Calcul différentiel

“ Dans la nouvelle Géométrie, il y a le calcul différentiel, & le calcul intégral. Calculus differentialis, calculus integralis. Le calcul différentiel, est la méthode de différentier les quantités ou grandeurs ; c’est-à-dire, la méthode de trouver une quantité infiniment petite, qui prise une infinité de fois, égale une quantité ou grandeur donnée. Ce que nous appelons différences, les Anglois l’appellent fluxions. Le calcul intégral, est la manière de former les différences, c’est-à-dire, la somme ou la grandeur égale à une infiniment petite donnée, prise une infinité de fois. ”

“ Ce serait abusivement que, suivant l'usage ordinaire, pour expliquer l'influence directe et nécessaire propre au calcul différentiel, on lui assignerait la destination de former les équations différentielles, d'où le calcul intégral fait parvenir ensuite aux équations finies. Car la formation primitive des équations différentielles n'est, et ne peut être, à proprement parler, l'objet d'aucun calcul, puisqu'elle constitue, au contraire, par sa nature, le point de départ indispensable de tout calcul quelconque. ”

“ Les séries et le calcul différentiel ont donc dû prendre naissance ensemble ; c’est à l’entrée de ce dernier qu’on rencontre un premier développement de l’état varié d’une fonction quelconque, par exemple. En essayant d’ordonner ce développement d’une autre manière, on ne peut se dispenser de faire attention à la série très-remarquable de différences
à laquelle on est tenté de donner un nom qui rappelle sa composition : celui de différentielle se présente comme de lui-même. ”

“ Il est de fait que le calcul différentiel est né des besoins de la géométrie. Or, le calcul algébrique, qui s’occupe essentiellement de la quantité discrète, c’est-à-dire, des nombres, ne peut s’appliquer à la quantité continue, c’est-à-dire, à l’étendue, que lorsqu’on suppose que les variations numériques deviennent arbitrairement ou indéfiniment petites. ”

“ Faisons la même chose, par rapport à la prétendue antinomie mathématique que le disciple s’applaudit d’avoir découverte dans la théorie du calcul différentiel. Admettons, ce qui est vrai, que le calcul appartienne exclusivement à la sensibilité qui, selon ces Messieurs, est la faculté de l’individuel ; il s’ensuivra qu’il y a, non seulement paralogisme, mais erreur palpable à soumettre au calcul l’infini, qui est du domaine d’une autre faculté : celle de l’absolu, ou ce qu’ils appellent la raison pure. ”

“ Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites comme la limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles comme les limites des équations aux différences finies.
Je ne disconviens pas qu'on ne puisse, de cette manière, démontrer la légitimité des résultats du Calcul différentiel; mais, quoique cette
marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l'infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions. ”

“ Celui-ci nous paroît suffire pour faire entendre aux commençans la vraie métaphysique du calcul différentiel. Quand une fois on l’aura bien comprise, on sentira que la supposition que l’on y fait de quantités infiniment petites, n’est que pour abréger & simplifier les raisonnemens ; mais que dans le fond le calcul différentiel ne suppose point nécessairement l’existence de ces quantités ; que ce calcul ne consiste qu’à déterminer algébriquement la limite d’un rapport de laquelle on a déjà l’expression en lignes, & à égaler ces deux limites, ce qui fait trouver une des lignes que l’on cherche. ”

“ Par l'ensemble des considérations indiquées dans cette leçon, on voit que, si le calcul différentiel constitue, de sa nature, un système limité et parfait auquel il ne reste plus à ajouter rien d'essentiel, le calcul intégral proprement dit, ou le simple traité de l'intégration, présente nécessairement un champ inépuisable à l'activité de l'esprit humain, indépendamment des applications indéfinies dont l'analyse transcendante est évidemment susceptible. ”

“ Il est facile de voir, au premier coup d'œil, que la règle déduite du Calcul différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielles de l'express.ion qu'on veut rendre un maximum ou un minimum, prise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est le même, et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le Calcul différentiel sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans la méthode de Fermat. ”

“ Naturellement , avant de les introduire dans les équations , il faut être certain de pouvoir les éliminer et revenir aux quantités entières , sans quoi les équations ne comporteraient aucune interprétation numérique . Au calcul différentiel , qui introduit les infiniment petits , s' adjoint comme complément nécessaire le calcul intégral qui les élimine .
Les mathématiques forment un ensemble extrêmement touffu : le mathématicien peut pousser ses déductions dans les directions les plus diverses , et il les oriente d' ordinaire vers des résultats utilisables . ”

