“ Je me propose, entre autres choses, de faire voir que toute caustique, pouvant toujours être considérée comme une développée, est conséquemment rectifiable. Sous le point de vue de l’utilité physique, cette propriété des caustiques n’est pas sans quelque importance, en ce qu’elle peut donner la mesure de l’intensité de la lumière aux différens points de ces sortes de courbes. On conçoit, en effet, que les arcs de caustiques qui reçoivent une égale quantité de rayons lumineux sont d’autant moins éclairés qu’ils ont plus de longueur. ”

“ THÉORÈME III. Une sphère transparente étant située dans un milieu homogène dont le pouvoir réfringent est différent du sien ; il existe toujours, sur la direction de chacun de ses diamètres, un point tellement situé que les rayons qui en émanent, après s’être réfractés à la rencontre de sa surface, vont concourir de nouveau en un autre point de ce diamètre. Ces deux points, situés d’un même côté du centre, sont conjugués l’un à l’autre par rapport à la sphère, c’est-à-dire, que le rectangle de leurs distances à son centre est équivalent au quarré de son rayon ”

“ Une partie de cette question ressort du calcul différentiel ; mais cette partie est peu étendue ; elle ne comprend que le cas où l’on demande le maximum ou le minimum d’une fonction dans laquelle on ne fait varier que les variables courantes Ainsi, ce sera la détermination de l’ordonnée maximum ou minimum d’une certaine courbe ou d’une certaine surface. Mais si, dans une fonction, on fait varier les constantes ou paramètres, on peut se demander quelles sont les valeurs à leur attribuer, pour que la fonction jouisse d’une certaine propriété à un degré maximum ou minimum. ”

“ THÉORÈME III. Deux milieux homogènes d’un pouvoir réfringent inégal étant séparés par une surface quelconque, et un point rayonnant étant situé d’une manière quelconque dans l’un d’eux, si, des différent points de la surface séparatrice des deux milieux, pris successivement pour centres, on décrit des sphères dont les rayons soient aux distances de leurs centres au point radieux dans le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence, l’enveloppe de toutes ces sphères sera une des surfaces trajectoires orthogonales des rayons réfractés. ”

“ On sait qu’étant proposé de résoudre l’équation en nombres entiers, il suffit de trouver une valeur a de comprise entre zéro et car les autres s’en déduisent en ajoutant à celle-là un multiple quelconque de de sorte qu’on a, en général, étant un nombre entier quelconque. ”

“ PROBLÈME. Deux systèmes de deux points, situés sur un même plan, déterminant deux droites, que quelque obstacle empêche de construire ; déterminer, en n’employant que la règle seulement, le point de concours de ces deux droites ?
 PROBLÈME. Deux systèmes de deux droites, situés sur un même plan, déterminant deux points que quelque obstacle empêche de construire ; déterminer, en n’employant que la règle seulement, la droite qui passe par ces deux points ? ”

“ Si l’on conçoit une sphère, de rayon quelconque, ayant son centre au sommet ou centre de la surface conique, les deux nappes de cette surface détermineront sur la sphère deux courbes fermées, égales et opposées, et les deux lignes focales perceront cette sphère en quatre points, situés sur la circonférence du grand cercle qui coupera les deux courbes en deux parties égales. ”

“ Toujours du moins demeure-t-il vrai qu’en y renonçant on parviendrait, en ne recourant, pour ainsi dire, qu’à la simple intuition, à pousser assez avant dans la géométrie des commençans que l’étude du calcul, présentée des l’entrée, ne rebute que trop souvent, et qui peut-être s’y livreraient plus tard avec beaucoup moins de répugnance, lorsque leur intelligence se serait agrandie et fortifiée, par l’étude d’une série plus ou moins prolongée de propriétés de l’étendue. ”

“ Avant qu’un coup soit commencé, chaque joueur parie contre le banquier, pour l’un ou l’autre des deux tirages dont ce coup sera composé. Le tirage qui amène le plus petit point, ou le moins éloigné de trente, est celui qui gagne. Le banquier paye aux joueurs qui ont parié pour ce tirage une somme égale à celle qu’ils ont jouée, et il prend les mises des joueurs qui ont parié pour l’autre tirage [1] . Si les deux tirages amènent des points égaux, et supérieurs à comme et et et le coup est nul : le banquier ne paye ni ne reçoit rien pour ces sortes de coups ”

