équation

“ Soit une équation différentielle entre deux variables, et que nous désignerons par et soit son intégrale complète, renfermant et et une constante arbitraire les solutions particulières de l’équation représenteront, comme l’on sait, les diverses enveloppes des lignes, en nombre infini, représentées par l’équation générale et que nous supposons rapportées à deux axes rectangulaires. ”

“ Une équation est une proposition dans laquelle le sujet et l’attribut peuvent se remplacer mutuellement. Le signe = lie les deux membres de l’équation, comme le verbe être lie les deux termes de la proposition. Tout le mécanisme du raisonnement algébrique consiste à passer par une suite d’équations ou de propositions identiques, jusqu’à ce qu’on arrive à une équation dernière, dont l’inconnue forme l’un des membres. ”

“ Mais si de cette dernière équation on élimine b au moyen de l’équation , l’équation résultante devra nécessairement s’accorder avec l’équation
et puisque l’une et l’autre seront satisfaites par la même valeur de a, elles auront un facteur commun qu’on obtiendra en cherchant leur plus grand commun diviseur, et ce commun diviseur, nécessairement d’un degré inférieur au degré de l’équation, pourra servir à trouver a. On trouverait b de la même manière. Prenons encore pour exemple une équation réciproque. ”

“ Mais il y a plus, et dès lors qu’on regarde comme établie l’équation de répartition, on trouve, pour la première fois, dans cette équation même, pour déterminer la constante un moyen susceptible d’une précision illimitée. ”

“ Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous desiriez connaître si elle est ou non soluble par radicaux, je n’aurai rien à y faire que de vous indiquer le moyen de répondre à votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables. ”

“ Des équations dans lesquelles se trouvent la troisième, la quatrième puissance d’une quantité x, etc., peuvent être respectivement satisfaites par trois ou par quatre nombres, etc.... jamais davantage. Quelquefois, aucun nombre ne satisfait aux conditions posées par l’équation ; le calcul, convenablement exécuté, ne tarde pas à l’indiquer ; il donne ce qu’on appelle des solutions, autrement dit des racines imaginaires. ”

“ La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. ”

“ L'équation se dit aussi de la connoissance juste de la partie qu'il faut ajoûter à deux nombres differens, pour les mettre dans l'égalité. La science des équations est la principale partie de l'algebre. L'équation se marque ainsi.
ECHELLE. s. f. Instrument qui sert à monter; il est composé de deux perches ou piéces de bois longues & legéres, traversées de pied en pied de menus bâtons qu'on nomme échelons, sur lesquels on met les pieds l'un aprés l'autre pour monter. Jacob vit une échelle par où les Anges descendoient & montoient du Ciel en terre. ”

“ Une équation étant donnée entre plusieurs variables, développer une fonction proposée d’une ou de plusieurs de ces variables en série ordonnée suivant les puissances de l’une d’entr’elles, ou suivant les puissances et produits de plusieurs d’entr’elles. ”

“ Par exemple, si est une équation, est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes. ”

“ Ce peu d'exemples, que j'ai choisis parmi les plus simples, suffit pour montrer comment les équations dérivées se forment des équations primitives, par l'évanouissement des constantes. On voit que, pour une équation primitive donnée, il est toujours possible de trouver une équation dérivée qui renferme autant de constantes de moins qu'il y aura d'unités dans l'ordre de cette équation, et que, de quelque manière qu'on parvienne à cette équation, et sous quelque forme qu'elle
se présente, elle sera toujours essentiellement la même. ”

“ Quand les équations d'un système ont été par l'élévation au carré, ou par tout autre procédé, ramenées à une forme telle que tous les constituants qui se trouvent dans leur expansion aient des coefficients positifs, toute équation dérivée, obtenue par élimination, possédera le même caractère et pourra être combinée par addition avec les autres équations ”

“ AFFECTÉ. Equation affectée, en Algebre, est une équation dans laquelle la quantité inconnue monte à deux ou à plusieurs degrés différens. Telle est, par exemple, l’équation , dans laquelle il y a trois différentes puissances de x ; savoir ou x. Voyez Equation.
Affecté se dit aussi quelquefois en Algebre, en parlant des quantités qui ont des coefficiens : par exemple, dans la quantité 2 a, a est affecté du coefficient 2. Voyez Coefficient. ”

