Polygone

“ Nous savons qu'un polygone, malgré la multiplication indéfinie du nombre de ses côtés, n'arrivera jamais à être un cercle ; nous savons qu'un polyèdre ne se confondra jamais avec une sphère, donc nous allons raisonner sur le cercle comme si c'était un polygone et sur la sphère comme si c'était un polyèdre. ”

“ Dans un polygone fermé où l'on retombe sur le point de départ, la somme des différences positives doit donc être égale à la somme des différences négatives ; et dans une traverse, la différence de ces deux sommes doit être égale à la différence entre les cotes du point de départ et du point d'arrivée, si elles sont connues par le polygone, ou, ce qui est la même chose, à la différence de niveau résultant de la somme algébrique des différences de niveau successives entre ces deux points, obtenues dans le polygone. ”

“ Plus généralement, dans un polygone quelconque de côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance, l’excès de la somme des angles sur droits, ou la différence à droits (suivant la nature de la surface courbe) , est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone en triangles. ”

“ THÉORÈME II. Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de côtés, et un point également quelconque. Soient menés, par ce point et par les côtés du polygone un pareil nombre de plans. Chacun de ces plans, par ces intersections avec les côtés du polygone autres que celui qui s’y trouve contenu et les deux entre lesquels il se trouve situé, déterminera, sur chacun de ces côtés deux segmens, comptés de cette intersection aux deux extrémités de ce côté. ”

“ Le polygone est rectiligne, curviligne, mixtiligne, régulier ou irrégulier.
Il est rectiligne lorsqu'il n'est composé que de lignes droites.
Il est curviligne lorsqu'il n'est composé que de lignes courbes.
Il est mixtiligne lorsqu'il est composé de lignes droites et courbes.
Il est régulier lorsqu'il a ses côtés et ses angles égaux.
Il est irrégulier lorsqu'il a ses côtés et ses angles inégaux.
On nomme diagonale d'un polygone la ligne qui joint le sommet de deux angles opposés.
Les figures égales sont celles dont toutes les parties sont égales et dans le même ordre. ”

“ THÉORÈME. Le lieu géométrique des points du plan d’un polygone régulier, desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, la somme des puissances semblables d’un degré donné quelconque des longueurs de ces perpendiculaires est une grandeur constante donnée, est nécessairement une circonférence concentrique au polygone dont il s’agit ; toutes les fois du moins que l’exposant de la puissance est inférieur au nombre des côtés de ce polygone. ”

“ Dans le cercle toujours un tel polygone entre,
Soit l'angle intérieur, soit l'angle dit au centre
Est par ce que j'ai dit, aisément supputé,
Rayon dans l'exagone est égal au côté.
Veut-on un polygone à forme régulière,
Qui, répété, recouvre une surface entière? ”

“ On dit, en Géometrie, qu’un polygone est circonscrit à un cercle, quand tous les côtés du polygone sont des tangentes au cercle ; & qu’un cercle est circonscrit à un polygone, quand la circonférence du cercle passe par tous les sommets des angles du polygone. ”

“ Je mène d'abord les diagonales A D et A C pour diviser le polygone en triangles; il me suffit ensuite de faire une série de triangles consécutifs e d, a d c, a c b, respectivement égaux à ceux du polygone; je forme ainsi a b c d e = A B G D E, car les polygones étant composés des mêmes éléments triangulaires, sont superposables et par conséquent égaux.
Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle. On dit qu'un
polygone est inscrit dans un cercle, lorsque les sommets de ses angles étant sur la circonférence, tous ses côtés sont des cordes. ”

“ Monsieur le duc, je reçois votre lettre relative au polygone à établir dans la forêt de Saint-Germain. Rien ne peut faire plus de tort, tant au plaisir de l'Empereur qu'à la conservation de la forêt, que l'établissement d'un polygone dans son enceinte. ”

“ Manière de décrire un polygone régulier, pentagone, hexagone, etc.
On décrit une circonférence de cercle, on la partage en autant de parties égales qu'on veut donner de côtés nu polygone; ensuite on mène les lignes AB, BD, DE, etc., par les points A, B, D, E, etc. (fig. 20, 21, 22) , qui partagent la circonférence : on a le polygone cherché, qu'on nomme ou pentagone, ou hexagone, ou heptagone, ou octogone, ou ennéagone, ou décagone, etc., suivant qu'il a ou cinq, ou six, ou sept, ou huit, ou neuf, ou dix, etc., côtés. ”

“ Un polygone régulier quelconque s'évalue en multipliant la somme des longueurs des côtés, ou le périmètre par la moitié de l'apothème, ou ligne abaissée du centre du polygone inscrit, sur e milieu d'un quelconque de ses côtés. ”

“ Si le polygone est inscrit à la section conique, il est aisé de voir que le polygone lui serait circonscrit et la toucherait aux sommets du premier, et que, réciproquement, si le polygone est circonscrit à la section conique, le polygone lui sera inscrit et aura ses sommets aux points de contact des côtés du premier avec la courbe. ”

“ Cette proposition est que, dans tout polygone, plans et rectiligne, la somme des angles intérieurs vaut deux angles droits pris autant de fois moins deux que le polygone a de côtés. Les démonstrations qu’on en donne communément suppose que le polygone est convexe ou que du moins il existe quelque point, dans son intérieur, par lequel il est impossible de faire passer une droite qui rencontre son périmètre en plus de deux points. Voici comment on en peut obtenir une démonstration générale, et tout à fait indépendante de la nature du polygone. ”

