Joseph Diez Gergonne

“ Si l’on veut compter les temps depuis l’époque où l’écoulement a commencé, on dovra avoir à la fois et ce qui donnera
divisant l’équation par celle-ci, il viendra, en chassant le dénominateur
c’est là l’expression de la hauteur du liquide dans le vase au bout du temps : elle montre que cette hauteur, bien qu’elle décroisse continuellement, ne pourra jamais devenir tout à fait nulle. ”

“ Cette marche d’ailleurs très-rigoureuse, est, comme on le voit, assez longue et peu naturelle ; car, outre qu’il semble plus direct et plus élégant de considérer les binômes comme des cas particuliers des polynômes, que de déduire des premiers ce qui est relatif aux derniers, la supposition de l’inégalité des seconds termes des binômes que l’on multiplie, supposition tout-à-fait étrangère à la question, ne peut tendre qu’à en compliquer la solution ; puisqu’en général le résultat d’un calcul est d’autant plus compliqué qu’il y entre un plus grand nombre d’élémens inégaux. ”

“ L’obliquité de l’écliptique se trouvant ainsi déterminée, on déterminera la position de l’équinoxe par l’une ou l’autre des deux équations
Si l’on a le choix entre plusieurs observations, et qu’on ne veuille en employer que deux, il faudra les choisir de préférence, de manière qu’elles ne soient pas trop rapprochées soit entre elles, soit des solstices, et qu’elles ne comprennent pas un solstice entre elles. Le mieux sera peut-être de les prendre à environ six semaines avant et après l’équinoxe. ”

“ Pour que la hauteur du liquide dans le vase soit un maximum, il faut qu’on ait ce qui donne
d’où or et sont les dépenses respectives des vases et dans le même temps ; ainsi le liquide sera à sa plus grande hauteur dans le vase lorsque ce vase perdra précisément autant d’eau dans un instant que le vase lui en fournira, ce qui était d’ailleurs facile à prévoir. ”

“ Dans le premier cas on a, à la fois,
et comme les équations du mouvement sont en général
on voit qu’elles ne peuvent être satisfaites qu’autant que est infini, c’est-à-dire, qu’autant qu’une au moins des trois coordonnées est elle-même infinie.
Les équations (7, 8) deviennent simplement dans ce cas
d’où on tire
si donc ni ni ne sont infinis, c’est-à-dire, si n’est pas zéro, on devra avoir
d’où
ainsi les angles doivent être les mêmes pour des observations faites à diverses époques. ”

“ Ensuite, à l’aide de plusieurs longitudes et latitudes observées, dans le voisinage de l’époque , on calculera, par la méthode que M. Laplace a indiquée [2] , les valeurs approchées, toujours pour l’époque , de Recourant alors aux équations (3, 4) , et à leurs différentielles des trois premiers ordres, on en conclura les valeurs correspondantes de au moyen de quoi tout se trouvera connu dans la valeur de Z.
Z étant ainsi déterminé, l’équation (21) fera connaître , et on obtiendra ensuite par les équations (5, 6, 7, 8) . ”

“ Parvenu ainsi au terme général du développement de , il est facile d’en déduire celui du développement de duquel, par une marche inverse de celle que nous avons suivie dans ce qui précède, on pourra conclure les diverses formules de la théorie des permutations et combinaisons. Il est très-utile à ceux qui étudient les sciences, d’apprendre à parcourir ainsi, en divers sens, la chaîne des propositions dont elles se composent. ”

“ Mais, dans le cas où l’on aura plus de deux observations, il sera plus convenable de les combiner deux à deux de toutes les manières différentes : observations donneront ainsi résultats desquels on pourra déduire un résultat moyen très-approché. ”

“ Ainsi, la distance du centre de gravité du volume d’un tétraèdre au plan de sa base est le quart de sa hauteur ; d’où il est facile de conclure que ce centre est situé à l’intersection des droites qui joignent les sommets du tétraèdre aux centres de gravité des aires des faces opposées ; et, par suite, qu’il est situé au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques. [4]
↑ Tom. ”

“ Il est aisé de voir que la substitution des valeurs de ne fera monter cette équation, en , qu’au 6.me degré seulement [5] ; mais ce n’est pas la plus simple que l’on puisse employer, dans ce cas, pour parvenir à la solution du problème.
On a, en effet, par le principe de la gravitation, ainsi que nous l’avons déjà rappelé,
et l’équation (32) peut d’ailleurs être mise sous cette forme
multipliant donc ces deux équations l’une par l’autre, il viendra, en réduisant et transposant
équation qui, par la substitution des valeurs de ne s’élèvera, en , qu’au troisième degré seulement ”

