“ THÉORÈME I. Un polygone quelconque étant inscrit à une section conique ; si l’on vient à le faire varier de toutes les manières possibles, de manière cependant qu’il ne cesse pas d’être inscrit à la courbe, et que tous ses côtés, excepté un seul, passent constamment par des pôles fixes ; le côté libre sera, dans son mouvement, perpétuellement tangent à une autre section conique, touchant la première en deux points. ”

“ Que je ne sois pas en état d’amener au même degré de simplicité tous les problèmes relatifs à l’étendue ; c’est là une chose dont je conviendrai sans peine ; tout ce dont je désire qu’on veuille bien me savoir quelque gré, et me tenir quelque compte, c’est d’avoir ouvert aux spéculations de la géométrie une voie qui me paraît tout-à-fait nouvelle, et de n’avoir rien négligé pour déterminer de plus habiles que moi à s’y engager. Il n’est point surprenant, au surplus, qu’en entrant seul dans une route que personne n’a encore frayé, on chemine un peu lentement ”

“ Le coefficient différentiel du premier ordre d’une courbe quelconque étant l’expression même de la tangente tabulaire de l’angle que forme avec l’axe des la tangente au point correspondant de cette courbe ; il suffira, dans le cas actuel, d’écrire que cette expression est égale à une quantité donnée et constante [7] ; ce qui fournira une équation de condition, laquelle exprimera la relation qui doit exister entre les coordonnées des points de contact cherchés ; et servira par conséquent, conjointement avec celle de la courbe donnée, à déterminer tous ces points de contact. ”

“ L’arithmétique se divise en deux parties ; 1.o l’art de pratiquer les opérations du calcul sur toutes sortes de nombres, tant entiers que fractionnaires ; 2.o l’art d’appliquer à chaque question qui peut être proposée les méthodes de calcul qui lui conviennent. Le premier objet peut être rempli par un petit nombre de procédés certains, uniformes et, pour ainsi dire, mécaniques : le second, au contraire, n’a été assujetti jusqu’ici à aucune méthode constante et simple ; on ne l’a rempli que par des théories trop élevées et trop abstraites pour le commun des hommes ”

“ J’entendais, en effet, répéter sans cesse, comme une chose tout-à-fait hors de doute, que, malgré les avantages qu’offrait la géométrie analitique, sous le point de vue de la généralité et de l’uniformité des procédés, elle ne pouvait donner, pour la solution des problèmes, des constructions comparables, pour l’élégance et la simplicité, à celles dont les géomètres de l’antiquité, et ceux d’entre les modernes qui ont marché sur leurs traces, nous ont laissé de si beaux exemples ”

“ III. Si le centre de gravité est au-dessus du centre de moindre courbure, le corps culbutera dans quelque sens qu’on l’incline et conséquemment l’équilibre sera complètement instable.
IV. Si le centre de gravité coïncide avec le centre de moindre courbure, le corps pourra demeurer incliné, de part ou d’autre, dans le sens de la ligne de moindre courbure ; mais incliné dans toute autre direction il culbutera entièrement. Ce cas est donc la limite de l’équilibre complètement instable. ”

“ Maintenant, si l’on se reporte à l’observation d’où l’on est parti, dans le raisonnement qui précède, on pourra en conclure que relativement à la section conique enveloppe, le point est tel que la droite qui passe par ce point, et celle qui joint le pôle de cette dernière au même point, sont perpendiculaires l’une à l’autre, quelle que soit d’ailleurs la droite qu’on ait choisie, en particulier ; or, il n’existe, comme l’on sait, sur le plan d’une section conique donnée, d’autres points que les foyers mêmes de cette courbe qui jouissent d’une semblable propriété [10] ”

“ Si l’on considère présentement que tout cadran solaire vertical ou incliné, déclinant ou non déclinant, pourvu toutefois que sa surface soit plane, est un cadran horizontal pour le point de la surface de la terre dont le plan tangent serait parallèle à celui de ce cadran, on verra aussitôt que la méthode que nous venons de donner pour tracer un cadran horizontal est également applicable à la construction de tout cadran quelconque. ”

“ Il n’en serait plus de même si l’on considérait un quadrilatère ou, en général, un polygone quelconque inscrit à ce cercle ; car un quadrilatère, et à plus forte raison, un polygone d’un plus grand nombre de côtés, n’est pas indistinctement, comme un triangle, susceptible d’être inscrit à cette courbe particulière. ”

