Angle solide

“ Remarque. De même que nous avons pris pour unité d’attraction des angles plans, celle qui est exercée par l’angle droit plan ; il paraît naturel de prendre, pour unité d’attraction des angles solides polyèdres, celle qui, est exercée par l’angle solide trièdre trirectangle ; on a ainsi
d’où C’est sous cette forme que nous emploirons à l’avenir la valeur de
PROBLÈME IX. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par une calotte sphérique sur le centre de la sphère ? ”

“ Si un angle solide convexe a toutes ses arêtes coupées par un plan quelconque, variable de position, la somme des angles plans détei-minés sur les faces de Vangle solide d'un même côté du plan sécant est constante. ”

“ II suit de là qu'une force imprimée sur la surface d'un corps solide, en repos, par l'intervention d'un autre corps solide, sera détruite, quelle que soit sa direction, pourvu seulement que l'angle que celle direction fait avec la perpendiculaire à la surface n'excède pas un certain angle, appelé l'angle limite de résistance à cette surface. ”

“ On pourrait dire qu'tm angle solide est une pyramide creuse dont la base est enlevée et dont les faces sont prolongées à V infini.
243. On distingue les angles solides d'après le nombre des plans qui les forment. Un angle solide trièdre ou simplement un angle trièdre est celui qui est formé par trois plans ; quand l'angle solide a quatre faces on l'appelle tétraèdre et ainsi desuite, c'est-à-dire que pour indiquer le nombre de faces d'un angle solide on emploie les mots pentaèdre, hexaèdre, eptaèdre, etc. ”

“ INCLINAISON DES SOLIDES FLÉCHIS A LEUR EXTRÉMITÉ ou AU MILIEU. Dans tous les cas où le solide est encastré par Tune de ses extrémités et chargé à l'autre ou posé librement sur deux appuis et chargé en son milieu, on calculera l'angle i que son extrémité fait avec l'horizon par la formule. ”

“ Pour la trouver ou à peu près, M. de la Hire mène par le point où est l’observateur, une ligne droite, qui fait en-dessous avec la ligne horizontale, ou avec la tangente de la courbe à son extrémité, un angle de 32’qui est l’angle de la réfraction. ”

“ Elever une perpendiculaire à l'extrémité d'une ligne qu'on ne peut prolonger.
— D'un point pris hors d'un cercle, lui mener une tangente. — Angle intérieur. — Angle extérieur. — Remarque. — Résumé.
Définition. — Nous savons qu'on mesure un angle au moyen de l'arc compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre. On peut cependant, dans certains cas, connaître la valeur d'un angle sans recourir à cet arc. Ainsi un angle peut avoir son sommet sur la circonférence, ou au dedans ou au dehors. Les côtés peuvent être des cordes, des sécantes ou des tangentes. ”

“ Quand la surface réfléchissante n'est pas parfaitement polie, le point d'incidence émet dans tous les sens de la lumière irrégulièrement réfléchie , laquelle est d'autant plus apparente que le poli de la surface est moins parfait.
112. PROPRIÉTÉ DE LA DOUBLE RÉFLEXION. — Lorsqu'un rayon de lumière est réfléchi successivement par deux surfaces planes, dans un plan perpendiculaire à l'intersection de ces surfaces prolongées au besoin, l'angle formé par la direction finale du rayon avec sa direction primitive d'incidence est double de l'angle des deux surfaces. ”

“ II. Quel est le lieu du sommet d’un angle mobile, de grandeur constante, perpétuellement circonscrit à une même section conique ? Quelle est la courbe qu’enveloppe dans son mouvement la corde de contact, de grandeur variable, de cet angle mobile ? ”

“ Au lieu de demander que les angles coniques au sommet soient équivalens à un angle polyèdre donné ; on pourrait demander que l’angle plan formé par le développement de chaque surface conique, fût égal à un angle plan donné ? ”

“ Les angles exterieurs sont ceux qui sont au-dehors d’une figure rectiligne quelconque, & qui sont formés par le prolongement des côtés de cette figure.
Tous les angles exterieurs d’une figure quelconque, pris ensemble, sont égaux à quatre angles droits, & l’angle exterieur d’un triangle est égal aux deux intérieurs opposés, ainsi qu’il est démontré par Euclide, Liv. I. prop. 32.
Les angles intérieurs sont les angles formés par les côtés d’une figure rectiligne quelconque. ”

