Michel Chasles

“ La considération du cercle imaginaire situé à l'infini conduit avec une extrême facilité à une foule de propriétés des coniques sphériques hornofocales, de même qu'en Géométrie plané les deux points imaginaires situés à l'infini sur un cercle sont la base de toute la théorie des coniques hornofocales. Le cercle imaginaire de la sphère fournit même les définitions les plus simples des éléments principaux que l'on a à considérer dans les coniques sphériques, de leurs centres, leurs foyers, leurs arcs cycliques. ”

“ Apollonius y a trouvé le sujet de belles questions de maximum qui nous ont été conservées par Pappus, et qui suffiraient pour montrer la sagacité et le génie de celui que les Anciens avaient surnommé le grand géomètre.
La comparaison de ces trois ouvrages de la section de raison, de la section de l'espace et de la section déterminée, met aussi en évidence toute la hardiesse d'Euclide dans la conception de ses Porismes. Elle fait sentir combien il a eu à surmonter de difficultés pour donner toujours aux énoncés une rigoureuse exactitude. ”

“ Dès que l'on a su que tout mouvement d'un corps retenu par un point fixe était un mouvement de rotation autour d'une droite, on a reconnu que le mouvement d'un corps parfaitement libre pouvait se décomposer à chaque instant en deux autres, l'un de translation commun à tous ses points, et l'autre de rotation autour d'un axe mené par l'un de ses points. Cela se réduit à dire que, quand un corps parfaitement libre éprouve un mouvement infiniment petit, on peut mener, par chacun de ses points, une droite qui, pendant ce mouvement, restera parallèle à elle-même. ”

“ Euler et Laplace avaient fait connaître quelques théorèmes relatifs aux moments d'un système de forces ; mais on n'avait point eu l'idée de composer ces moments à l'instar des forces, parce qu'ils étaient de simples produits numériques, des quantités abstraites. La composition des moments demandait une notion nouvelle; et cette notion s'est présentée dans le développement naturel de la conception des couples qui fait la base et le caractère original de la Statique de Poinsot. Un système quelconque de forces dans l'espace se réduit, d'une infinité de manières, à une force et à un couple. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ Et les Porismes sont des propositions où l'on a tout à la fois à démontrer une vérité énoncée et à trouver la qualité ou la manière d'être, comme la grandeur ou la position, de certaines choses mentionnées dans l'énoncé de cette vérité.
D'après cette manière de concevoir le Porisme, qui est le commentaire rigoureux de la définition de Simson, on peut dire que le Porisme participe du théorème et du problème.
Ce qui s'accorde avec ce que rapporte Pappus des opinions différentes des géomètres de son temps.
A notre sens, le Porisme se rapproche plus du théorème que du problème ”

“ Passant de la courbure en un point à la courbure sur toute l'étendue de la surface, M. Dupin introduit la considération de deux systèmes de courbes, qu'il nomme asymptoliques , parce qu'une telle courbe a pour tangente en chaque point une asymptote de l'indicatrice de la surface. De là naît la propriété caractéristique de ces courbes : que leurs tangentes ont toutes un contact du second ordre avec la surface. Ces courbes asymptotiques , qui ont tardé longtemps à fixer l'attention des géomètres, se retrouvent maintenant dans la plupart de leurs travaux sur la théorie des surfaces. ”

“ Car les mathématiciens qui n'ont pas suivi, depuis trente ans, les progrès de la Géométrie, ne connaissent de cette science que les méthodes de quadratures de Kepler, de Cavalieri, de Pascal, de Grégoire de St-Vincent, etc., parce qu'elles ont des rapports intimes avec les théories du calcul intégral, qui font chaque jour l'objet de leurs profondes méditations. Et l'on ne peut disconvenir que le
calcul intégral, perfectionnement final et sublime de ces méthodes géométriques, les remplace toutes avec un avantage merveilleux. ”

“ Les questions du déplacement fini ou infiniment petit d'une figure dans son plan, ou dans l'espace, considérées au point de vue purement géométrique, c'est-à-dire en faisant abstraction du temps et des forces, se réduisent à l'étude des propriétés relatives à deux figures égales, placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre, car le mode de déplacement même résultera de ces propriétés. ”

“ Dans la Géométrie, jusque-là, on avait supposé les grandeurs déjà formées, pour les comparer entre elles ou avec leurs parties. Roberval, remontant à la génération des quantités, introduisait dans la Géométrie les puissances qui les engendrent; et, des rapports entre ces puissances, il déduisait ceux qui ont lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance à laquelle il attribuait la formation des grandeurs est le mouvement. ”

“ Considérons les sommets de rang impair : ils déterminent un triangle, de position tout à fait arbitraire par rapport à la conique. Chacun des sommets de rang pair de l'hexagone est le point d'intersection de deux tangentes issues de deux sommets du triangle; qu'on joigne ce point, par une droite, au troisième sommet du triangle, on aura ainsi trois droites qui concourront en un même point. Cette proposition, qui n'est, sous un autre énoncé, que le théorème de M. Brianchon, est une propriété d'un triangle quelconque tracé dans le plan d'une conique. ”

