Lazare Carnot

“ D'autres personnes enfin, sans discuter la nature des quantités négatives isolées, se sont attachées à justifier l'emploi qu'on en fait, en montrant que les résultats qu'on obtient par elles, sont toujours conformes à ceux qu'on obtient par la seule synthèse, ou par d'autres procédés de calcul qui dispensent de faire usage de ces quantités négatives. On doit regarder leur travail comme d'autant plus
précieux, qu'il n'est pas d'autre manière de constater l'infaillibilité des résultats fournis par l'analyse. ”

“ Trouver en valeurs des six arêtes d'une pyramide triangulaire, la plus courte distance de deux quelconques des arêtes opposées, c'est-à-dire, la droite qui est en même temps perpendiculaire à l'une et à l'autre. ”

“ Nous venons de voir qu'on est souvent obligé d'employer dans le calcul, des quantités affectées du signe contraire à celui qu'elles devraient avoir, quantités que nous avons nommées inverses: mais il est un autre motif qui déterminerait à les employer, quand même on n'y serait pas obligé ; c'est l'avantage qu'elles procurent de pouvoir représenter par une seule et même formule , un système variable de quantités, dans tous les états où il peut se trouver. ”

“ Lagrange observe très-bien, qu'indépendamment de la sphère inscrite, il y en a quatre autres, qui sont aussi bien qu'elle tangentes, chacune aux quatre faces de la pyramide , mais qu'alors il y a toujours- une de ces quatre faces qui n'est qu'extérieurement tangente à la sphère. Il est aisé, d'après cela, de trouver le rayon de ces quatre nouvelles sphères; car il n'y a qu'à regarder comme négative celle des faces à laquelle la sphère est extérieurement tangente, c'est-à-dire, donner successivement le signe - à chacun des radicaux qui les-expriment. ”

“ Enfin, puisqu'on est en droit de négliger dans un calcul les quantités nulles, à plus forte raison devrait-on pouvoir négliger celles qui sont moindres que rien : or tout le monde sait qu'on commettrait des erreurs capitales, si on négligeait les quantités négatives. ”

“ Si toùe les côtés d'un polygone plan quelconque sont coupés par une transversale circulaire, c'est-à-dire, s'ils sont tous, ou leurs prolongemens, rencontrés par la circonférence d'un cercle, cette circonférence coupant chacun des cotés en deux points, déterminera sur chacun d'eux quatre segmens entre elle et les angles qui terminent ce côté. Or de tous ces segmens, le produit de la moitié pris pour facteurs, sera égal au produit de tous les autres, en les prenant tous de manière qu'il n'en entre jamais deux dans le même produit qui aient pour extrémité un même point de la circonférence. ”

“ En général, soit p une quantité inverse quelconque, et faisons p=m-n. Puisque p est inverse par hypothèse, il est affecté du signe contraire à celui qu'il devrait avoir ; c'est-à-dire, qu'on a mis dans le calcul p au lieu de — p, ou m —' n au lieu de n — m : on a donc supposé m > n, tandis que réellement on a n < m; c'est-à-dire que des deux quantités m , n, dont p est la différence, la plus grande n a été prise pour la plus petite, et la petite m a été prise pour la plus grande. ”

“ Maintenant, pour trouver les angles formés par ces droites, il n'y a qu'à considérer les points trois à trois ; car les droites qui les joignent formeront un triangle, dont les côtés seront connus par ce qui vient d'être dit ; donc on aura chacun des angles par le lemme 1. Voilà pour les droites qui ont une extrémité commune : quant à celles qui ne se rencontrent pas, il faut joindre leurs extrémités deux à deux, en les considérant comme les quatre sommets d'une pyramide triangulaire dont ces droites sont deux arêtes opposées , et alors on aura l'angle qu'elles forment (27) . ”