“ Lorsque deux angles droits à son pied l'on repaire:
Et si par elle était un nouveau plan conduit,
Droit serait l'angle plan que l'on aurait produit.
Par-là nous découvrons les moyens nécessaires
Pour faire que les plans soient perpendiculaires.
Quant aux angles divers, par leur concours formés,
C'est sur la section qu'ils seront estimés.
Lorsqu'un tiers plan survient sur deux plans parallèles,
Il fait deux sections parallèles entre elles;
Et l'on retrouve ici les angles différens
Que l'on démontre égaux par les correspondans. SOLIDES.
Les plans incessamment sont liés aux solides. ”

“ PROGRAMME. — Ligne droite et plan. — Ligne brisée. — Ligne courbe.
Lorsque deux droites partent d'un même point suivant des directions différentes, elles forment une figure qu'on appelle angle. -Génération des angles par la rotation d'une droite autour d'un de ses points.
Angles droit, aigu, obtus.—Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite.
DÉFINITIONS.
1. On appelle corps une portion limitée de l'étendue.
Tout corps a trois dimensions : la longueur, la largeur et la profondeur ou la hauteur. ”

“ DÉFINITION DE LA GÉOMÉTRIE , DU CERCLE, DES PERPENDICULAIRES , DES PARALLÈLES ET DES ANGLES.
NOl. On entend par géométrie, la connaissance des propriétés et la mesure de l'étendue.
L'étendue a trois dimensions : longueur AB, largeur AD , et hauteur BC, qu'on nomme aussi épaisseur ou profondeur. Avec deux de ces dimensions on forme les surfaces, et avec les trois dimensions on forme les cubes et les parallélipipèdes n° 2. Chaque ligne n'a d'autre dimension que la longueur. Tout corps qui réunit les trois dimensions est un solide. ”

“ DES ANGLES ET DE LA PERPENDICULAIRE.
Lorsque deux droites, AC et BD (fig, 3) , tracées dans un même plan , se rencontrent en un point 0 et qu'elles sont. ainsi que ce plan, prolongées à l'infini, elles le divisent en quatre portions infinies AOB, BOC, COD et DOA : chacune de ces parties s'appelle un angle. D'où résulte la définition suivante : 22. ANGLE. — SOMMET. — COTÉS. — Un angle est une portion d'un plan comprise entre deux lignes droites qui se coupent et prolongées à l'infini à partir de leur point de rencontre ou d'intersection. — Ce point est ce qu'on appelle le sommet de i'angte. ”

“ Quand on n'a pas le temps de laver, on met, surtout dans les épures de machines, des traits plus gros que les autres, dits traits de force, sur les projections des arêtes qui séparent les faces vues éclairées de celles dans l'ombre. Dans ce cas on suppose : pour la projection verticale de l'objet, que le rayon lumineux est parallèle au plan vertical, et fait un angle de 45° avec le plan horizontal; — pour la projection
horizontale, qu'il est parallèle au plan horizontal, et fait un angle de 45° avec le plan vertical. ”

“ Les angles semblables sont des angles égaux. Dans les angles solides, lorsque les plans sous lesquels ils sont contenus sont égaux en nombre & en grandeur, & sont arrangés dans le même ordre, les angles solides sont semblables & par conséquent égaux. Voyez Angle.
Les rectangles semblables sont ceux dont les côtés, qui forment des angles égaux, sont proportionnels. Voyez Rectangle. ”

“ On divise la circonférence en 360 parties égales nommées degrés, chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes.
LES ANGLES ET LEUR MESURE.
SOMMAIRE. —Angle, sommet, côtés. — Angles adjacents. — Perpendiculaire; angle droit, angle aigu, angle obtus. — Angles opposés par le sommet. —
Conséquences. — Exemples. — Mesure des angles. — Remarque. — Faire un angle égal à un angle donné. — Valeur de quelques angles. — Rapporteur. — Résumé.
Angle sommet, côtés. — Quand une rue change brusquement de direction, on dit qu'elle fait un coude, ou, plus exactement, un angle. ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ Du point P pris comme centre, avec une ouverture de compas quelconque, décrivez un arc de cercle qui vienne couper la ligne donnée AB en deux points C, D; de ces deux points, pris comme centres, décrivez au-dessus et au-dessous de la ligne donnée quatre arcs de cercle qui se coupent en o et of, joignez ces deux points par une ligne o o' ; cette ligne sera la perpendiculaire demandée.
MESURE DES ANGLES. — GRADUATION DE LA CIRCONFÉRENCE.
Mesurer un angle, c'est comparer sa grandeur à celle d'un angle pris comme unité ; l'unité de mesure d'angle est l'angle droit. ”

