Joseph Diez Gergonne

“ Aussi arrive-t-il que, dans la plupart des traités d’algèbre, la formation des puissances et l’extraction des racines des polynômes, au lieu de suivre immédiatement leur multiplication et leur division, comme la filiation des idées semblerait l’exiger, sont présentées beaucoup plus loin, parce qu’on les fait dépendre de la formule du Binôme de Newton dont, à raison des longueurs et des difficultés qu’entraîne sa recherche, on croit devoir faire un objet à part, une espèce de hors-d’œuvre. ”

“ Deux facteurs ne peuvent être multipliés l’un par l’autre que de deux manières différentes, parce qu’il n’y a que deux manières de choisir entre eux le multiplicateur, et que, le choix fait, le multiplicande se trouve de lui-même déterminé. Quant à trois facteurs, on peut en former le produit de six manières différentes, parce qu’il y a trois manières de choisir entre eux le dernier facteur, et que, dans chaque cas, il y a deux manières de former le produit des deux premiers. ”

“ On ne saurait même douter qu’il n’en dût être ainsi, pour une force unique appliquée à un corps dépouillé de masse, du moines tant que ce corps serait parfaitement libre, mais non point pour plusieurs forces ; puisqu’alors l’effet que chacune d’elles tendait à produire se trouverait contrarié par l’action des autres ; et, s’il n’en est pas ainsi, dans la nature, pour une force unique, appliquée à un corps parfaitement libre, c’est seulement parce que la masse de ce corps donne naissance à une force d’inertie qui contrarie l’action de celle qui lui est appliquée. ”

“ Il suffit, en effet, de former les premières puissances du binome pour être conduit à soupçonner que, dans toute puissance de ce binome, le coefficient d’un terme quelconque pourrait bien être le coefficient du terme précédent multiplie par l’exposant de dans ce même terme, et divisé par le rang qu’il occupe à partir du premier. ”

“ Presque tous ont supposé que l’on connaissait déjà les conditions de l’équilibre entre des puissances situées dans un même plan : conditions qu’ils ont au reste, pour la plupart, déterminées d’une manière assez laborieuse. ”

“ Si l’on veut compter les temps depuis l’époque où l’écoulement a commencé, on dovra avoir à la fois et ce qui donnera
divisant l’équation par celle-ci, il viendra, en chassant le dénominateur
c’est là l’expression de la hauteur du liquide dans le vase au bout du temps : elle montre que cette hauteur, bien qu’elle décroisse continuellement, ne pourra jamais devenir tout à fait nulle. ”

“ Loin qu’il soit évident de soi-même que deux puissances égales et parallèles, agissant dans le même sens, ne sont pas équivalentes, et ne peuvent conséquemment être substituées l’une à l’autre, il serait, au contraire, facile de prouver, par un raisonnement très-spécieux, qu’une puissance peut être transportée en un point quelconque parallèlement à elle-même. ”

“ Elle ne repose d’ailleurs que sur cet unique axiome de Statique, savoir : que, pour qu’un système soit en équilibre, il est nécessaire et suffisant qu’en y introduisant des puissances arbitraires de nature à avoir à elles seules une résultante effective, le système ainsi modifié ait aussi une résultante effective qui soit identique avec celle des puissances arbitrairement introduites. ”

“ Pour que la hauteur du liquide dans le vase soit un maximum, il faut qu’on ait ce qui donne
d’où or et sont les dépenses respectives des vases et dans le même temps ; ainsi le liquide sera à sa plus grande hauteur dans le vase lorsque ce vase perdra précisément autant d’eau dans un instant que le vase lui en fournira, ce qui était d’ailleurs facile à prévoir. ”

“ Je dois ajouter enfin que, parmi les méthodes employées jusqu’ici pour parvenir aux conditions de l’équilibre, plusieurs ne font que masquer la difficulté qui naît de l’existence possible des puissances égales et parallèles, agissant en sens contraire, sans être directement opposées, et que d’autres se bornent presque uniquement à montrer que les conditions auxquelles elles conduisent assurent l’équilibre, ou sont une suite de son existence, sans faire voir nettement que ces conditions sont à la fois nécessaires et suffisantes ”

“ Dans le premier cas on a, à la fois,
et comme les équations du mouvement sont en général
on voit qu’elles ne peuvent être satisfaites qu’autant que est infini, c’est-à-dire, qu’autant qu’une au moins des trois coordonnées est elle-même infinie.
Les équations (7, 8) deviennent simplement dans ce cas
d’où on tire
si donc ni ni ne sont infinis, c’est-à-dire, si n’est pas zéro, on devra avoir
d’où
ainsi les angles doivent être les mêmes pour des observations faites à diverses époques. ”

