Antoine-Augustin Cournot

“ Et puisque l'algèbre ne consiste pas seulement dans un système de notations pour exprimer des relations arithmétiques entre des grandeurs , mais que c'est une science qui diffère de l'arithmétique par le degré d'abstraction, qui a son objet spécial et son organisation propre, il faut que, pour les lignes qui sont à la fois géométriques et algébriques , l'étendue de la définition algébrique corresponde, en vertu des lois propres à l'algèbre, à l'étendue que la ligne comporte en vertu de sa nature géométrique, ou par la force de la définition géométrique. ”

“ Mesurer une grandeur, c'est la rapporter à une autre grandeur de même espèce prise pour unité ; sa mesure, c'est son rapport avec cette grandeur : réciproquement, le rapport d'une grandeur A à une autre grandeur B de même espèce, c'est le nombre ou l'expression numérique qui donnerait la mesure de A, si B était prise pour unité. Par cette définition, on ôte au mot de rapport (ratio, λόγoς) , l'indétermination qu'il a dans le langage ordinaire et même dans la langue philosophique : on lui donne une acception technique, simple et rigoureusement déterminée. ”

“ Il n'y aura pas encore là l'étoffe d'une science nouvelle : l'esprit n'aura pas encore saisi un ordre nouveau d'abstractions et de rapports, qui lui offre un champ nouveau de découvertes.
Mais, une fois la langue de l'algèbre créée , organisée en tant qu'instrument, pour les besoins des applications à la théorie des nombres ou à celle des grandeurs quelconques, on voit apparaître ces rapports qui font de l'algèbre un objet direct de spéculations, qui la constituent à l'état de science ou de théorie spéciale. ”

“ Les géomètres entendent par analyse, dans l'acception du terme la plus large et la plus usitée, l'algèbre et toutes les branches du calcul des grandeurs, à l'aide de signes généraux qui ont fait disparaître toute trace de ce qu'il y avait de spécial et de particulier dans la nature de ces grandeurs : de manière qu'on ne retient même le plus souvent, parmi les propriétés des nombres, que celles qui peuvent s'étendre à des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, rationnelles ou incommensurables. ”

“ Une ligne algébrique est en même
temps géométrique, lorsqu on peut mettre de côté ce que l'algèbre nous enseigne, se reporter par la pensée au temps où l'algèbre était encore une science à naître, et donner de la ligne une définition directement tirée de conceptions propres à la géométrie : comme lorsqu'on définit la cycloïde au moyen du cercle et de la ligne droite, l'ellipse au moyen du cône et du plan, la développée de l'ellipse au moyen de l'ellipse, et ainsi de suite. ”

“ En principe, il n'y a jamais d'avantage à mettre une opération graphique, d'une exactitude limitée par l'imperfection de nos sens et de nos instruments, à la place d'une opération arithmétique qui donne avec une précision rigoureuse ou avec une approximation indéfinie les valeurs que l'on cherche. La véritable utilité de la géométrie, envisagée dans son application à la théorie abstraite des grandeurs continues, consiste à fournir une représentation sensible (et la seule possible) de la loi de continuité dans la variation des grandeurs. ”

“ On conclut de là qu'une courbe algébrique ne peut pas plus avoir de points saillants que
de points d'arrêt ou de rupture; et en général que les solutions de continuité d'ordre quelconque, subies par une fonction algébrique, résultent toujours du passage de l'une de ses fonctions dérivées et des dérivées subséquentes par des valeurs infinies, et jamais de ce que les fonctions dérivées, à partir d'un certain ordre, passent brusquement d'une valeur finie à une autre, ou s'interrompent brusquement dans leur cours. ”

“ Il est clair que la théorie dont il s'agit ne dépend point du système artificiel de numération, des procédés de calcul fondés sur ce système ; et c'est pour cela que Newton la qualifie d'universelle. Elle emprunte sans doute à la théorie des nombres ou à l'arithmétique pure les notions fondamentales de facteurs et de produits, de puissances et de racines, mais pour leur faire immédiatement
subir une extension exigée par la nature des grandeurs continues, et qui donne lieu à des développements tout différents. ”

