“ Nous ne devons pas quitter ce sujet sans faire observer que si, pour plus de symétrie entre les deux théorèmes, nous avons supposé, dans le premier, que les points donnés, étaient situés sur un même plan ; le théorème n’en est pas moins vrai, lorsque ces points sont distribués d’une manière quelconque dans l’espace ; il n’y a même pas alors un seul mot à changer à sa démonstration. Mais, on ne saurait, au contraire, donner une extension analogue à l’autre théorème ; attendu que, tandis que deux points sont toujours sur une même droite, deux droites ne concourent pas toujours en un même point. ”

“ Ainsi, toutes les fois qu’un point lumineux est hors de l’eau, ceux d’entre les rayons qui en émanent qui sont compris dans un même plan vertical quelconque passant par ce point, donnent naissance, après avoir pénétré dans le liquide, à une caustique qui n’est autre chose que la développée d’une hyperbole qui a son centre à la surface du liquide et son axe transverse vertical. ”

“ On sait que toute équation différentielle à deux variables a pour intégrale complète une équation, entre les mêmes variables et des constantes arbitraires, en nombre égal à celui qui désigne l’ordre de l’équation proposée ; constantes qui peuvent se trouver impliquées avec les variables de toutes les manières diverses admises dans l’analise comme moyens de combinaison. Mais, quoiqu’on démontre très-rigoureusement que, quelle que puisse être la forme de l’équation différentielle, elle a toujours une intégrale, on est bien loin encore de savoir assigner cette intégrale dans tous les cas. ”

“ THÉORÈME. Le pôle d’un arc de grand cercle est la commune section des arcs de grands cercles joignant les points de contact de tous les angles sphériques circonscrits qui ont leur sommet sur cet arc ; et réciproquement, l’arc polaire d’un point est le lieu géométrique des sommets des angles sphériques circonscrits, de manière que les arcs de grands cercles qui joignent leurs points de contacts, passent par ce point. ”

“ Si l’on suppose enfin que ce point de concours des droites ou des plans est le centre d’une sphère, on verra que nos deux théorèmes doivent encore avoir lieu sur la surface sphérique ; pourvu qu’on y remplace les droites par des arcs de grands cercles.
Si l’on suppose, dans le premier des deux théorèmes, que certaines masses sont égales et de signes contraires, ou dans le second, que certaines forces forment des couples, ce qui éloignera soit le centre commun de gravité, soit la résultante à l’infini ”

“ On sait par la théorie de l’extraction des racines des quantités en partie rationnelles et en partie radicales, que, pour qu’une fonction de la forme soit exactement le cube d’une autre fonction de la forme il faut d’abord que soient un cube parfait, condition qui, à la vérité, est toujours remplie pour et mais on sait aussi que cette condition nécessaire n’est pas suffisante, et qu’il faut en outre qu’une certaine équation du troisième degré admette tout au moins une racine rationnelle. ”

“ Supposons maintenant que l’on cherche, par l’analise, les points d’intersection, non plus d’un diamètre, mais d’une droite quelconque avec une courbe du second degré, et la distance de ces deux points, ou, en d’autres termes, la corde qui les unit ; lorsque la droite ne rencontrera plus la courbe, la distance donnée par l’analise deviendra imaginaire, et sera de la forme tandis que le point milieu de la corde conservera des coordonnées réelles. Il devient alors utile de substituer à la corde imaginaire ”

“ Il y a ici une remarque essentielle à faire ; c’est que, bien que par quatre points donnés à volonté sur un plan, on puisse toujours faire passer une hyperbole équilatère ; cependant, quand deux de ces points doivent être situés à l’infini, il n’est pas possible de se les donner arbitrairement, par le système de deux droites quelconques concourant respectivement en ces points ; il faut nécessairement que les droites dont il s’agit soient perpendiculaires entre elles, puisqu’elles doivent être parallèles aux asymptotes de la courbe. ”

“ Dans le cas de deux cercles, par exemple, ne vaut-il pas mieux définir l’axe radical, le lieu des points pour lesquels les tangentes aux deux cercles sont de même longueur, que de dire que c’est la corde commune à ces deux cercles ? Nous en dirons autant des tangentes idéales aux sections coniques dont M. Poncelet paraît s’être également occupé, et qui peuvent offrir un pareil champ de spéculation. ”