“ Or, il est évident que chacun des arrangemens possibles et différens de ces côtés donnera lieu à un problème particulier, tout-à-fait distinct des autres, dont la solution devra proprement appartenir à la géométrie ordinaire. La première question à résoudre ; celle qui appartient tout-à-fait à la géométrie de situation, consiste donc à rechercher quel est le nombre et l’espèce des polygones réellement différens, quant à la succession des côtés, qu’il est possible de former, en assujettissant ces mêmes côtés à passer par un nombre de points donnés ? ”

“ Quant au mouvement de rotation, la quantité qui multiplie devant toujours être positive, on voit que le corps oscillera autour de la position d’équilibre, ou qu’il restera dans la position où il aura été placé, ou enfin qu’il chavirera, suivant que la hauteur du centre de gravité sera plus petite que le rayon de la base du cylindre ou de la sphère, ou qu’elle lui sera égale, ou enfin qu’elle sera plus grande. ”

“ On sait qu’un des caractères du foyer d’une section conique, quand elle est rapportée à son grand axe comme axe des abscisses, est que sa distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle et entière de l’abscisse correspondante. Nommant donc la distance inconnue de ce foyer à l’origine, on aura, en faisant attention à l’équation ci-dessus de l’hyperbole ”

“ Aujourd’hui que les sciences exactes se sont, en quelque sorte, popularisées ; aujourd’hui que ceux qui les cultivent sont en assez grand nombre, et ne se mêlent plus, en aucune sorte, de prédire l’avenir, les princes ne se soucient guère de les retenir près d’eux, et de les traîner à leur suite ; en quoi il n’y a peut-être pas un très-grand malheur, ni pour les uns ni pour les autres. Il n’y a donc plus de mathématiciens, du moins dans le sens qu’on attachait à ce mot il y a deux siècles ; mais, il y a toujours des géomètres ”

“ Il arrive souvent, en effet, que telle méthode qui triomphe sans efforts de certains problèmes, échoue, au contraire, contre d’autres qui cèdent à leur tour facilement à des méthodes différentes ; et l’art de pressentir à l’avance, dans chaque cas particulier, de laquelle d’entre elles on peut se promettre le plus de succès, n’est point la partie la moins importante ni la moins difficile de la science du géomètre. ”

“ Il y a donc, dans l’énoncé, un nombre et un seul nombre donné de l’espèce de celui qu’on cherche ; et c’est sur celui-là qu’il faut opérer pour parvenir à l’autre.
Or, on ne peut, en opérant sur un nombre d’une espèce déterminée, parvenir à un autre nombre de même espèce que lui, qu’en le multipliant par un ou plusieurs nombres abstraits. Je dis en le multipliant, car on sait que la division revient à la multiplication par une fraction qui, ayant l’unité pour numérateur, aurait le diviseur pour dénominateur. ”

“ La valeur de devenant nulle lorsque ce qui rend la valeur de infinie et imaginaire ; il nous faut, pour éviter cet inconvénient, reprendre en particulier le cas de la sphère. Nous avons obtenu l’équation différentielle générale
(IX) en y faisant de suite elle devient, toutes réductions faites,
ce qui donne en intégrant
étant une constante que l’on déterminera, en assujettissant la courbe à passer par un point donné arbitrairement sur la sphère. ”

“ Solution du premier problème. Inscrivez, à volonté, à la courbe une portion de polygone, dont les côtés passent respectivement par les points donnés. Le nombre de ces points pourra être pair ou impair.
Le nombre des points donnés étant pair, si le polygone ne se referme pas de lui-même, le problème ne pourra être résolu ; et si, au contraire, il se referme de lui-même, tout autre se refermera également, et conséquemment le problème sera susceptible d’un nombre indéfini de solutions. ”

“ Quant à ce que M. Carnot a appelé méthodes mixtes, dont il nous a offert lui-même tant de beaux exemples, je pense que ces méthodes peuvent souvent être employées avec avantage dans la démonstration de certains théorèmes ; et que c’est à elles, en particulier, qu’on doit avoir recours, lorsqu’on veut résoudre, par le calcul, des problèmes de géométrie ; mais j’inclinerais à les regarder comme les moins propres de toutes à faire trouver des constructions simples et élégantes.
Au surplus, la nature des problèmes semble devoir influer d’une manière notable sur le choix des méthodes. ”