“ Une courbe algébrique ne s'interrompt jamais brusquement dans son cours. Cela résulte de ce qu'une équation algébrique, à une seule inconnue et à coefficients réels, ayant toujours un nombre pair de racines imaginaires, ne peut perdre à la fois qu'un nombre pair de racines réelles, lorsqu'on fait passer par une suite de valeurs réelles l'une des grandeurs qui entrent dans la composition de ses coefficients. ”

“ CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LA TRADUCTION DES PROBLÈMES EN ALGÈBRE. — DE LA MULTIPLICITÉ DES SOLUTIONS, ET DE L'ASSOCIATION OU DE LA DISSOCIATION ALGÉBRIQUE DES SOLUTIONS MULTIPLES.
35. L'algèbre est une langue sans doute, mais une langue dont nous ne sommes pas maîtres, comme nous pourrions l'être d'une langue d'origine conventionnelle, parce que l'algèbre est aussi une science ayant sa constitution propre, son objet dans des idées, dans des rapports que l'esprit humain ne crée pas arbitrairement et de toutes pièces. ”

“ Il est essentiel de pouvoir exprimer, indépendamment du choix arbitraire du zéro ou de l'unité,
des relations générales entre les grandeurs, lesquelles en effet ne dépendent point de ce choix arbitraire : sans quoi l'expression ne serait qu'imparfaitement adaptée à l'idée qu'elle doit rendre. Il faut que tout ce qui dépend du choix du zéro ou de l'unité affecte l'expression des valeurs particulières, nécessairement subordonnées à ce double choix ; et c'est à quoi satisfait la notation des quantités négatives, de la même manière qu'y satisfait celle des quantités fractionnaires. ”

“ L'équation de la ligne droite n'est que l'expression algébrique du théorème de Thalès sur la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles, théorème dont l'invention ou l'énonciation formelle marque le commencement de la géométrie et celui de toute science exacte. Voilà pour la correspondance entre la géométrie et la théorie purement arithmétique des grandeurs abstraites. ”

“ Le lien mathématique entre des grandeurs n'est pas toujours aussi simple que nous l'avons supposé d'abord. Ainsi, pour un corps qui tombe dans le vide sous l'action de la pesanteur, la théorie démontre, et l'expérience confirme, que les espaces décrits croissent proportionnellement aux carrés des nombres qui mesurent les temps de chute : de manière, par exemple, que l'espace décrit en deux secondes est quadruple de l'espace décrit dans la première seconde, l'espace décrit en trois secondes égal à neuf fois ce même espace, et ainsi de suite. ”

“ Réciproquement, toute méthode pour calculer numériquement, par des approximations successives, les racines d'une équation algébrique eny, dont l'un des coefficients x serait censé passer successivement par plusieurs états de grandeur, équivaut à un développement en série; constitue comme le développement en série une définition transcendante de y en tant que fonction de x ; et peut, à titre de définition transcendante, offrir des solutions de continuité par le passage d'une branche à l'autre, sur la courbe algébrique qui aurait x pour abscisse et y pour ordonnée. ”

“ D'ailleurs on comprend bien que l'emploi de l'algèbre comme langue ou instrument, l'étude de l'algèbre comme science ou corps de vérités abstraites, ne peuvent se succéder brusquement, pas plus dans le développement historique que dans l'exposition didactique de l'algèbre. Et voilà pourquoi il est contre la nature des choses de pouvoir donner de l'algèbre une définition tranchée, comme celles qui sont propres à caractériser d'autres parties du système des vérités mathématiques. ”

“ Il permet de saisir immédiatement, dans une intuition sensible, des faits auxquels l'esprit n'atteindrait qu'avec effort, s'il les envisageait, sans le secours du signe, dans toute leur généralité et leur abstraction ; et l'allure d'une courbe fait souvent voir d'un coup d'œil ce qu'on ne mettrait que péniblement en évidence par la discussion algébrique de l'équation que la courbe représente et dont elle est le lieu géométrique. ”

“ Sans doute, si l'on pose en principe que la logique pure, que le raisonnement parfait requièrent qu'on fasse abstraction de toutes les circonstances du problème non exprimées ni exprimables algébriquement, l'algèbre se trouvera nécessairement d'accord avec la logique pure, puisque, par définition, la logique pure ne sera pas autre chose que l'algèbre. ”