“ M. Transon donne l'expression du rayon de courbure de la courbe décrite par un point dans le roulement d'une courbe sur une courbe fixe, en fonction des rayons de courbure de ces deux dernières en leur point de contact : puis le rayon de courbure de la courbe décrite par un point d'une figure dont le mouvement est défini par celui de deux de ses points ; ce qui comprend toutes les courbes, comme le dit M. Transon, auxquelles s'applique la méthode des tangentes fondée sur la considération du centre instantané de rotation d'une figure qui se déplace sur son plan. ”

“ Il nous serait facile de montrer les ressources immenses que ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient offertes, depuis un siècle et demi, aux géomètres, si une fatale et injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie pure. Mais il nous suffit d'avoir montré que celle de La Hire, particulièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que la belle théorie des figures homologiques, dont M. Poncelet a tiré des résultats aussi nombreux que remarquables. ”

“ Le goût et l'aptitude rares du jeune ingénieur constructeur de vaisseaux, sorti de l'Ecole Polytechnique en 1803 , se sont révélés dès la première année de son séjour à cette école, par la solution du problème de la sphère tangente à trois autres, et par la découverte des théorèmes admirables auxquels cette question l'a conduit. Il nous suffira de dire, pour justifier ce mot, qu'il s'agit de cette propriété de la surface enveloppe des sphères tangentes à trois autres, d'avoir pour lignes de courbure deux systèmes de cercles, et de cette propriété des coniques, d'avoir une infinité de foyers. ”

“ La théorie des polygones, qui a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée; la simple curiosité ne s'en est pas mêlée; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oubli qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Bailly, précisément au sujet des lois de Kepler : « C'est donc en vain qu'on découvre des vérités ; on parle à ses contemporains, ils n'écoutent pas! » Non, ce n'est pas en vain : mais trop souvent les vérités nouvelles ne sont que pour l'avenir. ”

“ On sait que toute courbe du troisième degré a un ou trois points d'inflexion. Qu'on la projette, c'est-à-dire qu'on en fasse la perspective, de manière que l'un de ses points d'inflexion passe à l'infini; sa polaire, à cause de la troisième partie de notre théorème, deviendra un diamètre de la courbe. C'est là l'origine des diamètres dans les courbes du troisième degré.
Maintenant, que la perspective soit faite de manière que non-seulement le point d'inflexion, mais la tangente à la courbe en ce point, passe tout entière à l'infini; la courbe aura un diamètre, et n'aura aucune asymptote ”

“ Aucune théorie, aucune découverte, quelque minime qu'elle paraisse d'abord, n'est à négliger; car, à défaut d'une application immédiate, chaque vérité partielle a du moins l'avantage d'être un anneau de la chaîne continue qui lie entre elles toutes les vérités de cette vaste théorie; et ce simple anneau est peut-être un germe de grandes découvertes, que développeront rapidement les méthodes de généralisation de la Géométrie moderne. ”

“ « Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, une tangente quelconque à la courbe a le produit de ses distances à deux sommets opposés du quadrilatère dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux autres sommets ; » enfin M. Poncelet a montré, dans sa Théorie des polaires réciproques, que le théorème de Newton, sur la description organique des coniques, a pareillement son correspondant; et qu'il en est de même aussi du théorème de Carnot sur les segments faits, par une conique, sur les trois côtés d'un triangle2. ”

“ Enfin, Barrow, dans ses Lectiones opticæ, a appliqué avec habileté la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion et la réfraction sur des surfaces courbes. Il a construit les points où se réunissent les rayons infiniment voisins; mais, malgré son goût et son habitude des spéculations géométriques, il n'a pas songé à considérer la courbe qui naît de la succession de ces points ou de l'enveloppe de ces rayons; comme Huygens, qui a touché de près aussi à la découverte de cette courbe, il en a laissé l'honneur à Tschirnhausen. ”

“ Depuis le VIIIe siècle jusqu'au XIIIe, l'Europe demeura plongée dans une ignorance profonde. L'amour et la culture des sciences furent concentrés, pendant ce long intervalle,
chez un seul peuple, les Arabes de Bagdad et de Cordoue. C'est à eux que nous avons dû la connaissance des ouvrages grecs qu'ils avaient traduits pour leur usage, et qu'ils nous ont transmis, longtemps avant qu'ils nous parvinssent dans leur langue originale.
Jusqu'à ces derniers temps, on a pensé que c'était là la seule obligation que nous eussions aux Arabes; ”

“ C'est en cela, soit dit en passant, que nous paraît consister le principal avantage de l'Analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux méthodes a le merveilleux privilége de négliger les propositions intermédiaires dont la seconde a toujours besoin, et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage, si beau et si précieux, de l'Analyse, a son côté faible, comme toutes les conceptions humaines : c'est que cette marche pénétrante et rapide n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit ”