Polyèdre

“ Un polyèdre est régulier, quand toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux et qu'en même temps tous ses angles solides sont composés d'un même nombre d'angles plans : il y a aussi égalité entre ces angles solides, puisqu'ils sont formés d'un même nombre d'angles plans égaux.
Les polyèdres réguliers appartiennent soit à la classe des prismes, soit à celle des pyramides, soit à celle des corps à faces planes, dans lesquels les arêtes qui partent d'une face, ne sont ni parallèles, ni concourantes en un seul sommet. ”

“ Nous savons qu'un polygone, malgré la multiplication indéfinie du nombre de ses côtés, n'arrivera jamais à être un cercle ; nous savons qu'un polyèdre ne se confondra jamais avec une sphère, donc nous allons raisonner sur le cercle comme si c'était un polygone et sur la sphère comme si c'était un polyèdre. ”

“ Tout polyèdre régulier peut être inscrit dans une sphère ou circonscrit à une sphère.
Le rayon de la sphère inscrite est l'apothème du polyèdre.
Il n'y a que cinq polyèdres réguliers dont trois ont pour faces aes triangles équilatéraux. Ce sont : le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre ; un a pour faces des carrés, c'est l'hexaèdre ou cube ; enfin le dernier-a pour faces des pentagones, c'est le dodécaèdre.
La sphère est un volume renfermé dans une surface dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur nommé centre. ”

“ Cela posé, soit un polyèdre dont une face soit transparente ; et concevons que l’œil s’approche assez de cette face, extérieurement, pour qu’il puisse apercevoir l’intérieur de toutes les autres faces ; ce qui sera toujours possible, lorsque le polyèdre sera convexe. Les choses étant ainsi disposées, concevons qu’il soit fait, sur le plan de la face transparente, une perspective de l’ensemble de toutes les autres. En conservant les mêmes notations que ci-dessus, cette perspective sera un polygone divisé en compartimens polygonaux, terminés par droites concourant en points. ”

“ Couper un angle polyèdre à quatre faces par un plan tel que la section soit un parallélogramme.
HUITIÈME ET NEUVIÈME LEÇONS.
PROGRAMME : Des polyèdres. — Parallélipipède. — Mesure du volume du parallélipipède rectangle, du parallélipipède quelconque , du prisme triangulaire, du prisme quelconque.
DÉFINITIONS.
1. Un polyèdre est un corps terminé en tous sens par des plans. Les polygones, formés par les intersections de ces plans, sont les faces du polyèdre et leur ensemble constitue sa surface. ”

“ On donne le nom d’angle polyèdre régulier tout angle polyèdre dans lequel les angles plans et les angles dièdres sont égaux entre eux ; et il suit clairement de cette définition que, même en faisant abstraction des angles polyèdres étoilés que l’on pourrait former, à l’imitation des polygones étoilés de M. Poinsot, les angles polyèdres réguliers sont en nombre infini, et que le nombre de leurs faces peut être, quelconque [1] . ”

“ On appelle angle solide polyèdr l' espace renfermé entre un nombre quelconque de plans, qui passent par un même point A (fig. 71) . Si on mène un plan qui coupe aux points B, C, D, E, F, les arêtes AP, AQ, AR, etc.,
de l'angle solide polyèdre dont le sommet est au point A, on aura une pyramide à base polygonale.
Généralement on nomme polyèdre un corps solide, terminé par des faces planes en nombre quelconque. Les points A, B, C, D, etc. (fig. 72) , où viennent concourir plusieurs plans, sont les sommets du polyèdre.
PARALLELIPIPÈDE RECTANGLE.
91. ”

“ Étant donné un point à l'intérieur d'un polyèdre régulier, la somme des perpendiculaires abaissées de ce point sur les faces du polyèdre est une quantité constante.
On prend Chaque face pour base, d'une pyramide ayant en premier lieu le point donné pour sommet, puis on considère un autre groupe de pyramides ayant pour sommet le centre du polyèdre. ”

“ Fig. 110.
un polyèdre régulier avec un polygone régulier quelconque : ainsi considérons un hexagone régulier; chacun de ses angles est égal à î d'angle droit, trois de ces angles formeraient donc quatre angles droits; nous ne pouvons donc réunir trois angles d'un hexagone, et à plus forte raison d'un polygone d'un plus grand nombre de côtés; comme on ne peut pas, d'ailleurs, former un angle polyèdre avec moins de trois angles plans, il en résulte que l'on ne peut faire de polyèdres réguliers avec l'hexagone ni avec les polygones supérieurs. ”

“ Les formes naturelles, comme les squelettes de radiolaires, reproduisent, comme l'a montré Haeckel, des polyèdres réguliers. On en a représenté ci-contre quelques exemples : octaèdre régulier, icosaèdre régulier et, au-dessous, à gauche, dodécaèdre régulier. Le dernier squelette représenté à droite comporte une certaine symétrie dans la
disposition des spicules, sans qu'on puisse, à proprement parler, dire qu'on ait un polyèdre régulier. ”