“ Terme d’Algèbre en matière d’équation. C’est ce que Viéte appelle Homogeneum comparationis, & qui fait toujours un côté ou une partie entière de l’équation, & est toujours une quantité connue. C’est encore le rectangle, ou le solide dont on cherche la racine inconnue. Ainsi dans cette équation a a + 16 a = 36. Le nombre absolu est 36, lequel est égal au produit des deux racines ou valeurs de l’a ; c’est-à-dire, à a multiplié par lui-même, plus a pris seize fois. Equation absolue, en termes d’Astronomie, est la somme de deux équations, de l’excentrique, & de l’optique. Harris. Voyez Équation. ”

“ De là nous tirons, pour la ligue la plus courte, l’équation de condition suivante :
qu’on peut aussi écrire ainsi :
Du reste, à l’aide de l’équation
on peut éliminer, de la précédente équation, l’angle et développer ainsi l’équation différentielle du second ordre entre et qui se trouverait cependant plus compliquée et moins utile pour les applications que la précédente. ”

“ Entre autres théorèmes nouveaux sur divers points de l'algèbre et de la théorie des équations, Newton y énonce les résultats importants suivants. Il explique que l'équation dont les racines sont les solutions d'un problème donné doit avoir autant de racines qu'il y a de cas possibles différents; et il fait voir comment l'équation à laquelle un problème conduit peut avoir des racines ne satisfaisant pas à la question initiale. ”

“ Toute la théorie de la résolution algébrique des équations revient à chercher à exprimer rationnellement les racines de l'équation donnée au moyen des coefficients et d'autres grandeurs qui sont données comme racines d'une ou plusieurs résolvantes successives qui sont plus simples que l'équation proposée. ”

“ Équation de l’évection. 191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration par approximations successives de l’équation
est un coefficient très petit, est une fonction connue de et de dont les termes sont tous de la forme
est un entier, et sont des constantes quelconques. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Elles expriment que l’équation (1) appartient à une surface de révolution. L’équation (22) devient, en vertu des équations (26)
Il nous resterait à examiner ce qui arrive dans ces résultats, lorsque un, deux ou trois rectangles des coordonnées manquent dans l’équation (1) ; mais nous renvoyons, pour cet objet, à notre mémoire qui traite de ces mêmes équations (page 144 ; du 2.e volume des Annales de Mathématiques.) ”

“ La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux, doit avoir une valeur rationnelle, dépendra, en général, d’une équation de degré , à laquelle il faudra, par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles. ”

“ La question serait présentement de savoir si une équation de la forme
peut admettre d’autres solutions que la solution et, au cas qu’elle en admît d’autres, quelles pourraient être ces solutions ? mais c’est une question que nous livrons à la sagacité du lecteur. ”

“ Si au lieu d'avoir F égale à une fonction de x, y, z, on a F donnée par une équation en F, x, y, z, on aura F' donnée par une équation semblable en F', x', y', z'. Mettant pour F' fa valeur F + AF, & pour x', y', z' leurs valeurs x + Ax, y + Ay,z + A £, on aura une équation en F, x, y, z, AF, Ax, Ay, Az, & comme nous avons déjà une équation en F, x, y, z, on voit qu'on peut former à volonté & égaler à zéro une infinité de fonctions de F, AF, x, y, z, Ax, Ay, Az, qui toutes deviendront égaies à zéro, en y mettant pour F &A F leurs, valeurs. ”

“ Ce qu’on entend par l’ensemble des permutations d’une équation.
Du cas où cet ensemble constitue un groupe.
Il n’y a qu’une circonstance où nous ayons reconnu que cela doit nécessairement avoir lieu. C’est celui où toutes les racines sont des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles. Démonstration.
C’est improprement, etc. Du reste, tout ce que nous avons dit est applicable à ce changement près. 1o. théorème. Si une équation jouit de la propriété énoncée, toute fonction des racines invariable par les substitutions conjuguées sera connue, et réciproquement. ”

“ Feu Charles, de l'Académie des Sciences, est le premier qui ait fait cette remarque importante, qu'à une même équation aux différences finies peuvent répondre deux équations intégrales ou sans différences,
ayant chacune une constante arbitraire. ”

