Quadrilatère

“ Nous avons déjà dit plus haut que le quadrilatère est un polygone de quatre côtés, ou, si l'on veut, la surface renfermée entre quatre lignes ou côtés.
Les côtés peuvent être de longueurs différentes; ils peuvent être ou ne pas être parallèles; l'ouverture des angles peut varier ; de là des quadrilatères de formes très-diverses, parmi lesquels on distingue le trapèze 1, le parallélogram me 2, le losange 3, le rectangle et le carré. ”

“ Concevons présentement que de deux des sommets consécutifs du quadrilatère l’un marche en ligne droite vers l’autre jusqu’à se confondre avec lui ; il est clair que notre théorème ne cessera pas pour cela d’être vrai ; mais alors notre quadrilatère se réduira à un triangle, le côté d’une longueur nulle à une droite indéfinie, menée d’une manière quelconque, par l’un des sommets de ce triangle, et les sections coniques circonscrites à des sections coniques passant par deux points donnés et touchant une même droite en un point donné ”

“ Un quadrilatère dont on connaît les quatre côtés, n'est pas complètement déterminé ; on peut le déformer, rapprocher deux sommets et éloigner les deux autres; les relations qui peuvent lier certains points fixes pris sur les côtés ou sur les diagonales, permettent parfois de transformer un mouvement donné en un autre mouvement aussi donné. Nous citerons les exemples les plus simples et les plus remarquables, en étudiant d'abord le parallélogramme dont le losange est un cas particulier ; puis le quadrilatère à diagonales rectangulaires, dont le losange est aussi un cas particulier ”

“ Construction d'un quadrilatère ayant ses quatre côtés inégaux, § 38.
Le quadrilatère construit est un trapèze; c'est-à-dire qu'il a ses deux diagonales rectangulaires.
Telles sont, suivant la signification que nous avons cru pouvoir leur donner, les propositions comprises dans les dix-huit premiers paragraphes de l'ouvrage de Brahmegupta, qui nous ont paru se rapporter à la théorie du quadrilatère inscriptible au cercle, et résoudre la question de construire un tel quadrilatère dont toutes les parties fussent rationnelles. ”

“ Soit décomposée la surface cherchée en élémens infiniment petits, par des droites partant du sommet du cône ; soient les points où deux droites consécutives rencontrent la circonférence de sa base et ceux où les deux mêmes droites rencontrent le contour de la section ; le quadrilatère sera la différentielle de la surface de sorte qu’il ne s’agira que d’en intégrer l’expression depuis jusqu’à pour obtenir la moitié de la surface cherchée. ”

“ Soient en effet (fig. 1) les quatre côtés consécutifs d’un quadrilatère, plan ou gauche, ayant leurs milieux respectifs en soient, en outre, les milieux respectifs des deux diagonales de ce quadrilatère, et soient joints ces points, deux à deux, par des droites. Par ce que et sont les milieux respectifs de et , la droite est moitié de et lui est parallèle ; pour de semblables raisons est aussi moitié de et lui est parallèle ; donc les deux droites et sont égales et parallèles, et conséquemment le quadrilatère est un parallélogramme ”

“ Diviser le quadrilatère ABCD en quatre parties équivalentes par des lignes parallèles à l'un des entés adjacents à la base d'opération. (Fig. 30.) Soit S la surface du quadrilatère, calculée à l'aide des perpendiculaires BE, CL et des segments de base AE, EL, LD, et soit CD le côté qui doit être parallèle aux divisoircs FG, IH, KJ, que nous supposerons tracées pour simplifier nos raisonnements. ”

“ « Quand un quadrilatère quelconque est inscrit à une conique, le produit des distances de chaque point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère, est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans un rapport constant. » Newton a donné, de ce beau théorème, une démonstration par la Géométrie pure, et s'en est servi utilement dans ses Principes mathématiques de la Philosophie naturelle. ”

“ PROBLÈME. On connaît dans un quadrilatère complet (fig. 9) deux côtés la diagonale qui joint leurs extrémités, et le point d’intersection des deux autres diagonales ; il faut, avec la règle seulement, achever le quadrilatère ?
Construction. Soient le point de concours de et et celui de et ; soit le point de concours de et ; Soient enfin et les intersections de et avec ; les droites seront les deux autres côtés du quadrilatère cherché. ”

“ Disons d'une façon générale que les pions se mettent toujours aux angles des petits carrés. Les 4 noirs se mettent indifféremment aux sommets de 4 angles quelconques des quadrilatères composant la croix, par exemple sur les points r, u, y, z, ou tout aussi bien aux points s, r, t, u. Quant aux pions blancs, ils se placent fort symétriquement : on en
met 16 sur les 2 rangées verticales de l'extrémité gauche du quadrilatère, c'est-à-dire en x, p, e, a, b, f, i, j, et en g, q, o, c, d, l, k, n, et de même les 16 autres sur les 2 rangées verticales correspondantes de la droite du quadrilatère. ”

“ Il faut supposer que deux côtés du quadrilatère sont parallèles entre eux, et que la transversale leur soit parallèle et passe par le point de concours des deux autres côtés.
(30) La relation d'involution nous paraît devoir se présenter souvent dans plusieurs théories géométriques, particulièrement dans celle des coniques. Cependant on ne l'a guère considérée que dans le système de trois coniques inscrites ou circonscrites à un même quadrilatère, et dans les cas particuliers d'un tel système. ”

“ Vous conviendrez que l'erreur est vraiment par trop forte ; s'explique- t-elle? Oui, en partie du moins. Remarquez que le quadrilatère supérieur est placé obliquement par rapport au quadrilatère inférieur, de sorte que son côté gauche est en prolongement du côté semblable du second quadrilatère. ”

“ L’aire du quadrilatère dont il s’agit étant la somme des aires de deux triangles, dont l’un a pour ses trois côtés et l’autre pour les siens en représentant ce quadrilatère par on aura
c’est-à-dire, en substituant,
(4) Si, dans cette expression, on suppose elle devient
qui est précisément celle de l’aire d’un triangle, en fonction de ses trois côtés [1] . ”