“ Il est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement le développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites; et c'est ramener le Calcul différentiel à une origine purement algébrique, que de le faire dépendre uniquement de ce développement. ”

“ Si le calcul différentiel n’est pas une chose absolument aussi simple qu’un sonnet de M. Solomon Seesaw, c’est uniquement parce que dans cette route ardue quelque marchepied ou quelque échelon a été, çà et là, étourdiment oublié. ”

“ Ce serait, sans doute une puérilité d’éviter constamment l’usage du calcul différentiel, sur-tout lorsque son secours peut introduire dans les réeherches des simplifications de quelque importance ; cependant, il ne peut être que très-utile à celui qui veut entreprendre des études mathématiques sérieuses et profondes de ne recourir aux procédés de ce calcul qu’après avoir épuisé toutes les ressources de l’analise ordinaire. ”

“ On voit que, la différentiation des fonctions implicites se déduisant de celle des fonctions explicites par un seul principe constant, et la différentiation des fonctions à plusieurs variables se ramenant, par un autre principe fixe, à celle des fonctions à une seule variable, tout le calcul différentiel se trouve reposer, en dernière analyse, sur la différentiation des fonctions explicites à une seule variable, la seule qui s'exécute jamais directement. ”

“ Une partie de cette question ressort du calcul différentiel ; mais cette partie est peu étendue ; elle ne comprend que le cas où l’on demande le maximum ou le minimum d’une fonction dans laquelle on ne fait varier que les variables courantes Ainsi, ce sera la détermination de l’ordonnée maximum ou minimum d’une certaine courbe ou d’une certaine surface. Mais si, dans une fonction, on fait varier les constantes ou paramètres, on peut se demander quelles sont les valeurs à leur attribuer, pour que la fonction jouisse d’une certaine propriété à un degré maximum ou minimum. ”

“ Le Calcul des fonctions a le même objet que le Calcul différentiel pris dans le sens le plus étendu, mais il n'est point sujet aux difficultés qui se rencontrent dans les principes et dans la marche ordinaire de ce Calcul il sert de plus à lier le Calcul différentiel immédiatement à l'Algèbre, dont on peut dire qu'il a fait jusqu'à présent une science séparée. ”

“ Ainsi les principes du Calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.
Suivant le principe que nous venons d'établir, la valeur de y ne sera nécessairement positive qu'autant que la fonction dérivée dy ne sera pas infinie dans l'étendue de la valeur de z. Or, étant égale à i, a 1." Z) - elle devient infinie lorsque z= a. Donc les valeurs de y seront nécessairement positives depuis z= o jusqu'à z= a; mais elles pourront ne pas l'être lorsque z>a, quoique les fonctions dérivées (a-z) 2 soient toujours positives. ”

“ En particulier on y a appliqué le calcul différentiel ; mais cette application ne me parait pas avoir été présentée sous le point de vue le plus simple et le plus lumineux ; et c’est ce qui me détermine à y revenir ici. ”

“ Ceux qui savent le Calcul différentiel n'auront pas de peine à se convaincre que les fonctions dérivées f' (x) , f" (x) , .y', y", reviennent aux quantités qu'on désigne dans ce Calcul par
et ainsi des autres expressions semblables. ”

“ C'est ce qui arrive dans tous les cas où les courbes représentant soit la demande, soit les conditions de la production, se rapprochent des courbes simples dont les mathématiciens ont depuis longtemps étudié toutes les propriétés. L'emploi des notations du calcul différentiel et intégral s'impose lui-même souvent, par deux raisons. ”

“ Si l'on différentie logarithmiquement les équations ( C ) , (D) , (E) , etc., on aura diverses relations entre les coefficiens différentiels de même ordre de la fonction r ( x ) . Et d'abord l'équation ( C ) donne
Ainsi le coefficient ~différentiel dl r (i -a) peut se déduire du coefficient différentiel ~? , que nous regard ons comme son complément.
Cette équation fait connaître la différence de deux coefliciens qui sont complémens l'un de l'autre, et elle a l'avantage de donner cette différence pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle. ”