“ Si cette équation a ses racines réelles, les quatre points d'intersection doivent être tous réels ou tous imaginaires ; comme il y en a deux qui sont réels, ils seront tous réels; au contraire, si l'équation a ses racines imaginaires, il y aura deux points réels seulement. ”

“ Pour la même raison vous deviez être séduit par les propriétés des fonctions elliptiques et par cette facilité presque mystérieuse avec laquelle on en déduit des théorèmes arithmétiques. L'étude de la transformation et celle des équations modulaires vous ont fourni une riche moisson de découvertes. Vous y rattachiez d'abord le problème du nombre des classes, qu'abordait en même temps un savant dont l'Europe déplore la perte récente; puis la résolution de l'équation du cinquième degré, cette belle conquête dont l'Algèbre est redevable à l'Analyse. ”

“ I. En posant dans la seconde opération donnée dans cet article, on trouve
La première équation ou la seconde peut être commodément appliquée à la confirmation du calcul, si l’on emploie la méthode I ou la méthode II de l’art. 62. ”

“ On voit que tout se réduit à former d'abord des équations dérivées d'après l'équation ou les équations primitives données, et à déduire ensuite de ces équations dérivées d'autres équations primitives, qui seront les transformées des premières. ”

“ On aura donc l'équation
(67)
1 Dans le premier membre de cette équation, où l'intégration se fait par rapport à x, y, z, r devra être exprimée en fonction de ces variables; dans le second membre, elle devra, pour un motif analogue, être exprimée en fonction de ah, (3k, yl.
27, Les équations (63) et (65) sont, avons-nous dit, une condition;
elles correspondent au fait de l'existence de la matière. ”

“ Enfin, comme rien n’empêche que nous ne supposions , , et partant , il est évident que la solution de l’équation peut être réduite à la solution de l’équation à deux termes du degré , où se déterminera par les racines de l’équation . ”

“ Une équation latérale dans les anciens auteurs d’algebre, est une équation simple ou qui n’est que d’une dimension, & n’a qu’une racine. Voyez Equation.
On ne dit plus équation latérale, on dit équation simple ou linéaire, ou du premier degré. ”

“ Reprenons l'équation du premier exemple de la Leçon précédente x2―2ay―a2―b=o,
en la regardant comme une équation primitive dont a est la constante arbitraire; pour avoir l'équation dérivée qui ait la propriété dont il s'agit, il faudra y substituer pour a sa valeur tirée de la dérivée x — ay'= o. ”

“ Le caractère employé pour la composition de la formule est de corps 8 ; l’ensemble de l’opération donne 16 points, plus le filet de 2 points, soit, au total, 18 points.
xxxx L’égalité et le filet diviseur principal commandent l’alignement de l’équation.
xxxx L’équation se trouvant en ligne perdue au milieu de la justification, on compose d’abord les termes et les expressions les plus longs, qui formeront une seule ligne, afin d’obtenir la justification de l’équation et le blanc à porter de chaque côté. ”

“ Des équations (1) on tire
(7) Substituant ces valeurs dans l’équation (2) , il viendra, en divisant par chassant le dénominateur et transposant,
(8) équation de relation entre les trois angles que forment deux à deux, sur un même plan, trois droites partant d’un même point, et par conséquent trois droites quelconques. ”

“ La théorie des sections coniques doit être précédée d’un traité, qui contiendra les principes généraux de l’application de l’Algebre aux lignes courbes. Voyez Courbe. Ces principes généraux consisteront, 1°. à expliquer comment on représente par une équation le rapport des abscisses aux ordonnées ; 2°. comment la résolution de cette équation fait connoître le cours de la courbe, ses différentes branches & ses asymptotes ; 3°. à donner la maniere de trouver par le calcul différentiel les tangentes & les points de maximum & de minimum ”

“ On substituera ces valeurs, ainsi que celle de dans les trois équations (XXX, XXXI, XXXII) , qui dès-lors ne renfermeront plus que des fonctions arbitraires de ces deux variables, des constantes arbitraires, et ses divers coefficiens différentiels, les deux fonctions arbitraires et et la constante Ces équations, ainsi transformées, serviront à déterminer les constantes et fonctions arbitraires introduites par l’intégration de l’équation (XXIX) , de manière à satisfaire aux conditions relatives aux limites. ”