Système de coordonnées

“ Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. ”

“ Nous allons seulement démontrer une certaine relation générale entre les trois coordonnées d'un point et la distance de ce point à l'origine; relation qui sera souvent utile dans les applications du système de coordonnées, et qui, du reste, est un théorème de Géométrie qui mérite par lui-même d'être connu.
Soient les trois axes coordonnés ox, oy, oz; par un point m, menons trois plans parallèles aux trois plans coordonnés ; ils rencontreront les trois axes aux points a, b, c; les segments oa, ob, oc, sont les coordonnées du point m : soient menés, par le point o, un axe fixe oK ”

“ L'astronome européen emploie à volonté le premier ou le second système de coordonnées selon sa convenance; et, au besoin, il conclut les unes des autres, par les formules de la trigonométrie sphérique. ”

“ « Un lieu étant déterminé par une construction commune à tous ses points, ou par un certain système de coordonnées, trouver une autre construction, ou un autre système de coordonnées, qui satisfasse à tous les points de ce lieu, et qui en fasse connaître la nature et la position. » D'après l'énoncé de cette question générale, l'objet des porismes aurait été de faciliter les changements de construction des lieux, ou les changements de coordonnées propres à tous leurs points; et le Traité d'Euclide aurait été une collection de formules propres à atteindre ce but. ”

“ Ainsi, il faut exprimer ces six conditions arbitraires par six nouvelles équations qui, combinées avec les six arêtes, donneront le moyen d'éliminer les douze coordonnées. C'est dans l'art de conduire , de la manière la plus simple, ce calcul suivant les circonstances, que consistent les ressources de la méthode féconde des projections. On voit qu'elle est fondée essentiellement sur l'art de changer le système des coordonnées , afin de pouvoir choisir l'origine et les directions des axes le plus favorablement possible à l'objet qu'on a en vue. ”

“ Un tel système est constitué par trois axes que nous supposerons rectangulaires et un point de l’espace est défini par trois coordonnées x, y, z, qui sont les distances de ce point aux trois plans formés par ces axes. Les coordonnées d’un même point changent avec le système auquel on le rapporte et deviennent, par exemple, x', y', z' dans un nouveau système. On appelle formules de transformation des coordonnées, les relations qui expriment les coordonnées anciennes x, y, z en fonction des nouvelles x', y', z'. ”

“ Le passage du méridien origine dans le milieu d'un pays est un embarras pour la description géographique de ce pays. La nécessité de distinguer des longitudes orientales et occidentales, dont l'oubli est une source de confusion, est peut-être un des principaux obstacles qui s'opposent à la vulgarisation de la connaissance des coordonnées géographiques. Or c'est seulement à l'aide de ces coordonnées que l'on petit rendre détails de la Géographie à la fois certains et immédiatement accessibles. ”

“ Les calculs des coordonnées rectangulaires des lignes d'opération d'un réseau tétragonométrique ne doivent effrayer aucun de nos confrères, c'est un remède simple contre un mal grave.
Ce remède est surtout nécessaire si l'on vise à la précision ; il ne faut pas se dissimuler que l'établissement d'un plan coté présente de réelles difficultés et qu'il ne s'agit pas simplement de faire figurer sur ce plan les cotes relevées sur le terrain. Nous ne le pensons pas; ce serait, à notre avis, une grave erreur et mieux vaudrait
peut-être garder le système des plans purement graphiques. ”

“ Des essais faits à diverses échelles, tant sur des cartes que sur des globes, prouvent que, par l'application de ces conventions, on parvient, en multipliant les courbes, à produire des effets aussi satisfaisants que ceux qui sont obtenus avec des hachures, tout en maintenant un repérage facile entre les différentes parties d'une même carte et entre les différentes cartes.
CALCUL DES NOUVELLES COORDONNÉES. — La réalisation du système réclame d'abord la traduction des anciennes coordonnées duodécimales en coordonnées décimales. ”

“ Cherchons donc les formules qui peuvent résulter de cette manière de considérer la transformation des coordonnées. Soient les coordonnées rectangulaires primitives ; soient les coordonnées rectangulaires de même origine que l’on se propose de leur substituer : soit, l’axe fixe passant par l’origine autour duquel on suppose qu’il faut faire tourner le système primitif pour que les axes des , des et des viennent respectivement coïncider avec ceux des des et des ; supposons en outre que la rotation s’exécute des vers les des vers les et des vers les ”