“ On ne peut tirer une ligne droite d'un point à un autre sur une surface courbe.
Tout solide a trois mesures d'étendue, longueur, largeur, hauteur ou épaisseur. Les solides ou corps sont terminés par des surfaces, des plans ou faces planes.
Pour faire un corps, il faut quatre surfaces au moins. Une, deux, trois surfaces ou plans ne peuvent pas faire un corps ou solide.
La surface d'un corps est celle au moyen de laquelle il est ou se trouve formé ou enveloppé.
Le cube d'un corps ou solide est l'espace qu'il renferme selon sa longueur, sa largeur, sa hauteur ou épaisseur. ”

“ Ajoutons à cela que chaque nouvel angle BAC qu'on prend de cette façon demande qu'on transporte de nouveau l'instrument sur le papier, et que la seule ressource qu'on ait pour comparer deux angles est de les poser
l'un sur l'autre, sans que, par ce moyen, on puisse avoir au juste ni leur rapport ni leur grandeur absolue.
52.
Un angle a pour mesure l'arc de cercle que ses côtés interceptent. ”

“ Dans toutes les courbes qui ont une courbure finie au point de contact, la soustendante évanouissante d’un angle de contact est à la fin en raison doublée de la soustendante de l’arc qu’elle termine. Cas I. Soient AbB cet arc, AD sa tangente, BD la soustendante de l’angle de contact, laquelle est perpendiculaire à la tangente, & AB la soustendante de l’arc. ”

“ La troisième section traite des réfractions produites par les surfaces planes ; il montre que si un rayon traverse un prisme avec le minimum de déviation, l'angle d'incidence est égal à l'angle de sortie ; presque toute cette partie est consacrée à des solutions géométriques de différents problèmes. La quatrième section contient la discussion de la réfraction sur les surfaces courbes.
Le second livre expose sa théorie des couleurs et de l'arc-enciel. ”

“ Pour pouvoir évaluer les angles en nombres, on prend de même un certain angle pour unité. Cette unité est ordinairement l'angle qu'on appelle le degré, et qui est tel qu'il faut 360 degrés placés consécutivement autour d'un même point ou sommet commun pour faire quatre angles droits, et conséquemment 90 degrés pour faire un angle droit. Le degré se subdivise en 60 parties appelées minutes, la minute en 60 parties appelées secondes. Les fractions de seconde s'évaluent en parties décimales de la seconde. ”

“ Un angle est rectiligne, quand il est formé par des droites; mixtiligne, quand il est compris entre une droite et une courbe, et curviligne, lorsqu'il résulte de la rencontre de deux arcs ou de deux courbes. ”

“ III. Si, sur le plan d’un angle fixe donné, on fait tourner autour d’un point arbitraire et fixe, pris pour sommet, un angle quelconque, invariable de grandeur ; et qu’on trace ensuite, pour chacune de ses positions, les deux droites qui soutendent à la fois l’angle fixe et l’angle mobile ; chacune des deux séries formées par ces droites, enveloppera, en particulier, une seule et même section conique, ayant précisément pour foyer le sommet fixe de l’angle mobile ; et les deux côtés de l’angle fixe pour tangentes. ”

“ Pour chaque point M on regardera le radical contenu dans le second membre de l'une ou l'autre équation, comme une quantité positive ou négative, selon que la normale en ce point fera un angle aigu ou obtus, avec la verticale tirée par le même point en sens contraire de la pesanteur.
Soit en outre F = bH. Appelons x la distance à l'axe du tube d'un point quelconque 0 appartenant au contour de la surface inférieure, i l'angle qui a été défini dans le n° 58, et t la même
quantité que dans ce numéro. ”

“ Les angles sont donc différens les uns des autres, suivant les rapports que les arcs décrits de leurs sommets, & compris entre leurs côtes, ont aux circonférences, dont ces arcs font respectivement partie ; & par conséquent ce sont ces arcs qui distinguent les angles, & les rapports des arcs à leur circonférence distinguent les arcs : ainsi l’angle lac est dit du même nombre de degrés que l’arc fd. Voyez au mot Degré la raison pourquoi ces arcs sont la mesure des angles. Voyez aussi Angle. ”

“ Proposition inaccessible pour mesurer la superficie plane, d'un triangle scalene ou oxigone, figure 8, ne connoissant que la longueur de la base supposée de quatre vingt pieds de long A B, & les degrés des deux angles de la base ; conséquemment il est connu comme. les degrés de l'autre angle inaccessible ; ayant additionné les deux angles connus de la base B, soixante-quatorze degrés, A soixante-dix degrés de cent quatre-vingt, reste pour le troisieme angle trente-six. D'après cette opération il faut connoître la table des sinus pour fixer la distance A D D B, où tombe la perpendiculaire. ”