“ Alors, comme on n’exécutera aucune réduction, il est aisé de voir qu’en désignant par , le nombre des termes de la racine, le premier produit aura termes de 2 dimensions, le second en aura de 3 dimensions, et ainsi de suite, en sorte que la puissance cherchée sera un polynome homogène de dimensions ayant termes, sans coefficiens ni exposans, et dont les termes seront formés de lettres prises parmi celles du polynome proposé, et écrites une ou plusieurs fois. ”

“ L’équation revient à
d’un autre côté, on tire des équations et
ajoutant les produits de ces deux dernières par les multiplicateurs indéterminés et à l’équation (n) il viendra
donc
éliminant et entre ces équations, elles deviendront
On satisfait à ces équations, quel que soit le premier des points pris sur la courbe, en supposant que le second se confond avec lui, ce qui donne sur-le-champ la direction de la tangente en ce point, ainsi que cela doit être. ”

“ Pour prouver cette dernière assertion, il suffit de faire voir qu’un tel produit, composé au hasard, se trouve fois parmi ceux qu’on aura formé : or, c’est là une chose facile ; car soit ce produit
si l’on en ôte successivement chacun de ces facteurs, on formera les produits de facteurs que voici :
lesquels devaient se trouver, une fois chacun, parmi ceux dont il a été question ci-dessus ”

“ Détermination des orbites des corps célestes, par quatre ou un plus grand
nombre d’observations voisines. La méthode que je vais tracer, dans cette première partie, est directe ; elle est fondée sur la plus saine théorie ; et elle réduit au premier degré un problème généralement regardé comme très-difficile. Néanmoins, on la jugera peut-être plus curieuse qu’utile. Elle suppose, en effet, que l’on a au moins quatre observations complètes de l’astre dont il s’agit de déterminer les élémens ”

“ Recherche directe et rigoureuse des centres de gravité
du triangle et du tétraèdre ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ Dans la Correspondance sur l’école polytechnique [1] , M. Berthot, professeur au lycée de Dijon, a présenté la recherche des centres de gravité du triangle et du tétraèdre, dégagée de toute considération d’infiniment petits et de limites. Sa méthode ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur ; mais c’est une réduction à l’absurde qui, comme toutes les démonstrations de ce genre, a l’inconvénient de supposer que l’on sache déjà à l’avance à quel résultat on doit parvenir. ”

“ Présentement il est facile de voir que peut toujours être supposé assez petit, sans être nul, pour que la hauteur effective du liquide dans le vase , à l’époque soit moyenne entre celles qui résultent de ces deux hypothèses, c’est-à-dire, pour que la fonction soit comprise entre les fonctions et ”

“ Cette valeur substituée dans l’équation (31) donnera une nouvelle équation de relation. Si ces deux équations se trouvent satisfaites, on sera assuré que l’orbite est en effet circulaire ; et comme, par leur moyen, on pourra éliminer de la valeur de les secondes différences tant des longitudes que des latitudes géocentriques, il s’ensuit que deux observations seulement seront alors suffisantes pour résoudre complètement le problème.
XII. Considérons maintenant le cas où la trajectoire décrite serait rectiligne : on aurait alors
étant des constantes ”

“ En considérant que les valeurs et de et doivent se correspondre, on aura pareillement
équation qui, retranchée de la précédente, donne
ou simplement
ce qui revient à
ou encore
et donne
formule qui donnera lorsque sera connu. ”

“ Par M.Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ On peut atteindre au but que vient de remplir M. Rochat par une autre méthode, moins élémentaire il est vrai, mais qui a l’avantage de n’exiger aucune transformation de coordonnées, et qui peut fournir une agréable et utile application de la doctrine des Maximis et Minimis à ceux qui étudient le calcul différentiel ; je vais l’exposer brièvement. ”

“ Les 2.e et 3.e colonnes indiquent, pour les mêmes époques, les distances de la comète tant au soleil qu’à la terre ; la moyenne distance du soleil à la terre étant prise pour unité. Ainsi, les nombres renfermés dans ces deux colonnes étant multipliés par 30 680 097 deviendront des distances en lieues métriques de 5 kilomètres. ”

“ I. Soient et les hauteurs de deux triangles semblables ; soient , les angles des bases de ces triangles ; soient enfin et les hauteurs respectives de leurs centres de gravité au-dessus de ces bases. étant donnés, le premier de ces deux triangles est absolument déterminé ; son centre de gravité l’est donc aussi ; il en doit donc être de même de la distance de ce point à la base du triangle ”