Charles Briot

“ Car, lorsque ces deux angles dièdres diffèrent, les deux faces diffèrent aussi; pour que les deux faces soient égales, il faut nécessairement que les deux angles dièdres soient égaux.
2° Lorsque dans un trièdre une face est plus grande qu'une autre, l'angle dièdre opposé à la première face est plus grand que l'angle dièdre opposé à la seconde; car c'est dans ce cas seulement que la première face est plus grande que la seconde. ”

“ Dans un petit cercle tracé sur la surface de la sphère, on inscrit des triangles sphériques ayant un côté commun, la différence entre la somme des angles à la base et l'angle au sommet reste constante. (Ce théorème est l'analogue du segment capable d'un angle donné en géométrie plane.) 8. Quand le côté commun passe par le pôle du petit cercle, la somme des angles à la base est égale à l'angle au sommet. ”

“ On en conclut que le rapport des hauteurs AD et A'D' est le même que le rapport des côtés homologues AB et A'B', ou BC et B'C'.
Pour simplifier le raisonnement, supposons que les côtés du premier triangle soient deux fois plus grands que ceux du second. Si l'on rend la base d'un triangle deux fois plus grande, la hauteur restant la même, il est clair que la surface devient deux fois plus grande ; si l'on rend ensuite la hauteur deux fois plus grande, la surface devient encore deux fois plus grande; la surface devient donc deux fois deux fois, ou quatre fois plus grande. ”

“ REMARQUE. Cette transformation de l'ellipse en parabole a une grande importance. Elle permet de déduire des propriétés de l'ellipse celles de la parabole comme cas particuliers. Ainsi
nous avons vu, dans le Cours de Géométrie descriptive, que dans l'ellipse le diamètre, ou le lieu du milieu d'une série de cordes parallèles, est une droite passant par le centre; si l'on suppose que le centre s'éloigne à l'infini, l'ellipse se change en parabole, et les diamètres deviennent parallèles à l'axe. ”

“ Réciproquement, ce secteur peut être enroulé sur le cône.
Imaginons que le cône repose sur un plan par une de ses arêtes, puis roule sur ce plan sans glisser, de manière que chacune de ses arêtes vienne successivement se mettre en contact avec le plan ; quand le cône aura fait un tour entier, c'est-àdire quand la même arête reviendra en contact, le cône aura parcouru sur le plan une aire égale au développement de sa surface latérale. ”

“ REMARQUE. L'arc de grand cercle joue le même rôle sur la surface de la sphère que la ligne droite sur le plan.
Lorsque les deux points A et B sont placés aux extrémités d'un même diamètre, il y a indétermination ; tous les plans menés par ce diamètre coupent la sphère suivant des grands cercles qui passent par ces deux points; chacun de ces chemins est égal à une demi-circonférence. ”

“ L'angle trièdre A' ne peut donc être superposé sur le trièdre A. Nous avons vu que, si l'on prolonge de l'autre côté du sommet les arêtes du trièdre A, on obtient un nouveau trièdre qui a ses faces égales à celles du trièdre A, mais disposées en ordre inverse. Le trièdre A' et le trièdre opposé à A ont donc leurs faces égales et disposées de la même manière; ils sont égaux et peuvent être superposés. ”

“ Lorsque la directrice est le contour d'une aire plane, et que la droite mobile ou génératrice a une longueur déterminée dont l'une des extrémités parcourt la directrice, l'autre extrémité décrit une courbe plane égale et parallèle à la première, et ces deux aires planes avec la surface cylindrique déterminent un solide auquel on donne le nom de cylindre. ”

“ DEUXIÈME MÉTHODE. Lorsqu'on n'a à sa disposition qu'une petite portion de la surface de la sphère, la méthode précédente n'aurait pas une précision suffisante; il est préférable d'opérer de la manière suivante : D'un point P, situé à peu près au milieu de la portion de surface donnée, comme pôle, avec une ouverture de compas aussi grande que possible, décrivez sur cette portion de surface un cercle, et marquez sur ce cercle trois points A, B, D, à volonté (fig. 276) ”

“ Dans tout triangle, le carré construit sur le côté opposé à un angle aigu est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés, moins deux fois le rectangle ayant pour base l'un de ces côtés, et pour hauteur la projection du second sur le premier. ”

“ On peut dire encore que le plan est une surface telle que, si l'on prend deux points quelconques sur cette surface et si on les joint par une ligne droite, cette droite est tout entière située dans le plan.
2° On dit que deux plans sont parallèles, lorsque ces deux plans ne se rencontrent pas, si loin qu'on les prolonge.
3° On dit qu'une droite est parallèle à un plan, lorsqu'elle ne rencontre pas le plan, si loin qu'on la prolonge dans un sens ou dans l'autre. ”

“ Dans le triangle rectangle OCA, le côté CA est plus petit que l'hypoténuse OA; ainsi le rayon CA du cercle déterminé par un. plan quelconque est plus petit que le rayon OA de la sphère. Il résulte de là que le cercle est le plus grand possible quand le plan sécant passe par le centre de la sphère; c'est pourquoi on appelle grands cercles de la sphère les cercles déterminés par des plans passant par le centre. Tous les grands cercles, ayant même rayon que la sphère, sont égaux entre eux. ”

“ THÉORÈME V.
Tout point intérieur à la parabole est plus rapproché du foyer que de la directrice ; tout point extérieur est, au contraire, plus rapproché de la directrice que du foyer.
Considérons d'abord un point N (fig. 313) situé à l'intérieur, c'est-à-dire entre les deux branches de la parabole; joignons-le
Fig. 313.
au foyer et abaissons de ce point une perpendiculaire NE sur la directrice. Cette perpendiculaire rencontre la courbe en un point M que nous joignons au foyer. Le point M appartenant à la parabole, les distances MF et ME sont égales. ”