“ On intègre ordinairement cette équation, en rendant ses deux membres, par des transformations, des différentielles exactes ; on obtient ainsi pour l’équation primitive de la courbe :
[1] . Cette équation, bien qu’assez simple, est d’une forme assez peu symétrique, tandis que, par une autre voie que je vais indiquer, on peut en obtenir une qui me paraît beaucoup plus élégante, et qui, pour cette raison, serait peut-être plus propre à mettre en évidence la nature et les propriétés de la courbe funiculaire. ”

“ L’obliquité de l’écliptique se trouvant ainsi déterminée, on déterminera la position de l’équinoxe par l’une ou l’autre des deux équations
Si l’on a le choix entre plusieurs observations, et qu’on ne veuille en employer que deux, il faudra les choisir de préférence, de manière qu’elles ne soient pas trop rapprochées soit entre elles, soit des solstices, et qu’elles ne comprennent pas un solstice entre elles. Le mieux sera peut-être de les prendre à environ six semaines avant et après l’équinoxe. ”

“ Je dis, enfin, qu’aucun des facteurs binômes de l’une ou de l’autre série ne peut être affecté d’un exposant entier et positif, différent de l’unité. On peut remarquer, en effet, que chacune de ces séries est, au signe près, la fonction dérivée de l’autre ; si donc un des facteurs binômes de l’une d’elles s’y trouvait élevé à une puissance entière. et positive , plus grande que l’unité, on en conclurait, par la théorie connue des racines égales, que ce même facteur devrait aussi se trouver dans l’autre, et s’y trouver à la puissance ”

“ Cette marche d’ailleurs très-rigoureuse, est, comme on le voit, assez longue et peu naturelle ; car, outre qu’il semble plus direct et plus élégant de considérer les binômes comme des cas particuliers des polynômes, que de déduire des premiers ce qui est relatif aux derniers, la supposition de l’inégalité des seconds termes des binômes que l’on multiplie, supposition tout-à-fait étrangère à la question, ne peut tendre qu’à en compliquer la solution ; puisqu’en général le résultat d’un calcul est d’autant plus compliqué qu’il y entre un plus grand nombre d’élémens inégaux. ”

“ On peut donc dire, d’après cela que, pour qu’il y ait équilibre, dans un système de forme invariable, absolument libre dans l’espace, il est nécessaire et suffisant que les deux puissances auxquelles il peut toujours être réduit, soient égales et directement opposées. ”

“ Ensuite, à l’aide de plusieurs longitudes et latitudes observées, dans le voisinage de l’époque , on calculera, par la méthode que M. Laplace a indiquée [2] , les valeurs approchées, toujours pour l’époque , de Recourant alors aux équations (3, 4) , et à leurs différentielles des trois premiers ordres, on en conclura les valeurs correspondantes de au moyen de quoi tout se trouvera connu dans la valeur de Z.
Z étant ainsi déterminé, l’équation (21) fera connaître , et on obtiendra ensuite par les équations (5, 6, 7, 8) . ”

“ Quoique le procédé que nous venons d’employer, pour parvenir au but, ne laisse rien à désirer du côté de la brièveté, on pourrait lui reprocher d’être basé sur la considération des quantités infiniment petites ; mais on peut le présenter sous une forme analogue à celle que l’illustre auteur de la Théorie des fonctions analitiques [2] a indiquée pour le changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable ; ne reposant alors que sur la série de Tailor, il pourra être traduit dans toutes les notations. ”

“ Ainsi, la distance du centre de gravité du volume d’un tétraèdre au plan de sa base est le quart de sa hauteur ; d’où il est facile de conclure que ce centre est situé à l’intersection des droites qui joignent les sommets du tétraèdre aux centres de gravité des aires des faces opposées ; et, par suite, qu’il est situé au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques. [4]
↑ Tom. ”

“ Alors, comme on n’exécutera aucune réduction, il est aisé de voir qu’en désignant par , le nombre des termes de la racine, le premier produit aura termes de 2 dimensions, le second en aura de 3 dimensions, et ainsi de suite, en sorte que la puissance cherchée sera un polynome homogène de dimensions ayant termes, sans coefficiens ni exposans, et dont les termes seront formés de lettres prises parmi celles du polynome proposé, et écrites une ou plusieurs fois. ”

“ L’analise offre pour cela divers moyens dont les principaux et les plus parfaits sont : 1.o les séries dont les termes, alternativement positifs et négatifs, convergent de telle manière que chacun d’eux est, à lui seul ; plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent ; 2.o les fractions continues dont les fractions intégrantes, toutes positives, sont moindres que l’unité, 3.o enfin les produits indéfinis dont les facteurs alternativement plus grands et plus petits que l’unité, tendent sans cesse vers cette limite commune. ”