“ Il ne sera pas plus difficile de démontrer que les centres de toutes les sphères d’une même série, tangentes à la fois aux trois mêmes sphères, sont dans un plan mené perpendiculairement à l’un des axes de similitude des trois sphères dont il s’agit, par leur axe radical [9] . Nous n’insistons pas sur toutes ces choses, parce que nous n’en ferons aucun usage pour l’objet que nous avons principalement en vue. ”

“ Donc, d’après les théories connues, l’équation commune aux deux asymptotes de la courbe est
ces asymptotes font donc, pour toutes les sections parallèles à celle que nous avons considérées, un angle constant avec l’axe transverse de la courbe ; puis donc que cet axe transverse est constamment parallèle à lui-même, et qu’il en est de même du plan qui contient cet axe et l’asymptote, il en résulte que les asymptotes des diverses sections doivent être parallèles chacune à chacune [1] . ”

“ On voit, d’après cela, que, pour un point, un arc, une corde, une tangente, etc., donné sur l’un des cercles, il ne correspond jamais sur l’autre qu’un seul point, un seul arc, une seule corde, une seule tangente, etc., duquel on puisse dire qu’il est son homologue de l’une ou de l’autre espèce, du moins relativement au même centre de similitude. ”

“ Mais, quand l’on ne se donne que trois points de l’hyperbole équilatère, avec une tangente quelconque, il n’est plus possible de déterminer de la même manière le centre de la courbe ; car alors on n’obtient qu’un seul cercle, dont la circonférence renferme ce centre, il faut donc avoir recours au procédé indiqué plus haut, au moyen duquel on peut obtenir directement un quatrième point de la courbe ; ce qui ramène le problème à celui où il s’agit de décrire une section conique dont on a quatre points et une tangente. ”

“ Un point pouvant être considéré indistinctement comme un cercle ou une sphère dont le rayon est nul ; une droite comme un cercle dont le rayon est infini, ou comme un cône dont l’angle générateur est nul, ou, et enfin, comme un cylindre dont le rayon est nul ; et un plan comme une sphère ou un cylindre dont le rayon est infini, ou comme un cône dont l’angle générateur est droit ; il s’ensuit que tout ce que nous allons dire des cercles, des sphères, des cônes et des cylindres est aussi applicable, avec des modifications convenables, aux points, droites et plans ”

“ On remarquera que la surface du cercle est égale au quarré du rayon multiplié par le nombre qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre ; que deux rayons qui se coupent à angles droits sont parallèles aux tangentes menées par leurs extrémités ; que ces mêmes rayons comprennent entre eux une surface constante ; que la somme de leurs quarrés est égale à la somme des quarrés de leurs projections sur un diamètre quelconque ; que les tangentes des angles aigus qu’ils forment avec un même diamètre, étant multipliées l’une par l’autre, donnent l’unité pour produit ”

“ En outre, pour peu qu’un objet soit voisin de la surface du liquide éloigné de l’axe du cône, son image, d’ailleurs très-applatie, se trouve presque sur la surface du cône et à une immense distance de son sommet, de sorte qu’elle doit presque échapper à la vue et paraître extrêmement déformée. Les poissons ne peuvent donc voir d’une manière bien distincte que les objets peu élevés au-dessus de l’eau et peu distans de la verticale passant par leur œil [12] . ”

“ THÉORÈME. Le lieu des milieux des cordes menées à une surface quelconque du second ordre, par un quelconque des points de l’espace, est une autre surface du second ordre, semblable à la première et semblablement située, passant par le centre de celle-ci et par le point donné. ”

“ Mais lorsqu’on dît que, pour que les racines de l’équation du second degré
soient rationnelles, il faut que la fonction, des coefficiens soit un quarré, on n’établit point proprement une relation entre ces coefficiens qui demeurent encore indéterminés sous certaines restrictions seulement ; en sorte que cette condition revient à pouvoir résoudre rationnellement l’équation
où est un nombre rationnel tout-à-fait indéterminé. ”