“ Étant donné un système quelconque de points matériels qui s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton, on propose, sous la supposition qu'un choc n'ait jamais lieu, de représenter les coordonnées de chaque point sous forme de séries procédant suivant quelque fonction connue du temps et qui convergent uniformément pour toute valeur réelle de la variable. ”

“ Par exemple si la variété plane est à p dimensions (nous dirons qu'elle constitue un p-plan) , elle est définie par n — p relations linéaires indépendantes entre les coordonnées ; si on tire n — p des coordonnées, par exemple les n—p dernières, en fonction des p autres uI, u2,..., uP, on remplacera, dans les premiers membres des équations du système donné, uP+\...., un par leurs valeurs en fonction de uI, u2,..., uP ; on obtiendra ainsi des formes extérieures en uI, u2, ..., uP qui devront être identiquement nulles. ”

“ Un système de projection polyédrique est adopté, chaque feuille étant projetée sur le plan tangent en son centre. La carte est divisée en coupures par des limites parallèles aux axes de coordonnées (origine : extrémité sud de la base) ; chaque feuille au 20.000e a 8 kilomètres sur 10 kilomètres et chaque feuille au 50.000e, 23 kilomètres sur 28 kilomètres. ”

“ Pour cela, soient pris respectivement pour axes des pour passer au nouveau système de coordonnées, il faudra faire
ce qui donnera, en substituant,
(3) Si, dans cette équation, on fait tour-à-tour deux des coordonnées égales à zéro, et qu’on en tire ensuite la valeur de la troisième, on obtiendra ainsi les valeurs de qu’on trouvera être
Cela posé, considérons le tétraèdre rectangle dont le sommet est en et dont est la face hypothénusale. ”

“ Quadrillage des cartes. — Les coordonnées prises par rapport à des courbes comme sont les parallèles et les méridiens dans le système de Bonne, les parallèles dans le système de Lambert sont très incommodes pour les calculs. Aussi a-t-on pris pour axes dans les deux cas le méridien origine et la perpendiculaire à ce méridien au point central. A partir de ces deux axes on a tracé un quadrillage de kilomètre en kilomètre. ”

“ La troisième partie a pour objet l'étude des courbes dans le système géodésique orthogonal. L'étude des courbes dans ce système mérite un examen particulier, par suite des facilités qu'il introduit dans le calcul, et surtout de l'analogie qui existe entre ce système et celui des coordonnées polaires dans un plan. Toutes les formules que l'on obtient par ce système dans le cas des courbes planes ont leurs analogues dans le cas des courbes tracées sur une .surface traitée par le système
géodésique orthogonal ”

“ A chaque angle sont indiquées les coordonnées géographiques et les coordonnées rectangulaires (système Bonne) du sommet de l'angle par rapport au centre de projection.
- La précision des points géodésiques est bonne. L'erreur sur les autres points peut atteindre 100 mètres.
Carte au 50.000e (en noir) . — Amplification photographique du 80.000e ; par conséquent même précision. Il existe de cette carte des tirages portant le quadrillage kilométrique Lambert.
Carte au 10.000e et 20.000e (en noir) . - Ce sont les anciens « Plans Directeurs des places fortes ». ”

“ La position d'un point étant déterminée dans l'espace par trois coordonnées quelconques, faisant entre elles des angles donnés, on propose de changer les directions de ces coordonnées, supposant que l'on connaisse l'angle que fait chacune des noue: velles coordonnées avec chacune des anciennes. ”

“ À chaque instant en étudiant l’espace, nous faisons ce qu’on appelle un changement de coordonnées, par exemple nous faisons un changement d’axes rectangulaires ; ou bien nous passons aux coordonnées curvilignes. En étudiant un autre continu, nous faisons aussi des changements de coordonnées, c’est-à-dire que nous remplaçons nos coordonnées par fonctions continues quelconques de ces coordonnées. Pour nous qui tirons la notion du continu à dimensions, non de la définition analytique précitée, mais de je ne sais quelle source plus profonde, cette opération est toute naturelle ”