“ Ces droites seront les arêtes consécutives d’une certaine surface polyèdre ; et leurs points d’intersection seront les sommets consécutifs d’un polygone ouvert, gauche et rectiligne, dont les côtés se prolongeront suivant les arêtes de la surface polyèdre, laquelle coupera la base (S) du faisceau suivant un autre polygone gauche ouvert, mais curviligne. ”

“ Démonstrations de ces deux théorèmes : 1.o la somme des supplémens à une demi-sphère des angles solides d’un polyèdre est égale à la somme des supplémens à une demi-sphère de ses angles dièdres ; 2.o l’excès de la somme des angles dièdres d’un polyèdre sur la somme de ses angles solides, vaut autant de fois une demi-sphère que le polyèdre a de faces moins deux ; par M. J. F. Français.
Recherche des centres des moyennes distances du quadrilatère et de la pyramide quadrangulaire, par MM. Bérard, G. Fornier, Labrousse, Lambert, Lhuilier, Rochat, le Grand, Penjon et Ferriot. ”

“ Si nulle cause perturbatrice ne les détourne de leur tendance, elles se disposent de manière, non seulement à dessiner une trame uniforme et régulière, mais aussi à déterminer la création d'un corps cristallisé ou cristal, c'est-à-dire d'un polyèdre dont les faces peuvent être représentées par des figures géométriques et sont placées dans un ordre déterminé et symétrique par rapport à des axes intérieurs. ”

“ Ce que nous venons de dire du parallélipipède, fig. 8, est applicable sans réserve à tous les autres polyèdres réguliers de la géométrie, jusques et y compris la sphère, qui peut n'être considérée que comme un polyèdre d'un nombre infini de côtés, arêtes et angles. ”

“ Il est aisé de conclure de ceci que tout polyèdre est décomposable en douze fois autant de parties symétriques à elles-mêmes qu’il peut fournir de tétraèdres par sa décomposition.
Remarque I. Au moyen de la théorie qui précède, on pourrait, en géométrie, démontrer l’égalité des triangles sphériques, angles trièdres et tétraèdres par la superposition ; sauf ensuite à prouver, comme ci-dessus, que, lorsque cette superposition ne peut avoir lieu, en masse, on peut du moins l’effectuer par parties. ”

“ On a fait des sections dans un polyèdre régulier, par des plans indéfinis perpendiculaires sur les milieux de chacune de ses arêtes ; on a opéré de la même manière sur chacun des corps résultant de cette division, et ainsi de suite indéfiniment ”

“ Si l’on voulait assujettir les plans coupans à être parallèles aux faces opposées et à passer en outre par le centre du polyèdre, ce qui rentrerait pour le cube dans le cas proposé ; on exclurait d’abord le tétraèdre, où il n’y a point de faces opposées. Or, en opérant sur l’octaèdre, une première opération donnerait six octaèdres et huit tétraèdres, tous réguliers ; et, à raison de ces tétraèdres, l’opération ne pourrait plus se poursuivre. ”

“ Il est facile de se convaincre qu’en menant convenablement, dans cette face, diagonales, elles la diviseront en deux polygones qui ne se trouveront plus dans le cas d’exception ; de manière qu’il sera permis de considérer alors ces deux polygones comme deux faces du polyèdre, pourvu que l’on considère les diagonales qu’on aura menées comme autant de nouvelles arêtes. Le polyèdre se trouvant ainsi hors du cas d’exception ; si l’on désigne par le nombre total de ses faces, la face dont il s’agit étant comptée comme double ; par le nombre de ses sommets ”

“ Si nous supposons nos formules deviendront
valeurs qui seront toujours entières et positives, quelque valeur entière et positive qu’on prenne pour Cest qu’en effet tout prisme indéfini peut être comme un polyèdre à deux sommets, dans lequel les sommets ont le même nombre de faces, et où les faces ont le même nombre de sommets qui est ici deux mais c’est un polyèdre qui renferme un espace infini. ”

“ II. Deux polyèdres étant symétriques l’un à l’autre, c’est-à-dire, égaux mais non superposables ; décomposer l’un d’eux en parties qui, assemblées d’une autre manière, forment, par leur réunion, un polyèdre identique avec l’autre ? [1]
↑ M. Legendre a démontré, dans ses Élémens de géométrie, que deux polyèdres symétriques sont des sommes de parties superposables, moins d’autres sommes de parties superposables. Cela suffit bien pour constater l’équivalence des volumes, mais non pour exécuter la superposition effective. ”

“ Si on prolonge les arêtes de l'angle polyèdre OABCD audelà du sommet 0, l'angle polyèdre symétrique OA'B/C'D' intercepte sur la surface de la sphère un polygone A'B'C'D' dont les angles et les côtés sont égaux à ceux du polygone ABCD ”

“ Mais le trièdre A' est égal au trièdre opposé à A par le sommet.
4. Si l'on déplace le centre de symétrie 0, le pQlyèdre symétrique change de position dans l'espace, mais en restant toujours le même; il se transporte parallèlement à lui-même.
5. Il est clair que deux polyèdres symétriques d'un même polyèdre, l'un par rapport à un plan, l'autre par rapport à un point, sont égaux entre eux. Ainsi, d'une manière ou de l'autre, un polyèdre donné n'admet qu'un symétrique. ”

“ Un hexaèdre (fig. 292) a six faces. —Le cube est un hexaèdre.
Un octaèdre (fig. 293) a huit faces.
Un dodécaèdre (fig. 294) a douze faces.
Un icosaèdre (fig. 295) a vingt faces.
Remarque. — On remarquera l'analogie qui existe entre un hexagone, ligure à six côtés, et un hexaèdre, solide à six faces, — entre un octogone, figuré à huit côtés, et un octaèdre, solide à huit faces, etc., — enfin entre un polygone, figure à plusieurs côtés, et un polyèdre, solide à plusieurs faces. ”

“ Si ces polyèdres ont lieu, ils peuvent être décomposés en pyramides régulières qui peuvent convenir, qui ont leurs faces pour bases, et dont le sommet commun est au centre de la sphère qui leur est inscrite ou circonscrite. Dans ces pyramides, l’inclinaison de deux faces latérales est connue, savoir ; cette inclinaison est le tiers, le quart ou la cinquième partie de quatre angles droits, suivant que chaque angle solide du polyèdre est formé par trois, par quatre ou par cinq angles plans. ”

“ On appelle angles d'un polyèdre les angles polyèdres que ses faces font entre elles; - sommets, les sommets de ses angles; — arêtes, les côtés de ses faces; — diagonale, toute droite qui joint deux de ses sommets non situés dans la même face.
On désigne sous les nomsparticuliersde tétraèdre, d'hexaèdre, d'octaèdre, de dodécaèdre et d'isocaèdre les polyèdres qui ont quatre, six, huit, douze et vingt faces.
2. Un polyèdre est régulier, lorsque ses angles sont égaux et que ses faces sont des polygones réguliers égaux. ”

“ On distingue parmi les polyèdres le prisme et la pyramide. Occupons-nous d'abord du prisme.
Un prisme est un polyèdre qui a deux faces égales et parallèles, unies par des parallélogrammes.
On donne le nom de bases aux deux faces égales et parallèles du prisme, et celui de faces latérales aux divers parallélogrammes qui composent le reste de sa surface.
La hauteur d'un prisme est la distance des plans de ses bases. On sait que cette distance a pour mesure la perpendiculaire menée d'un point quelconque de l'une des bases sur l'autre (3, IX) . ”

“ Soit une zone de 3 mètres de hauteur dans une sphère dont le rayon est de 4 mètres.
La circonférence d'un grand cercle de la sphère sera égale à 2 X 3,1416 X 4 ; donc la surface de la zone sera égale à 2 x 3,1416 x 4 x 3 = 3,1416 x 24 = 75m9,40.
Polyèdres.
835. — On appelle polyèdre un solide terminé par des laces planes.
836. — Les polyèdres prennent des noms différents suivant le nombre de leurs faces.
Un tétraèdre (fig. 291) est un solide qui a quatre faces. — La pyramide triangulaire est un tétraèdre. ”

“ Les affinités chimiques ont des analogies géométriques dans les différents polyèdres, et la décomposition et la composition chimiques sont des transformations de certains polyèdres en autres polyèdres. ”

“ Et de ses lèvres carminées tombent ces mots, exorde de la sanglante tragédie de l’Autoclète :
Achras. — Ô mais c’est qué, voyez-vous bien, je n’ai point sujet d’être mécontent de mes polyèdres : ils font des petits toutes les six semaines, c’est pire que des lapins. Et il est bien vrai de dire que les polyèdres réguliers sont les plus fidèles et les plus attachés à leur maître ”

“ La matière pondérable n'étant pas continue, si l'on découpe l'espace qu'occupe le corps biréfringent en polyèdres égaux, qui comprennent chacun une seule molécule intégrante, chaque polyèdre élémentaire constituera ce que l'on peut,appeler le système d'une molécule. Cela posé, l'origine O est occupée par une molécule pondérable, et il faut chercher, quel genre d'agitation .peut s'établir dans son système, pour qu'il en résulte, au delà, les ondes progressives dont l'expérience constate les effets. ”

“ Etant donnés un certain nombre d'échantillons d'une espèce cristallisée, ils peuvent être limités par des polyèdres différents.
Mais ces polyèdres appartiennent à un petit nombre de types, qui peuvent d'ailleurs s'associer sur le même cristal. On constate alors que les angles dièdres que font entre elles les faces correspondantes d'un même type, ou ceux que fait l'une d'elles avec les faces d'un autre type sont constants pour une même
espèce. ”