“ L'intégration de l'équation différentielle introduira dans le calcul une constante arbitraire qui, par les différentes valeurs dont elle sera susceptible , pourra appartenir à telle développée qu'on voudra , et dont la détermination dépendra de la condition à laquelle la développée devra satisfaire. ”

“ A plus forte raison, il ne sera pas permis de n'avoir égard, dans le
calcul, à une petite portion de la courbe, lorsque la fonction différentielle dépendra d'une quantité donnée, simplement par une équation différentielle non intégrable en général ”

“ Nous venons de voir qu'on est souvent obligé d'employer dans le calcul, des quantités affectées du signe contraire à celui qu'elles devraient avoir, quantités que nous avons nommées inverses: mais il est un autre motif qui déterminerait à les employer, quand même on n'y serait pas obligé ; c'est l'avantage qu'elles procurent de pouvoir représenter par une seule et même formule , un système variable de quantités, dans tous les états où il peut se trouver. ”

“ Soit, par exemple, proposé d’intégrer la quantité différentielle du second ordre
,
dans laquelle dy soit considérée comme constante. En suivant ce qui vient d’être dit ci-dessus, c’est-à-dire en intégrant comme si ddx seule était variable, achevant l’opération et complétant l’intégrale par l’addition d’une constante Cdy, du même ordre que les autres quantités de la formule, nous aurons
,
quantité différentielle qui, intégrée de nouveau, donne
. Nous ne nous étendrons pas davantage sur les principes du calcul intégral ; ce que nous venons de dire suffit à notre objet. ”

“ Lorsque le calcul donne pour la différentielle d’une quantité une valeur négative, c’est une preuve qu’on a fait une fausse supposition, et que la variable dont il s’agit, au lieu d’aller en croissant, comme on l’avait supposé, va au contraire en diminuant, par le changement général de l’état du système. Ainsi, par exemple, un arc de cercle moindre que le quart de la circonférence étant représenté par s, sa différentielle sera ds, celle de son sinus sera et celle de son cosinus . ”

“ L'opération du prolongement d'un système différentiel est au fond identique à celle qui consiste, étant donné un système d'équations aux dérivées partielles, à ajouter aux équations de ce système celles qu'on en déduit en les dérivant en totalité ou en partie, par rapport à une ou plusieurs des variables indépendantes. ”

“ Pour différentier le produit de plusieurs facteurs variables, il faut prendre la somme des différentielles de chaque variable, multipliées chacune par le produit de toutes les autres variables.
54. Soit proposé de différentier la fraction .
Suivant la formule générale, la différence sera ou en réduisant au même dénominateur ; or, comme ce n’est point la différence absolue qu’on demande, mais seulement la différentielle, il faut effacer de cette expression la quantité ydy au dénominateur, parce qu’elle se trouve infiniment petite relativement à l’autre terme . ”

“ Lorsqu’on passe du point M au point N sur la première courbe, on passe du point M’ au point N’ sur la seconde : ainsi PQ étant la différentielle de x, c’est-à-dire la quantité dont x augmente lorsqu’on passe de M à N, P’Q' sera la différentielle de AP’, c’est-à-dire la quantité dont AP’ ou x+δx augmente en même temps. ”

“ Lorsque le nombre des fonctions ou des équations proposées est considérable, le calcul est surtout rendu pénible par cette circonstance, que les coefficients par lesquels on doit multiplier les équations primitives pour obtenir , , , , etc., sont presque toujours des fractions décimales compliquées. ”

“ Le calcul intégral a deux parties, l’intégration des quantités différentielles qui n’ont qu’une variable, & l’intégration des différentielles qui renferment plusieurs variables. On n’attend point de nous que nous entrions ici dans aucun détail sur ce sujet : puisque ce ne sera jamais dans un ouvrage tel que celui-ci que ceux qui voudront s’instruire du calcul intégral en iront chercher les regles. ”

“ THÉORÈME. — Toute solution d'un système différentiel fermé à deux variables indépendantes peut être regardée comme faisant partie de la solution générale d'un système en involution qu'on peut former d'une manière régulière au bout d'un nombre fini d'opérations.
117. REMARQUE. — En réalité nous nous sommes bornés aux solutions du système initial (3) pour lesquelles le rang du système formé par les équations différentielles du premier degré a sa valeur maxima, et les mêmes restrictions ont été implicitement faites en ce qui concerne les systèmes différentiels successifs obtenus. ”