“ La surface latérale d'un prisme droit se développant suivant un rectangle , celle du cylindre droit se développera aussi suivant un rectangle, ayant pour base le périmètre de la base du cylindre, et pour hauteur celle du cylindre.
La surface latérale d'un cylindre oblique peut aussi être développée sur un plan. Mais le développement n'a plus la forme d'un rectangle. ”

“ Dans le mouvement de rotation, la droite PM restant perpendiculaire à SO, décrit, dans un plan perpendiculaire à l'axe, un cercle MN qui a son centre en P et PM pour rayon.
Le plan de ce cercle est parallèle au plan de la base. On en conclut que les sections du cône par des plans parallèles à la base sont des cercles ayant leurs centres sur l'axe.
Le cercle diminue à mesure que le plan sécant se rapproche du sommet; quand le plan arrive au sommet, le cercle se réduit à un point. ”

“ REMARQUE. L'arc AMB est, dans la partie du plan située audessus de AB, le lieu des points d'où l'on voit la droite AB sous l'angle donné. Car, lorsque son sommet est situé à l'intérieur
du segment, l'angle, ayant, pour mesure la moitié de l'arc ANB, plus la moitié de l'arc intercepté par le prolongement de ses côtés (21) , est plus grand que l'angle donné. D'autre part, lorsque le sommet est hors du cercle, l'angle, ayant alors pour mesure la moitié de l'arc ANB, moins la moitié du second arc intercepté par ses côtés (22) , est plus petit que l'angle donné. ”

“ Le produit des distances des deux foyers de l'ellipse à chaque tangente est constant.
5. Construire une ellipse connaissant : 1° un foyer et trois tangentes; 2° un foyer, deux tangentes et un point; 3° un foyer, deux tangentes et le point de contact de l'une d'elles ; 4° un foyer, une tangente et son point de contact, et un point de la courbe; 5° un foyer et trois points; 6° un sommet, un foyer et un point.
4. Trouver - avec la règle et le compas les points d'intersection d'une droite donnée et d'une ellipse dont on connaît les foyers et le grand axe. ”

“ Si donc du point 0 comme centre, avec un rayon égal à OD, on décrit une circonférence, elle passera par les trois points D, E, F, et, comme les côtés du triangle sont perpendiculaires à l'extrémité des rayons , ils seront tangents au cercle. Le cercle 0 est le cercle inscrit dans le triangle. On remarque que la bissectrice du troisième angle A passe aussi par le centre du cercle inscrit.
7° Mais il n'en est pas de même des polygones quelconques.
Il n'est pas possible en général d'inscrire un polygone quelconque dans un cercle, ou de le circonscrire à un cercle. ”

“ Lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux droites qui passent par son pied dans le plan, elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan, et par conséquent elle est perpendiculaire au plan. ”

“ L'angle dièdre, formé par les deux plans PAP' , PBP', est l'angle du fuseau.
Il est clair que deux fuseaux qui ont même angle, sont égaux entre eux. On peut d'abord amener l'un sur l'autre les deux diamètres qui joignent les extrémités des deux fuseaux ; puis faire tourner la sphère autour de ce diamètre
commun jusqu'à ce que deux faces on deux côtés coïncident; les angles dièdres étant égaux entre eux, les deux autres faces concideront.
Considérons maintenant deux fuseaux quelconques PAP'B, PBP'C. Par le centre 0 menons un plan perpendiculaire au diamètre PP' qui joint leurs extrémités. ”

“ On dit qu'un polygone plan est convexe, lorsqu'il est situé tout entier d'un même côté, par rapport à chacun de ses côtés indéfiniment prolongé. De même un angle polyèdre est convexe lorsqu'il est situé tout entier d'un même côté par rapport au ■ plan de chacune des faces indéfiniment prolongé. Il est clair que tout angle trièdre est convexe. ”

“ Je dis maintenant que tout point P situé en dehors de la bissectrice est inégalement distant des deux côtés de l'angle. Du point P j'abaisse les deux perpendiculaires PH, PF, sur les côtés de l'angle ; la perpendiculaire PF rencontrera la bissectrice en un certain point M ; j'abaisse du point M la perpendiculaire ME, et je joins PE. Ld point M étant sur la bissectrice, les deux perpendiculaires ME , MF, sont égales. La perpendiculaire PH est plus courte que l'oblique PE ; mais cette ligne droite PE est plus courte que la ligne brisée PM + ME ”

“ Le prisme est dit triangulaire, quadrangulaire, pentagonal, .,
suivant qu'il a pour base un triangle, un quadrilatère, un pentagone, etc.
6° Quand les arêtes latérales AA', BB',., sont perpendiculaires aux plans des bases, on dit que le prisme est droit; autrement, le prisme est oblique.
7° La hauteur d'un prisme est la distance des deux bases parallèles, ou la perpendiculaire abaissée d'un point de la base supérieure sur la base inférieure. Quand le prisme est droit, la hauteur est égale à la longueur des arêtes latérales. ”

“ On tracera sur la sphère deux grands cercles faisant entre eux l'angle donné, et, à partir du sommet, on portera les côtés donnés, puis on joindra les extrémités par un arc de grand cercle.
Le triangle est toujours possible. Et, comme on peut porter de deux manières les arcs donnés sur les côtés de l'angle, on obtient deux triangles symétriques l'un de l'autre. ”