“ Si, ayant divisé une circonférence en un nombre quelconque de parties égales, on abaisse de tous les points de division des perpendiculaires sur un diamètre mené par l’un d’eux, la somme des puissances impaires d’un même degré quelconque des distances du centre aux pieds de ces perpendiculaires, prises avec leurs signes, sera égale à zéro. ”

“ Mais, d’un autre côté, le théorème de Newton sur les sommes de puissances semblables des racines d’une équation quelconque, prouve que la somme des n.me puissances des racines de l’équation est égale à ou nulle, suivant que est ou n’est pas multiple de donc, en supposant la somme des fonctions (2) doit être nulle, et conséquemment la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme doivent séparément s’anéantir. ”

“ Or, on ne peut supposer parce que, sous le signe c’est le courant, et qu’il ne peut être nul qu’aux limites ; il faut donc que
(A) de sorte que cette équation sera l’équation différentielle du maximum ou du minimum cherché. Mais si
contient un coefficient différentiel de l’ordre il est clair que cette équation sera de l’ordre de sorte qu’en l’intégrant elle donnera constantes arbitraires ; or ; comme aux deux limites il faut qu’elle reproduise [4] en nombre on aura relations pour déterminer les constantes arbitraires introduites par l’intégration ; et on le pourra aisément. ”

“ Il nous a paru qu’un point de doctrine d’une importance aussi majeure, dont nous avons été frappés pour la première fois il y a plus de dix ans, et que l’esprit de détail avait dérobé jusqu’ici à la vue des géomètres, ne devait pas demeurer plus long-temps sans être mis en pleine évidence. Nous craignons bien toutefois que ce que nous venons d’écrire passe sans être aperçu ou que du moins d’après un examen superficiel, beaucoup n’y voient qu’un de ces rapprochemens forcés qui n’ont de consistance que dans l’esprit de ceux qui les imaginent. ”

“ Les géomètres ayant remarqué que les droites que déterminent deux sommets non consécutifs d’un polygone ou d’un polyèdre, ainsi que les plans que déterminent deux arêtes non consécutives d’un angle polyèdre, jouaient un rôle assez important en géométrie, ont cru utile de leur donner des dénominations particulières, et ils les ont appelés diagonales et plans diagonaux. ”

“ Enfin, leurs distances à son centre sont dans le rapport du quarré du sinus d’incidence dans le milieu où la sphère se trouve située au quarré du sinus de réfraction dans cette sphère ; ce qui les détermine complètement l’un et l’autre, et prouve en outre que le point rayonnant est intérieur ou extérieur à la sphère suivant que le pouvoir réfringent de cette sphère est supérieur ou inférieur à celui du milieu [2] . ”

“ Si, au contraire, on rétablit ce même terme, en donnant à son coefficient zéro un signe contraire au signe commun des deux termes qui le comprennent, ce qui est également permis, l’équation n’ayant toujours que permanences, on sera en droit d’en conclure qu’elle n’a pas plus de racines réelles négatives. Une telle équation n’a donc au plus que ou racines réelles ; elle a donc deux racines imaginaires, au moins. ”

“ Or, il est connu et d’ailleurs très-visible que, lorsque deux droites originales vont concourir en un des points d’un plan parallèle au tableau conduit par l’œil, leurs perspectives sont deux droites parallèles et réciproquement : donc les perspectives des côtés de l’hexagone qui concourent en ainsi que les perspectives de ceux qui concourent en seront des droites parallèles ; donc la perspective de la figure sera un hexagone inscrit à un cercle, dans lequel deux côtés seront respectivement parallèles à leurs opposés. ”