“ Un polygone est une surface comprise entre plusieurs lignes qui forment entre elles des angles quelconques ; il est plan, lorsque les lignes sont situées sur une seule et même surface plane, son contour prend le nom de périmètre. Un polygone est triangulaire, quadrangulaire, pentagonal, hexagonal, heptagonal, octogonal, décagonal, etc., lorsqu'il est formé par trois, quatre, cinq, six, sept, huit ou dix côtés, etc.
Un carréest un quadrilatère dont les côtés AB, BC, CD et DA, sont égaux et perpendiculaires l'un à l'autre, et dont tous les angles sont droits. ”

“ Angle, en termes de Fortifications, se dit de celui que forment les diverses lignes qui servent à fortifier. L’angle du centre est formé dans le centre du polygone par deux demi diamètres, qui de-là vont aux deux extrémités les plus proches du polygone. Angulus centri polygoni. L’angle du polygone, est celui qui se fait à la pointe du bastion par la rencontre des deux bases, ou des deux côtés du polygone. Angulus polygonus. L’angle du flanc, ou de la courtine, est celui qui a pour ses côtés le flanc, & la courtine, sur laquelle il tombe à plomb ordinairement. ”

“ Construire un polygone égal à un autre au moyen de projections sur les côtés d'un triangle (fig. 184) , On choisit trois sommets A, B, C du polygone tels qu'en les joignant on obtienne un des triangles les plus grands et les moins irréguliers qu'on puisse former ”

“ Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle, divisez 360 par le nombre des côtés du polygone proposé, afin d’avoir la quantité de l’angle EFD, prenez cet angle EFD au centre, & portez-en la corde ED sur la circonférence autant de fois qu’elle pourra y aller ; de cette maniere on aura le polygone inscrit au cercle.
Quoique la résolution de ce problème soit méchanique, on ne doit pas la mépriser à cause qu’elle est aisée & générale. Euclide à la vérité nous donne la construction du pentagone, du décagone, & du pentadécagone ”

“ Démonstration. Toute figure plane étant polygone rectiligne ou limite de polygone rectiligne, la proposition sera vraie pour toute figure plane, si elle est vraie pour un polygone rectiligne quelconque. ”

“ Le plan comprend un polygone régulier ABCDEF semblable ou égal à celui de la base (P. IV, F. 55) ; le centre S de ce polygone représente le sommet de la pyramide, sur le plan horizontal, r. les rayons SA, SB, etc., y représentent les arêtes concourantes.
Pour faire l'élévation, abaissez de S et de tous les sommets A, B, C, etc., du polygone, des perpendiculaires sur la ligne de terre ; prenez S'S" égale à la hauteur ou à l'axe, et joignez le point S" aux points A', B', etc. Si le rayon AS est parallèle à YZ, la droite A'S" donnera la longueur de chaque arête. ”

“ Pour construire une tête bastionnée, on abaisse, du milieu de chaque côté du polygone, une perpendiculaire égale à un huitième, du côté du polygone, si c'est un carré, à un septième, si c'est une pentagone, à un sixième, si c'est un hexagone ou un polygone, d'un plus grand nombre de côtés ”

“ Problème. À une section conique donnée, et décrite sur un plan, inscrire un polygone de sommets, dont les côtés, prolongés s’il le faut, passent respectivement, et dans un ordre assigné, par autant de points situés arbitrairement sur le plan dont il s’agit ; en ne faisant usage que de la règle seulement ? ”

“ Polygone copodaire. On peut nommer polygone copodaire le polygone obtenu en joignant deux à deux les pieds des isoclines menées d'un point S, en donnant à l'expression polygone copodaire le sens de polygone analogue et corrélatif du polygone podaire du môme point S.
2401. Polygone anticopodaire. De même qu'on nomme anlipodaire le polygone obtenu en menant par les sommets A, 11, G, des pcrpendicu-
iaires aux droites SA, SB, SC... ”

“ Si dans le premier cas, on considère un polygone quelconque comme première face, comme base du corps, comme la face qui doit servir à former toutes les autres, il arrivera ou que toutes les arêtes partant des sommets de cette face seront parallèles entre elles, ou qu'elles se couperont toutes en un seul point du corps, on qu'elles ne seront ni parallèles, ni concourantes en un point de la surface. ”

“ Théorème. Lorsque la base d'une pyramide est inscriplible, toute sphère circonscrite à cette base coupe les arêtes de la pyramide en des points qui sont les sommets d'un polygone plan inscriptible.
Ehi effet, soit A, B, C, D..- les sommets du polygone de base; A', B', C-', D. les points où les arêtes SA, SB. sont coupées par la sphère; ces points appartiennent à la circonférence de la courbe de sortie du cône qui aurait S pour sommet et le cercle circonscrit à ABCD. pour base; donc les points A', B', C' sont les sommets d'un polygone plan inscriptible. ”

“ Le volume d'un cône a pour mesure la surface de la base multipliée par le tiers de la hauteur.
Inscrivez dans le cercle qui est la base du cône un polygone régulier CDEFGH (fig. 189) , et considérez la pyramide appelée pyramide régulière inscrite, qui a pour base ce polygone et pour sommet le sommet du cône. Son volume a pour mesure le produit de la surface du polygone qui lui sert de base par le tiers de la hauteur AB (n° 178) . Or, on peut considérer le cône comme une pyramide régulière dont la base est un polygone d'une infinité de côtés ”