“ Systèmes de coordonnées. — Qu'on se figure une sphère terrestre ordinaire, mobile autour d'un axe dont les extrémités se trouvent sur un cercle de cuivre; ce cercle méridien peut se déplacer à son tour dans les entailles du support de bois; le pied, placé sur une table horizontale, peut tourner lui-même autour d'un axe vertical : ces divers mouvements suffisent pour pouvoir amener le globe dans une position déterminée quelconque. Cette sphère représentera le globe oculaire, et la ligne des pôles correspondra à la ligne de regard. ”

“ Supposons qu'on veuille démontrer, par la méthode des coordonnées en usage, ce théorème : Si, à une surface géométrique donnée, on mène tous ses plans tangents parallèles à un même plan transversal, leurs points de contact avec la surface auront, pour centre des moyennes distances, un même point de l'espace, quelle que soit la position du plan transversal. ”

“ Pour calculer des mouvements sur la terre, nous nous servons le plus souvent de coordonnées rattachées à cette dernière, sans tenir compte de la rotation, parce que nous savons par expérience que le mouvement d’un point de la surface terrestre peut être considéré, dans ces cas, comme inertial, à cause de la faible vitesse angulaire de la rotation. Pour les mesures astronomiques, nous nous servons de coordonnées orientées d’après les points de repère de la voûte céleste, ce qui a l’avantage de permettre une détermination très rigoureuse. ”

“ V. Tout ce que nous avons dit jusqu’ici de la géométrie de l’espace et des équations entre trois coordonnées et un nombre quelconque de paramètres variables, peut être appliqué, sans aucune restriction à la géométrie plane et aux équations entre deux coordonnées et un nombre quelconque de paramètres variables ; c’est-à-dire que de telles équations expriment toujours, quel que soit d’ailleurs le nombre des paramètres, une portion limitée finie ou infinie du plan des coordonnées ”

“ Mais il y a lieu de pousser cette étude plus loin et nous commencerons par former les développements des coordonnées en fonctions des éléments elliptiques (1) a, e, i, ג, + 0, θ,
Nous supposerons même d'abord que l'on a pris pour plan des x1 x2 le plan de l'orbite, pour axe des x1 le grand axe; de telle façon que l'inclinaison i soit nulle, de même que la longitude du périhélie g + θ, et que la longitude moyenne ג soit égale à l'anomalie moyenne l. ”

“ En continuant de la sorte on arrivera à l'expression suivante des coordonnées cherchées :
en sorte que le numérateur des coordonnées se composera de la somme des produits des coordonnées par les coefficients des différents points, et le dénominateur de la somme de ces coefficients. Le mode de formation des coordonnées finales montre que le centre des moyennes proportionnelles est indépendant de l'ordre dans lequel on a considéré les points. ”

“ Il faut déterminer ces coordonnées x, y, z, en fonction de X, Y, Z, Le rapport des perpendiculaires abaissées, du point M, sur le premier et le quatrième plan de la première figure, est égal à
la constante étant indépendante des coordonnées X, Y, Z, et ne renfermant que les coefficients A, B, C, A"', B"', C"', des équations des deux plans, et les quantités angulaires relatives aux axes coordonnés, que nous supposons obliques pour plus de généralité *. ”

“ La situation de tous les points dans l’espace étant déterminée par trois coordonnées savoir, par les distances à trois plans fixes normaux entre eux, il faut, avant tout, considérer les directions des axes normaux à ces plans : nous désignerons par les points de la surface de la sphère qui représentent ces directions ; leur distance mutuelle sera donc un quadrant. Du reste, nous supposerons les directions des axes allant vers les régions pour lesquelles les coordonnées correspondantes reçoivent un accroissement. ”

“ M. COURTIER a donné (1) les formules qui permettent de calculer, par l'intermédiaire des coordonnées orthogonales, les corrections d'orientation et de longueur dans le passage du sphéroïde au plan pour une projection quelconque avec les conventions suivantes.
Soient M et N un point de station et un point visé sur le sphéroïde (fig. 3) , M' (X, Y) et N' (X1, Y1) leurs homologues sur la projection. ”

“ Par un rayon quelconque, imaginons un plan perpendiculaire aux faces de cette lame ; le rayon, dans tout son trajet, ne sortira pas de ce plan, que nous pourrons prendre pour les plans des coordonnées rectangulaires, et qui coupera la lame suivant deux droites parallèles. ”