erreur palpable à soumettre au calcul l’infini, qui est du domaine d’une autre faculté : celle de l’absolu, ou ce qu’ils appellent la raison pure. ”

“ En supposant à la terre un mouvement circulaire et uniforme, pendant l’intervalle qui sépare les observations, nous avons fait disparaître de nos formules la ligne demi-grand axe de l’orbe terrestre ; cette supposition ne peut donc influer sur les résultats que sous le simple rapport de l’inégalité de nos trois rayons vecteurs : inégalité insensible pendant l’intervalle de temps que nous avons supposé. Il nous reste donc à enseigner la petite correction qu’il faut employer, pour faire coïncider l’orbite calculée par notre méthode avec des observations plus éloignées ”

“ Ainsi, dans la recherche de l’intersection des deux diamètres, on pourra remplacer le système des équations (10) par le système des équations (11) ; et puisque ces dernières sont indépendantes, de et il en faut conclure que tous les diamètres des lignes de second ordre se coupent en un même point. Il est de plus aisé de voir que ce point doit être leur milieu commun, puisqu’à chaque diamètre répond un conjugué qui doit le couper en son milieu. Le milieu commun de tous, les diamètres d’une ligne de second ordre est ce qu’on appelle le centre de cette courbe. ”

“ Le reste de la solution n’est plus qu’une affaire de calcul ; c’est ainsi que, dans la géométrie analitique, une courbe étant définie par son équation, la recherche des tangentes normales ou rayons de courbure de la courbe, ne consiste qu’à substituer, dans des formules connues, des valeurs données par l’équation de cette courbe. Il ne devrait donc plus y avoir ni différence d’opinions ni différence de méthodes pour mettre un problème de mécanique en équation : cette mise en équation est une chose facile pour tous les problèmes ”

“ Les séries et le calcul différentiel ont donc dû prendre naissance ensemble ; c’est à l’entrée de ce dernier qu’on rencontre un premier développement de l’état varié d’une fonction quelconque, par exemple. En essayant d’ordonner ce développement d’une autre manière, on ne peut se dispenser de faire attention à la série très-remarquable de différences
à laquelle on est tenté de donner un nom qui rappelle sa composition : celui de différentielle se présente comme de lui-même. ”

“ Soient l’un des longs côtés, l’un des petits côtés de la table, la hauteur commune des deux lumières au-dessus de son plan, et la distance commune de Leurs projections au centre de la table. Pour plus de simplicité, prenons pour unité d’intensité l’intensité commune de nos deux lumières et pour unité d’illumination la clarté que donne l’une d’elles à une distance égale à l’unité de longueur, et rappelons-nous que la lumière se propage en raison inverse du quarré des distances. ”

“ Il faudrait donc, pour obtenir l’équation de la courbe cherchée, éliminer de celle-ci, au moyen de l’équation (III) ; mais, puisque n’y entre pas, il faut en conclure qu’elle est elle-même l’équation de cette courbe.
Ainsi, la nature et la situation de la courbe sur laquelle les diverses images se trouvent situées est tout à fait indépendante de l’épaisseur de la glace ; tellement que, si cette épaisseur pouvait varier, pendant la durée de l’observation, les images ne feraient simplement que se resserrer ou s’écarter les unes des autres, sans quitter la courbe dont il s’agit. ”

“ Mais, si l’on suppose que le frottement détruise à chaque instant la vitesse qu’acquerrait le mobile s’il n’y avait point de résistances (ce qui est le cas le plus fréquent dans la nature) ; le mouvement du mobile à un instant quelconque sera le même que si était l’instant initial, où l’on suppose que le point commence à se mouvoir, le corps étant immobile. Or, dans l’instant initial, la verge qui joint les points et est tangente à la courbe ; donc dans ce cas la courbe est celle des tangentes égales ”