“ La polaire réciproque d’une courbe donnée, sur le plan d’une section conique, est à la fois le lieu des pôles de toutes les tangentes à cette courbe, et l’enveloppe de l’espace parcouru par les polaires des points de cette même courbe. ”

“ Or, c’est précisément ce résultat que la méthode dont il s’agit donne, au lieu de l’aire donc encore la méthode de M. Dobenheim prend l’aire de la courbe parabolique inscrite au lieu de la véritable ; et dès-lors cesse l’espèce d’étonnement qu’elle inspire d’abord, en présentant, pour approximation de l’aire d’une courbe, une combinaison linéaire des ordonnées équidistantes, différente de celle qui compose ou la somme des trapèzes inscrits ; car rien n’empêche que les ordonnées, combinées d’une manière, donnent l’aire du polygone rectiligne inscrit ”

“ III. Si, sur le plan d’un angle fixe donné, on fait tourner autour d’un point arbitraire et fixe, pris pour sommet, un angle quelconque, invariable de grandeur ; et qu’on trace ensuite, pour chacune de ses positions, les deux droites qui soutendent à la fois l’angle fixe et l’angle mobile ; chacune des deux séries formées par ces droites, enveloppera, en particulier, une seule et même section conique, ayant précisément pour foyer le sommet fixe de l’angle mobile ; et les deux côtés de l’angle fixe pour tangentes. ”

“ Si l’on désigne par le temps d’une oscillation entière, représentant toujours, comme à l’ordinaire, le rapport du rayon à la demi-circonférence, on aura
et par conséquent
d’où l’on voit que le temps d’une oscillation entière est le plus petit possible lorsque et va toujours en augmentant, jusqu’à où il est le plus grand possible ; c’est-à-dire qu’alors le mouvement est nul. ”

“ Cela posé, appelons le point de la polaire focale d’où partent les tangentes [9] ; les points de contact appartenant à la courbe parcourue, c’est-à-dire, à l’hyperbole ; ceux qui appartiennent à la courbe qui sert de directrice, c’est-à-dire, à la parabole ; le foyer commun un à ces mêmes courbes ; enfin, les points où la droite rencontre la courbe enveloppe, c’est-à-dire l’ellipse. Il ne sera pas difficile de voir (V, VI) que le point de l’enveloppe est le pôle de la tangente à la parcourue ; et, par conséquent, que le point de contact est, à son tour, le pôle de la tangente est à l’enveloppe ”

“ Nous nous bornerons à observer qu’on pourrait, par analogie, rechercher l’état d’équilibre le plus prochain du mouvement, pour un corps de figure quelconque, posant par trois points sur les trois faces d’un angle trièdre, ou même sur trois surfaces courbes données quelconques, en ayant toujours égard au frottement. ”

“ Si présentement on fait attention qu’il peut très-bien arriver que le facteur supprimé, par l’effet de l’opération particulière, représente précisément la véritable solution du problème, on devra comprendre que, s’il est des manières de procéder qui abrègent le calcul de l’élimination, il en est aussi qui peuvent par là conduire à des-espèces d’absurdités, en faisant manquer le but réel qu’on se proposait d’atteindre. ”

“ En voilà assez, je pense, pour montrer combien la dénomination de question à deux et à trois termes est illusoire et équivoque, et à quel point elle peut induire en erreur. Je sais bien qu’on m’objectera qu’un géomètre ne s’y laissera jamais méprendre ; mais, c’est à des jeunes-gens d’un esprit borné que M. Bérard destine ses méthodes ; et ceux qui font profession d’enseigner les autres ne savent que trop que le gros de leurs élèves donne souvent des preuves de bévues aussi grossières. ”

“ D’autre part, on convient généralement qu’on est encore aujourd’hui réduit à désirer une méthode complètement satisfaisante pour l’intégration des fonctions d’une seule variable, dans tous les cas, alors même qu’on serait disposé à se contenter d’une approximation. Ainsi, il est tout simple que l’annonce d’une découverte de méthodes nouvelles, ou même de simples perfectionnemens ajoutés aux méthodes connues, produise une grande sensation parmi les analistes, et soit accueillie avec empressement par les uns, avec défiance et précaution par d’autres, mais avec un curieux intérêt par tous. ”