Polygone régulier

“ Le rapport du cdté du pentagone régulier inscrit au rayon est donc égal à
459. COROLLAIRE III. — On peut construire : 1° le polygone régulier inscrit de vingt côtés, en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les côtés du décagone régulier et en joignant ensuite deux à deux les points de division consécutifs ; 2° Le polygone régulier inscrit de 40 côtés, en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les côtés du polygone régulier inscrit de 20 côtés, et ainsi de suite. ”

“ Manière de décrire un polygone régulier, pentagone, hexagone, etc.
On décrit une circonférence de cercle, on la partage en autant de parties égales qu'on veut donner de côtés nu polygone; ensuite on mène les lignes AB, BD, DE, etc., par les points A, B, D, E, etc. (fig. 20, 21, 22) , qui partagent la circonférence : on a le polygone cherché, qu'on nomme ou pentagone, ou hexagone, ou heptagone, ou octogone, ou ennéagone, ou décagone, etc., suivant qu'il a ou cinq, ou six, ou sept, ou huit, ou neuf, ou dix, etc., côtés. ”

“ Un polygone régulier quelconque s'évalue en multipliant la somme des longueurs des côtés, ou le périmètre par la moitié de l'apothème, ou ligne abaissée du centre du polygone inscrit, sur e milieu d'un quelconque de ses côtés. ”

“ Le polygone est rectiligne, curviligne, mixtiligne, régulier ou irrégulier.
Il est rectiligne lorsqu'il n'est composé que de lignes droites.
Il est curviligne lorsqu'il n'est composé que de lignes courbes.
Il est mixtiligne lorsqu'il est composé de lignes droites et courbes.
Il est régulier lorsqu'il a ses côtés et ses angles égaux.
Il est irrégulier lorsqu'il a ses côtés et ses angles inégaux.
On nomme diagonale d'un polygone la ligne qui joint le sommet de deux angles opposés.
Les figures égales sont celles dont toutes les parties sont égales et dans le même ordre. ”

“ L’aire du polygone régulier donné est
mais, si l’on suppose le point de départ des perpendiculaires sera le centre même de ce polygone, et le second polygone sera le polygone régulier formé par les droites qui joignent les milieux des côtés consécutifs de celui-là. L’aire de ce second polygone se réduira alors à
comme on le trouverait d’ailleurs directement.
La distance étant quelconque, plus sera grand et plus le polygone régulier donné tendra à devenir un cercle ; donc aussi l’autre polygone tendra de plus en plus à devenir une ligne courbe ”

“ Je mène d'abord les diagonales A D et A C pour diviser le polygone en triangles; il me suffit ensuite de faire une série de triangles consécutifs e d, a d c, a c b, respectivement égaux à ceux du polygone; je forme ainsi a b c d e = A B G D E, car les polygones étant composés des mêmes éléments triangulaires, sont superposables et par conséquent égaux.
Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle. On dit qu'un
polygone est inscrit dans un cercle, lorsque les sommets de ses angles étant sur la circonférence, tous ses côtés sont des cordes. ”

“ Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle, divisez 360 par le nombre des côtés du polygone proposé, afin d’avoir la quantité de l’angle EFD, prenez cet angle EFD au centre, & portez-en la corde ED sur la circonférence autant de fois qu’elle pourra y aller ; de cette maniere on aura le polygone inscrit au cercle.
Quoique la résolution de ce problème soit méchanique, on ne doit pas la mépriser à cause qu’elle est aisée & générale. Euclide à la vérité nous donne la construction du pentagone, du décagone, & du pentadécagone ”

“ Le plan comprend un polygone régulier ABCDEF semblable ou égal à celui de la base (P. IV, F. 55) ; le centre S de ce polygone représente le sommet de la pyramide, sur le plan horizontal, r. les rayons SA, SB, etc., y représentent les arêtes concourantes.
Pour faire l'élévation, abaissez de S et de tous les sommets A, B, C, etc., du polygone, des perpendiculaires sur la ligne de terre ; prenez S'S" égale à la hauteur ou à l'axe, et joignez le point S" aux points A', B', etc. Si le rayon AS est parallèle à YZ, la droite A'S" donnera la longueur de chaque arête. ”

“ Dans tout ce qui va suivre, nous représenterons constamment par les sommets d’un polygone régulier ; sera son centre ; seront respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit ; sera un point placé à une distance du centre, et dont nous indiquerons la situation dans chaque cas ; et seront des nombres abstraits, entiers et positifs ; et sera la demi-circonférence du cercle dont le rayon Nous ferons connaître las autres notations à mesure qu’elles nous seront nécessaires.
THÉORÈME I. Dans tout polygone régulier de côtés, où le point est quelconque ; étant ”