“ Ainsi, l'on démontre dans les éléments de géométrie que le volume d'une pyramide à base polygonale est le tiers du volume d'un prisme de même base et de même hauteur; que le volume d'un cône à base circulaire est aussi le tiers du volume d'un cylindre qui a même base et même hauteur : mais ces théorèmes ne sont que des cas particuliers d'une proposition plus générale, consistant à dire que le volume
circonscrit par une surface conique à base quelconque est le tiers du volume d'un cylindre de même base et de même hauteur. ”

“ Le principe de la correspondance entre la géométrie et l'algèbre, dans la géométrie analytique proprement dite, c'est qu'il faut délivrer de radicaux l'équation entre les coordonnées rectangulaires de la courbe, ou conserver les doubles signes adhérents à chaque radical pair : sans quoi l'on introduirait des solutions de continuité qui ne tiendraient qu'au choix arbitraire des axes, et que ne peut point admettre une définition géométrique , indépendante de l'artifice des coordonnées et du choix des axes (70) . ”

“ La logistique transcendante, distincte de l'algèbre et de la théorie des fonctions algébriques, doit se distinguer encore de la théorie des fonctions en général, qui a pour objet les propriétés communes à toutes les fonctions continues, même à celles qui n'admettent pas de définition mathématique. ”

“ Lorsque nous étudions les propriétés des nombres, nous croyons, et avec fondement, étudier certains rapports généraux entre les choses, certaines lois ou conditions générales des phénomènes : ce qui n'implique pas nécessairement que toutes les propriétés des nombres jouent un rôle dans l'explication des phénomènes , ni à plus forte raison que toutes les circonstances des phénomènes ont leur raison suprême dans les propriétés des nombres, comme certains esprits spéculatifs ont eu du penchant à le croire dès la plus haute antiquité, et lorsque la vraie théorie des nombres était dans l'enfance. ”

“ En général, toutes les fois qu'un calcul d'élimination conduit à une équation résultante de laquelle ont disparu certains paramètres des lieux géométriques correspondant aux équations composantes, il pourra y avoir plus d'étendue dans l'équation résultante que dans le lieu géométrique correspondant, et en ce sens désaccord entre la géométrie et l'algèbre, si la signification géométrique des paramètres qui ont disparu assujettit leurs valeurs numériques à des limitations qui ne se trouvent point exprimées dans les équations composantes. ”

“ La distinction des valeurs réelles en positives et négatives n'est pas nécessairement due à l'algèbre : elle a son fondement, comme nous nous sommes attaché à le faire voir, dans la nature des grandeurs à origine arbitraire; mais la notion des valeurs imaginaires n'a pu être fournie que par l'algèbre. ”

“ Allez en avant, et la foi vous viendra; non pas une foi aveugle, machinale, produit irréfléchi de l'habitude, mais un acquiescement de l'esprit, fondé sur la perception simultanée d'un ensemble de rapports qui ne peuvent que successivement frapper l'attention du disciple, et d'où résulte un faisceau d'inductions auxquelles la raison doit se rendre en l'absence d'une démonstration logique que la nature des choses rend impossible. ”

“ Supposons qu'on veuille démontrer ce théorème d'arithmétique, qu'un nombre qui en divise deux autres divise le reste de la division du plus grand par le plus petit : on pourra faciliter le raisonnement, en mieux faire ressortir la généralité, en représentant les nombres par des lettres, en employant les signes ordinaires des opérations d'arithmétique, et en exprimant par un signe l'égalité qui doit exister entre le dividende d'une part, et d'autre part la somme de deux nombres, dont l'un est le produit du diviseur par le quotient, l'autre est le reste de la division. ”

“ Il ne s'agit pas « de ces rapports vagues qui ne peuvent servir à aucune détermination , » qu'une langue parfaite comme l'algèbre n'est pas tenue d'exprimer et qu'elle ne doit même pas pouvoir exprimer. Tout est précis, déterminant, dans la définition purement arithmétique, et néanmoins tout ne peut pas se traduire en algèbre : car la définition algébrique du nombre y consistera à écrire l'équation
et cette définition ambiguë convient, non-seulement au nombre y de la première définition, mais à d'autres nombres. ”