“ Ainsi, il faut exprimer ces six conditions arbitraires par six nouvelles équations qui, combinées avec les six arêtes, donneront le moyen d'éliminer les douze coordonnées. C'est dans l'art de conduire , de la manière la plus simple, ce calcul suivant les circonstances, que consistent les ressources de la méthode féconde des projections. On voit qu'elle est fondée essentiellement sur l'art de changer le système des coordonnées , afin de pouvoir choisir l'origine et les directions des axes le plus favorablement possible à l'objet qu'on a en vue. ”

“ L'ellipse pouvant être considérée comme une projection du cercle, il est aisé de lui appliquer la proposition précédente, puisque les projections des parties d'une même droite sont entre elles en même rapport que ces parties elles-mêmes; d'où il suit que le rapport des deux membres de l'équation (A) étant i pour le cercle, doit rester i pour l'ellipse. ”

“ Mais en considérant A comme le sommet d'une pyramide qui a pour base CDE, il est facile d'en trouver la hauteur Aa par la formule trouvée (6) ; et pareillement, en considérant B comme le sommet d'une pyramide qui a aussi pour base CDE , on aura par la même formule la hauteur Bb.
De plus, les distances respectives des cinq points A, B, C, D, E, étant toutes données par hypothèse, la droite AB est connue.
Donc dans l'équation trouvée ci-dessus,
toutes les quantités qui entrent dans le second membre sont connues; donc le premier membre sin ARa est aussi connu. Ce qu'il fallait trouver. ”

“ Si l'on coupe un quadrilatère simple quelconque par une transversale ; la portion de cette transversale interceptée entre les deux diagonales , sera coupée en segmens proportionnels par les deux droites menées du point d'intersection de ces deux diagonales , aux deux points de concours des côtés opposés du quadrilatère. ”

“ De même, dans la Géométrie aux trois dimensions , quoique tout solide ou polyèdre puisse être décomposé en pyramides triangulaires, et que par conséquent, la théorie de ces pyramides soit fondamentale : comme il faut encore lier les unes aux autres ces pyramides, qui ont chacune quatre sommets ou angles solides ; il est à propos, pour compléter cette théorie, de considérer la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points pris dans l'espace. Ces distances entre les points comparés deux à deux , sont au nombre de dix ”

“ Cela posé, il est clair que le carré d'une droite quelconque menée dans l'espace, étant toujours égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes quelconques rectangulaires, nous aurons
Substituant donc toutes ces valeurs de m*, n2, p2, f2, fi, h2 dans les formules trouvées qui expriment toutes les parties de la pyramide en valeurs de ses seules arêtes, on aura l'expression de ces mêmes quantités en valeurs des coordonnées des quatre sommets A, B, C, D. Ce qu'il fallait trouver. ”

“ Elle ne peut donc employer des quantités absurdes, raisonner sur des opérations non exécutables. Si elle fait usage de signes , c'est seulement pour aider l'imagination et la mémoire ; mais ces signes ne peuvent jamais être pour elle que de simples abréviations.
L'analyse au contraire a d'abord tous les moyens de la synthèse; et de plus, elle admet dans ses combinaisons des objets qui n'existent pas; elle les représente par des symboles, aussi bien que ce qui est effectif: elle mélange les êtres réels avec les êires de raison ”

“ Ainsi, par exemple, quoique les formules.
ne soient exactes que pour le premier quart de la circonférence; on les regarde comme applicables à tous les cas possibles; sauf à changer, suivant l'exigence des cas à la fin du calcul , le signe des cosinus des angles plus grands que le quart de circonférence ou plutôt, c'est par les signes mêmes dont les termes se trouvent affectés à la fin du calcul, qu'on juge si les angles appartiennent
comme on l'avait supposé, ou s'ils n'appartiennent pas au premier quart de la circonférence. ”

“ La position d'un point étant déterminée dans l'espace par trois coordonnées quelconques, faisant entre elles des angles donnés, on propose de changer les directions de ces coordonnées, supposant que l'on connaisse l'angle que fait chacune des noue: velles coordonnées avec chacune des anciennes. ”

“ Que le calcul ne devient significatif que lorsque par la suite des transformations opérées, on est parvenu à un résultat explicite, c'est-à-dire dans lequel toutes les quantités qui y entrent sont des quantités absolues, et où les signes n'indiquent plus aucuno opération qui ne soit exécutable. ”