“ Si les angles d'un polygone inscrit dans un cercle sont égaux, ce polygone est régulier quand le nombre de ses côtés est impair. (J. M. E. de VUIBERT, 1905, n° 6020.)
Les côtés adjacents à un même côté sont égaux entre eux ; par suite, pour cinq côtés, par exemple : a, b, c, d, e, on aurait a = c = e ; puis en continuant à parcourir le périmètre, on aurait : e=b = d; donc...
Si le nombre des côtés a, b, c, d, e, f est pair, les côtés de rang impair a, c, e sont égaux entre eux ; il en est de même des côtés de rang pair : b — d = f ; mais rien n'indique que a égale b. ”

“ Concevoir un infiniment petit, dans le cas, par exemple, de notre polygone de tout à l’heure, c’est tout simplement concevoir que le côté de ce polygone peut être indéfiniment diminué. De même concevoir un infiniment grand, c’est concevoir qu’à mesure qu’on diminue les côtés de notre polygone, on fait croître indéfiniment le nombre de ces côtés. ”

“ Dans le cercle toujours un tel polygone entre,
Soit l'angle intérieur, soit l'angle dit au centre
Est par ce que j'ai dit, aisément supputé,
Rayon dans l'exagone est égal au côté.
Veut-on un polygone à forme régulière,
Qui, répété, recouvre une surface entière? ”

“ On voit, en vertu de cette dernière équation, que, si l’on prend le produit des équations (1) membre à membre, les sinus disparaîtront des deux membres de l’équation résultante ; il est d’ailleurs visible que les côtés du polygone en disparaîtront aussi ; de sorte qu’il ne restera plus, de part et d’autre, que les produits de segmens dont il s’agissait précisément de démontrer l’égalité.
THÉORÈME I. Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de côtés, et une droite indéfinie, aussi quelconque. ”

“ Nous savons qu'un polygone, malgré la multiplication indéfinie du nombre de ses côtés, n'arrivera jamais à être un cercle ; nous savons qu'un polyèdre ne se confondra jamais avec une sphère, donc nous allons raisonner sur le cercle comme si c'était un polygone et sur la sphère comme si c'était un polyèdre. ”

“ Cette proposition est que, dans tout polygone, plans et rectiligne, la somme des angles intérieurs vaut deux angles droits pris autant de fois moins deux que le polygone a de côtés. Les démonstrations qu’on en donne communément suppose que le polygone est convexe ou que du moins il existe quelque point, dans son intérieur, par lequel il est impossible de faire passer une droite qui rencontre son périmètre en plus de deux points. Voici comment on en peut obtenir une démonstration générale, et tout à fait indépendante de la nature du polygone. ”

“ Si le polygone est inscrit à la section conique, il est aisé de voir que le polygone lui serait circonscrit et la toucherait aux sommets du premier, et que, réciproquement, si le polygone est circonscrit à la section conique, le polygone lui sera inscrit et aura ses sommets aux points de contact des côtés du premier avec la courbe. ”

“ Dans un polygone fermé où l'on retombe sur le point de départ, la somme des différences positives doit donc être égale à la somme des différences négatives ; et dans une traverse, la différence de ces deux sommes doit être égale à la différence entre les cotes du point de départ et du point d'arrivée, si elles sont connues par le polygone, ou, ce qui est la même chose, à la différence de niveau résultant de la somme algébrique des différences de niveau successives entre ces deux points, obtenues dans le polygone. ”

“ De même un carré et un losange ont leurs côtés homologues proportionnels et ne sont pourtant pas semblables, car ils n'ont pas leurs angles égaux.
Pour faire sur la ligne LK, homologue de ED, un polygone semblable au polygone ABCDE, tracez d'abord les diagonales AC, AD ; faites au point L un angle=E, et au point K l'angle LKF=EDA ”

“ Plus généralement, dans un polygone quelconque de côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance, l’excès de la somme des angles sur droits, ou la différence à droits (suivant la nature de la surface courbe) , est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone en triangles. ”

“ Problème. À une section conique donnée, et décrite sur un plan, inscrire un polygone de sommets, dont les côtés, prolongés s’il le faut, passent respectivement, et dans un ordre assigné, par autant de points situés arbitrairement sur le plan dont il s’agit ; en ne faisant usage que de la règle seulement ? ”