“ Au surplus, bien convaincu que j’ai raison contre la Philosophie critique ; je ne veux point me donner des torts envers le philosophe : je me hâte donc de déclarer que je me plairai toujours à reconnaître, dans l’auteur de la Philosophie des mathématiques, un géomètre très-habile et très-instruit, dont les travaux pourraient devenir extrêmement utiles à la science, s’il parvenait jamais à se soustraire à l’influence du système philosophique par lequel, suivant moi, il s’est très-peu philosophiquement laissé subjuguer. ”

“ Par une correspondance bien singulière, la courbure de la surface des centres de carène dépend donc spécialement de la figure de la flottaison ; mais la courbure de la surface enveloppe des flottaisons dépend de quantités plus compliquées. Cependant, il est intéressant connaître les élémens de cette courbure ; ils indiquent dans quelles directions les stabilités primitives croissent ou décroissent par les degrés les plus lents ou les plus rapides, et peuvent montrer les états prochains de stabilité d’un corps flottant dérangé de sa position d’équilibre. ”

“ D’une autre part, on peut imaginer que le point de suspension et le poids reçoivent tous deux une impulsion absolue telle que l’impulsion relative soit celle qui convient au dernier cas dont je viens de parler. Je conjecturerais que c’est à ce cas que se rapporte la solution de M. Dubuat ; du moins les figures qu’il a données, son résultat d’un maximum constant pour tous les cas, et l’existence d’une asymptote, s’accordent fort bien avec les diverses suppositions qu’on peut faire sur les différentes impulsions absolues ”

“ Et si l’on fait tourner la surface des centres de carène autour d’un axe quelconque mené par le centre de gravité du corps flottant, puisqu’on détermine la surface de révolution enveloppe de l’espace parcouru par cette surface ; en se dirigeant ensuite sur la courbe de contact de l’enveloppe et de l’enveloppée, on rencontrera successivement tous les centres de carène qui appartiennent aux positions d’équilibre, et ces centres appartiendront alternativement à des positions stable, instable, stable, instable, etc. ”

“ On sait que ces élémens sont au nombre de six : la longitude du nœud, l’inclinaison de l’orbite, la position de la ligne des apsides, le grand axe, l’excentricité et l’instant du passage par l’une des deux apsides. En continuant de désigner par l’angle que constitue l’excentricité de l’orbe terrestre, chacune de ces six inconnues pourra être représentée par une série telle que elle sera très-convergente, étant disposée selon les puissances de que l’on sait être une fraction angulaire égale à un soixantième à peu près. ”

“ Il semblerait donc que, dans ce cas au moins, c’est-à-dire, lorsqu’il s’agit des moomens des forces par rapport à un plan, le principe que le point d’application d’une force peut être pris au hasard sur sa direction, n’a plus lieu ; car, en l’admettant, le moment d’une force par rapport à un plan est une expression vague qui peut devenir tout ce qu’on voudra. ”

“ Donc, Si l’un des côtés d’un équerre passe constamment par l’un des foyers d’une section conique, et que son sommet parcourt la circonférence décrite sur le premier axe comme diamètre, s’il s’agit de l’ellipse ou de l’hyperbole, ou une tangente au sommet, s’il s’agit de la parabole, l’autre côté de l’équerre sera constamment tangent à la courbe. ”

“ Toutes celles qui sont légitimes ont, du moins aux yeux de ceux qui les proposent, quelques avantages particuliers. Mais, s’il est utile de lier solidement le calcul différentiel avec l’analise algébrique ordinaire ; si le passage de l’une à l’autre doit être facile et s’exécuter, pour ainsi parler, de plain-pied ; si l’on doit pouvoir répondre, d’une manière à la fois claire et précise, aux questions : Qu’est-ce qu’une différentielle ? ”

“ Pour le réduire ultérieurement aux deux seules inconnues et lesquelles déterminent la position du plan de l’orbite, il faudrait donc éliminer successivement les six autres inconnues, savoir : les trois anomalies excentriques l’angle l’excentricité et le rapport ou or, cette élimination est analitiquement impossible, tant que l’on conservera la forme transcendante des deux dernières équations, renfermant à la fois les anomalies excentriques et les sinus de ces mêmes anomalies. Reste donc à exprimer les unes par les autres. ”