“ Il arrive souvent ainsi que, quoiqu'on se soit trompé dans la mise en équation, la solution n'en est pas moins utile, parceque l'erreur est facile à rectifier, sans qu'il soit besoin de recommencer le calcul ”

“ On peut appliquer la même théorie au cas où les trois cercles proposés se trouveraient sur la surface d'une même sphère: il suffit, pour cela , d'entendre alors des arcs de grand cercle , ce que nous venons de dire des lignes droites.
FIG. 21.
28. Soient A, B, C, D, les centres de quatre sphères. Concevons que ces sphères soient enveloppées extérieurement deux à deux par des surfaces coniques tangentes ; il en résultera six cônes
différens. ”

“ Substituant donc ces valeurs de AF et x dans l'équation -
que donne le triangle rectangle AFE, nous aurons la formule Suivante qui satisfait à la question proposée,
COROLLAIRE.
22. Puisque la formule (A) contient les sept quantités m , n, p?
f, g, h, EF ; il est évident qu'elle résout cette question plus générale : Parmi les sept quantités suivantes ; savoir, les six arêtes d'une
pyramide triangulaire et la distance du pied de l'une quelconque des perpendiculaires à l'un des côtés de la base opposée ”

“ Prenons A pour le centre d'une sphère, et supposons que les quatre arêtes de la pyramide aillent rencontrer la surface de cette sphère aux points B', C', D', E', respectivement. Joignons ces points deux à deux par un arc de grand cercle ; il en résultera visible- ment un quadrilatère sphérique B'C'D'E', dont les quatre côtés et les deux diagonales sont précisément les mesures respectives des six angles que nous avons à considérer. Donc nous pouvons appli-
quer à ces six angles la formule (D) du problème précédent ”

“ Cependant + a pouvant être regardé comme étant la même chose o + a ou a, on peut ne faire aucune distinction entre les quantités dites positives et les quantités absolues, et la difficulté ne regarde réellement que les quantités dites négatives.
2. Il y a des personnes qui regardent les quantités négatives isolées comme moindres que o; mais cette opinion ne paraît nullement soutenable ; car pour obtenir une pareille quantité , il faudrait pouvoir ôter quelque chose de rien, ce qui est absurde. ”

“ Donc la droite CC', par exemple, qui n'est pas dans le plan ADa, où sont contenues AA', DD', les coupe cependant l'une et l'autre; ce qui ne peut avoir lieu, sans qu'elle passe par leur point de croisement. ”

“ C'est ce problème que je me suis proposé de résoudre. Pour y parvenir, je suis obligé de traiter plusieurs autres questions préliminaires, et parmi ces questions, il en est qui sont trèsintéressantes par elles-mêmes : principalement celle d'exprimer en valeurs des seules arêtes d'une pyramide triangulaire, toutes les parties qui entrent dans la construction de cette pyramide ; savoir, les angles que forment ces arêtes, soit entre elles, soit avec les faces ; ceux qui sont compris entre ces mêmes faces ”

“ J'observerai seulement que si du point n , par exemple, on mène deux droites ns, n? aux points où la circonférence est coupée par ml , ces deux droites seront nécessairement tangentes à cette circonférence, puisque ce point n est placé sur la droite pq des extrémités de laquelle partent les droites pA, pC; qB, qD, et que les cordes AC, BD, s s', se croisent toutes au même point k.
"JG. '.l4.
3i. Soit l'hexagone ABCDEF inscrit au cercle; je prolonge les
côtés opposés AB, ED , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent au point m ”

“ Cela posé, par le lemme II, les deux triangles sphé-
riques adc, aco, donneront les deux valeurs suivantes pour le cosinus de l'angle acd qui leur est commun :
égalant ces deux Valeurs, et réduisant, on aura (cos ao - cos ac. cos co) sin cd== (cos ad- cos ac. cos cd) sin co. (A) niais il est évident que ac = ABC , co = OBC = supp. ”