“ Ajoutons que, si l’on projette deux sections coniques, situées dans un même plan sur un nouveau plan, parallèle à une corde idéale qui leur soit commune, la projection de cette corde sera elle-même une corde idéale commune aux projections des deux sections coniques. Par suite, si les deux courbes proposées étaient dissemblables entre elles ; auquel cas elles avaient nécessairement plusieurs cordes réelles ou idéales communes ; pour rendre leurs projections semblables et semblablement placées, il faudra faire en sorte qu’une des cordes communes s’éloigne à l’infini. ”

“ Si, en partant d’une situation donnée, cet œil s’enfonce verticalement dans le liquide, il verra l’image descendre peu à peu, en se rapprochant de la verticale ; ce sera le contraire, si l’œil s’élève vers la surface de l’eau. Si, partant de la même situation, l’œil se meut horizontalement, en s’écartant de la verticale, l’image s’en écartera en sens inverse, en s’élevant de plus en plus. On reconnaîtra enfin que l’œil, mu obliquement, dans une direction rectiligne, parcourt une tangente à la caustique, lorsque, malgré son mouvement, l’image lui semblera immobile. ”

“ En second lieu, s’il est déjà quelquefois assez difficile de tracer, à la main, une courbe qui passe par des points donnés, il l’est bien plus encore de tracer, à la main, une courbe qui touche à la fois une suite de droites données. Enfin, s’il est assez facile de mener, à la simple vue, une tangente à une telle courbe par un point qui lui est extérieur, il ne l’est pas également de bien fixer le point de contact de cette tangente, qui se confond sensiblement avec la courbe même, dans une partie de sa longueur. ”

“ Rien ne sera plus aisé, d’après cela, que d’assigner le centre de la section conique inscrite à un pentagone donné quelconque. Il ne s’agira en effet, pour cela, que de faire tour à tour abstraction d’un côté puis d’un autre côté du pentagone, et de construire, à chaque fois, la droite, lieu des centres des sections coniques qui touchent ses quatre autres côtés ; on obtiendra ainsi deux droites dont l’intersection sera le centre cherché ; on voit clairement par là que le problème ne saurait avoir qu’une solution. ”

“ On dira peut-être que nous ne faisons que déplacer la difficulté et même d’une manière désavantageuse, puisque nous ne faisons que ramener l’intégration d’une seule équation du premier ordre à celle de deux équations du second ; mais observons que ces dernières sont linéaires, et même de la forme la plus simple ; et nous verrons bientôt d’ailleurs que, lorsque l’on sait que l’intégrale de la proposée doit être algébrique et rationnelle, on peut assigner assez facilement l’intégrale de ces dernières. ”

“ Solution. Déterminez, pour l’une quelconque des sphères données, ses plans polaires de similitude avec les trois autres ; ayant soin de prendre le plan polaire externe, pour les sphères qui doivent être touchées de la même manière, et l’interne pour celles qui doivent être touchées d’une manière différente par la sphère cherchée. Ces plans polaires se couperont en un certain point ; et les plans polaires homologues, relatifs aux trois autres sphère. ”

“ THÉORÈME. Les tangentes menées à trois sphères de tous les points et des seuls points de leur axe radical sont égales entre elles, ou, en d’autres termes, les cônes circonscrits de même sommet, dont le sommet commun est sur l’axe radical, et qui se terminent à leurs lignes de contact respectives, ont toujours et ont seuls leurs arêtes de même longueur. ”

“ La solution de ce problème se déduit de celle du Problème III, de la même manière que nous avons déduit celle au Problème II de celle du Problème I.
N’ayons d’abord aucun égard à la disposition des parts entre elles, dans un même système de répartition. Si l’on ne veut faire qu’une seule part, on ne pourra faire de parts nulles ; et conséquemment le nombre des systèmes de répartition sera encore égal à l’unité. ”

“ Il y a plus, si, d’un centre de projection pris à volonté dans l’espace, on mène des rayons vecteurs aux différens points d’un système composé de points, de lignes ou de surfaces quelconques, et que l’on fasse croitre ou décroitre à la fois tous les rayons vecteurs dans un rapport donné, on obtiendra un second système de points, lignes ou surfaces, semblable au premier et semblablement placé, en sorte que les droites et les plans menés dans les deux systèmes, par des points correspondans, seront toujours parallèles. ”

“ Dans le cas particulier où c’est une surface qui est donnée, si c’est une surface de révolution dont l’axe soit vertical et passe par l’œil, il est évident que la surface cherchée sera exactement dans le même cas. ”