“ Parvenu ainsi au terme général du développement de , il est facile d’en déduire celui du développement de duquel, par une marche inverse de celle que nous avons suivie dans ce qui précède, on pourra conclure les diverses formules de la théorie des permutations et combinaisons. Il est très-utile à ceux qui étudient les sciences, d’apprendre à parcourir ainsi, en divers sens, la chaîne des propositions dont elles se composent. ”

“ À plus forte raison la chose cesse-t-elle d’être claire d’elle-même, si l’on admet de plus grands facteurs et en plus grand nombre, et elle le devient encore moins, si l’on prend des facteurs fractionnaires ou irrationnels. ”

“ Pour prouver cette dernière assertion, il suffit de faire voir qu’un tel produit, composé au hasard, se trouve fois parmi ceux qu’on aura formé : or, c’est là une chose facile ; car soit ce produit
si l’on en ôte successivement chacun de ces facteurs, on formera les produits de facteurs que voici :
lesquels devaient se trouver, une fois chacun, parmi ceux dont il a été question ci-dessus ”

“ II. Soit décomposé chaque force, au point où elle rencontre ce plan, en deux autres, dont l’une y soit contenue et dont l’autre lui soit perpendiculaire. Par ce procédé, tout le système se trouvera réduit à deux groupes de forces dont les unes seront dans un même plan, tandis que les autres seront perpendiculaires à ce plan, et conséquemment parallèles entre elles,
III. Les puissances de cette dernière sorte pourront toujours, comme l’on sait, être réduites à deux au plus lesquelles, étant parallèles entre elles et aux composantes, seront dans un même plan perpendiculaire au premier. ”

“ Mais, dans le cas où l’on aura plus de deux observations, il sera plus convenable de les combiner deux à deux de toutes les manières différentes : observations donneront ainsi résultats desquels on pourra déduire un résultat moyen très-approché. ”

“ Il est une vérité d’un ordre plus élevé, qui a beaucoup d’analogie avec celle-là, et qui peut être démontrée par le même tour de raisonnement ; je veux parler de l’identité entre les résultats auxquels on parvient, dans la différentiation des fonctions de plusieurs variables, en intervertissant d’une manière quelconque l’ordre des différentiations successives : identité qui, pendant long-temps, a aussi été admise sans être prouvée ”

“ Il est aisé de voir que la substitution des valeurs de ne fera monter cette équation, en , qu’au 6.me degré seulement [5] ; mais ce n’est pas la plus simple que l’on puisse employer, dans ce cas, pour parvenir à la solution du problème.
On a, en effet, par le principe de la gravitation, ainsi que nous l’avons déjà rappelé,
et l’équation (32) peut d’ailleurs être mise sous cette forme
multipliant donc ces deux équations l’une par l’autre, il viendra, en réduisant et transposant
équation qui, par la substitution des valeurs de ne s’élèvera, en , qu’au troisième degré seulement ”

“ S’il est impossible de traiter de ces divers instrumens d’approximation, dans les ouvrages consacrés à l’enseignement élémentaire, avec toute l’étendue que peuvent comporter leur nature et leur importance, il semble du moins convenable et utile de donner, dans ces sortes d’ouvrages, quelques notions sur chacun d’eux et sur le parti qu’on peut en obtenir. ”

“ Détermination des orbites des corps célestes, par quatre ou un plus grand
nombre d’observations voisines. La méthode que je vais tracer, dans cette première partie, est directe ; elle est fondée sur la plus saine théorie ; et elle réduit au premier degré un problème généralement regardé comme très-difficile. Néanmoins, on la jugera peut-être plus curieuse qu’utile. Elle suppose, en effet, que l’on a au moins quatre observations complètes de l’astre dont il s’agit de déterminer les élémens ”

“ Il n’est pas exact, en général, d’appliquer des formules à un cas pour lequel elles n’ont pas été construites, et le problème, si connu, des deux lumières, montre qu’une pareille application peut souvent conduire à des conséquences absurdes. ”

“ L’équation revient à
d’un autre côté, on tire des équations et
ajoutant les produits de ces deux dernières par les multiplicateurs indéterminés et à l’équation (n) il viendra
donc
éliminant et entre ces équations, elles deviendront
On satisfait à ces équations, quel que soit le premier des points pris sur la courbe, en supposant que le second se confond avec lui, ce qui donne sur-le-champ la direction de la tangente en ce point, ainsi que cela doit être. ”