“ D’après ce qu’on a dit plus haut, on aura l’avantage du banquier, en multipliant cette valeur de par la demi-somme de toutes les mises ; en sorte que, pour racheter cet avantage, avant que le jeu commence, chaque joueur devrait convenir de donner au banquier, à tous les coups, y compris les coups nuls, les onze millièmes, à très-peu près, de l’argent qu’il voudra exposer. ”

“ THÉORÈME. Si des forces, au nombre de n, agissant sur un même point de l’espace, sont représentées, en intensité et en direction, par des droites issues de ce point, le centre des moyennes distances des points sera un des points de la résultante de ces forces ”

“ M. Dupin, en 1822, reprend la théorie de Malus, pour lui donner le complément qui lui manquait, et en 1823, d’une analise, également fort compliquée, (Annales, tom. XIV, pag. 129) , nous déduisons la possibilité de remplacer, pour des rayons originairement normaux à une même surface quelconque, l’effet d’un nombre quelconque de réfractions et de réflexions, soit par une réfraction soit par une réflexion unique. ”

“ Maintenant, pour répondre à M. Stein, il me suffira de mettre en regard son raisonnement et le mien, M. Stein donne à des valeurs qui ont pour dénominateur commun ; il trouve plusieurs ordonnées successives réelles : et, sans s’inquiéter si, entre elles, il n’en existe pas d’imaginaires, il conclut qu’il y a continuité, ou bien les valeurs qu’il donne à ont pour dénominateur commun il trouve plusieurs ordonnées successives imaginaires ”

“ Si, le centre de l’ellipse ou de l’hyperbole sphérique restant fixe, on conçoit que le centre de la sphère s’en éloigne continuellement, en suivant constamment la direction du rayon qui passe par ce point, la surface de cette sphère tendra sans cesse à devenir plane, et le deviendra en effet, lorsque son rayon sera devenu infini ”

“ Si, au lieu de prendre on fait, en général, étant un nombre entier quelconque, on trouve
et, comme le nombre est compris fois dans on pourra faire successivement et la valeur de l’intégrale (3) sera exprimée (dans le cas actuel, où l’on suppose que et ont un commun diviseur ) par la série
dont la somme
a pour valeur lorsque est un nombre entier, et se réduit à zéro, dans le cas contraire.
De là résulte 1.o que l’équation a toujours une solution entière, et plus petite que lorsque et n’ont d’autres diviseurs communs que l’unité ”

“ Par un rayon quelconque, imaginons un plan perpendiculaire aux faces de cette lame ; le rayon, dans tout son trajet, ne sortira pas de ce plan, que nous pourrons prendre pour les plans des coordonnées rectangulaires, et qui coupera la lame suivant deux droites parallèles. ”

“ Quant à nous, quelque plaisir que nous ayons à faire connaître à nos lecteurs les élégantes recherches de M. Dandelin, nous désirons sincèrement que le recueil périodique dans lequel il en consigne les résultats soit assez répandu en France pour que nous puissions nous dispenser à l’avenir de les entretenir des choses intéressantes qui s’y trouvent contenues, et nous borner à en faire à nous-même notre profit. ”

“ Voilà ce qui nous détermine à faire de cette sorte de géométrie en parties doubles, s’il est permis de s’exprimer ainsi, le sujet d’un écrit spécial dans lequel, après avoir rendu manifeste le fait philosophique dont il s’agit, dans l’exposé même des premières notions, nous nous en appuyerons, soit pour démontrer quelque théorèmes nouveaux, soit pour donner de quelques théorèmes déjà connus des démonstrations nouvelles, qui les rendent à l’avenir tout à fait indépendans des relations métriques desquelles on a été jusqu’ici dans l’usage de les déduire. ”

“ Or, comme la première est la corde elle-même, il suffira de construire l’autre, que l’on voit être également une droite, laquelle coupera conséquemment la corde au point cherché ; ce qui prouve, en premier lieu, que jamais l’enveloppe ne saurait toucher une corde en plusieurs points. ”

“ La variable restant la même, si le nombre augmente indéfiniment, la probabilité variera très-peu, et les limites de la différence décroîtront de plus en plus ; de manière qu’on pourra toujours prendre assez grand pour que ces limites tombent au-dessous de toute quantité donnée. ”