Ellipse

“ Nous avons vu que, si l'on suppose qu'une ellipse est une ligne polie à l'intérieur, tous les rayons calorifiques ou lumineux, émanés de l'un des foyers, iront converger à l'autre; imaginons actuellement que cette ligne tourne autour de son grand axe, elle engendrera une surface que nous avons désignée sous le nom d'ellipsoïde allongé. Il est à remarquer que tous les méridiens de cette surface de révolution auront les mêmes foyers et que l'effet dont nous venons de parler se produira pour chacun de ces méridiens. ”

“ Construire une ellipse dont on connaît un sommet, un foyer et une tangente.
13. Le lieu géométrique des points d'intersection des diagonales d'un trapèze dont la base inférieure est fixe et dont la base supérieure est constante, ainsi que la somme des deux côtés non parallèles, est une ellipse. (Nouvelles Annales de mathématiques, tome II.) 14. Etant donnés un cercle et un point dans son intérieur, si sur chacun des diamètres de ce cercle on décrit une ellipse qui ait ce diamètre pour grand axe et qui passe par ce point, quel sera le lieu géométrique des foyers de ces ellipses? ”

“ Une courbe ovale, qui diffère peu d’un cercle, différera encore moins d’une ellipse choisie convenablement ; mais, pour regarder le mouvement elliptique comme une loi de la nature, il fallait partir de l’idée que la nature suit de préférence des lois simples, comme celles qui nous guident dans nos spéculations abstraites ; il fallait trouver dans la contemplation des rapports mathématiques des motifs de préférer, comme plus simple, l’hypothèse du mouvement elliptique à celle des mouvements circulaires combinés. ”

“ Quand nous voyons la terre se mouvoir autour du soleil suivant une ellipse déterminée, nous devons admettre que cette ellipse est la résultante des chocs inégalement énergiques et dirigés en tous sens que la terre subit de la part de l’éther dont elle est environnée. ”

“ Vous vous rappelez que les planètes — dont la Terre — ne décrivent pas autour du Soleil un orbe rond dont le Soleil serait le centre, mais un orbe ovale, une ellipse, dont le Soleil occupe seulement l’un des deux foyers. ”

“ Les principales figurés de mots de la première espèce sont : l'ellipse le pléonasme, la syllepse, l'inversion, la répétition, la périphrase.
- 40 Ellipse.
L'ellipse est une figure par laquelle on supprime un ou plusieurs mots que la grammaire regarderait comme nécessaires. Elle donne à la phrase de la précision, au style de la rapidité; mais il faut éviter les ellipses trop fortes, qui nuisent à la clarté de la pensée.
Il y a ellipse dans les exemples suivants : Le crime fait la honte, et non pas l'échafaud. ”

“ Une ellipse est une figure courbe régulière plus longue que large et allant en se rétrécissant du milieu vers les deux extrémités; l'ellipse peut être plus ou moins étroite et plus ou moins allongée. Un grand nombre de feuilles et de folioles sont de forme elliptique. Élongation, Elongatio, allongement; se ditlles phénomènes physiologiques en vertu desquels les tiges et les racines s'accroissent en longueur. — Qui est plus long et plus étroit que dans d'autres cas analogues.—L'élongation accidentelle des organes axiles et des organes appendiculaires constitue une classe d'anomalies. ”

“ Recherche de l’ellipse de plus grande surface inscriptible à un triangle donné, de l’ellipse de moindre surface circonscriptible à un triangle donné, de l’ellipsoïde de plus grand volume inscriptible à un tétraèdre donné et de l’ellipsoïde de moindre volume circonscriplible à un tétraèdre donné ”

“ Mais ici la grande simplicité de ce cas mathématique a permis de reconnaître que l’ellipse était bien en effet le mouvement vrai, et que si, par exemple, il n’y avait eu dans l’espace que le soleil et la terre, celle-ci décrirait une ellipse régulière, tandis que, dans le domaine de la vie, l’infinie complication ne permet pas à notre intelligence trop faible de dégager l’évolution idéale telle qu’elle se comporterait, indépendamment des actions perturbatrices. ”

“ L'ellipse est la courbe qu'on obtiendrait en coupant obliquement par un plan qui le traverserait entièrement, un cône droit, un pain de sucre par exemples. L'ellipsoïde est le solide qu'engendrerait l'ellipse en la faisant tourner sur l'un de ses axes. ”

“ L’intersection de l’ellipsoïde d’élasticité par un plan sera une ellipse que nous désignerons par un déplacement suivant un des axes de cette ellipse donnera naissance à une force élastique qui, en général, ne sera pas dans le plan de l’ellipse mais dont la projection sur ce plan sera dirigée suivant l’axe lui-même. ”

“ Imaginez une ellipse à peu près circulaire représentant l'orbite terrestre. Par l'un des foyers, menez une ligne droite qui coupera en deux points diamétralement opposés la courbe tracée : l'un de ces points représentera l'équinoxe du printemps de l'année où nous sommes, par exemple. Appliquez maintenant le long de cette
ligne une feuille de carton inclinée sur le plan de la courbe, comme l'équateur terrestre l'est sur l'écliptique. ”

“ Intuitivement, nous pouvons donc considérer cette droite à l'infini comme enveloppant le plan, au delà de tous les points propres, et une ellipse dont les axes s'allongent indéfiniment, et qui tend, elle aussi, à envelopper tout le plan, peut être considérée intuitivement comme tendant à s'appliquer sur la droite à l'infini. ”

“ Des esprits de valeur soutiennent qu’aux seconds foyers des ellipses planétaires, d’autres Soleils, inconnaissables aux prunelles des hommes, s’épanouissent. Lisez là-dessus la plaquette de Jean Saryer [12] : « Le Soleil et l’autre Soleil invisible, foyers réels de l’ellipse, sièges de deux forces égales accouplées dans l’immensité... entraîneraient la Terre avec une influence constante de direction... L’autre astre rayonnerait peut-être de la lumière froide et éclairerait des êtres invisibles à l’homme. » — Un monde de la même contexture que celui de là-haut qui nous enveloppe ! ”

“ Si les deux foyers d’une ellipse s’éloignent jusqu’à arriver aux extrémités du grand axe, l’ellipse devient alors une ligne droite ; & si un des foyers restant en place, l’autre s’en éloigne à l’infini, elle devient parabole. ”

“ L’ellipse fait bien voir la vérité de ce que nous avons dit de la pensée au mot Déclinaison & au mot Construction. La pensée n’a qu’un instant, c’est un point de vûe de l’esprit ; mais il faut des mots pour la faire passer dans l’esprit des autres : or on retranche souvent ceux qui peuvent être aisément suppléés, & c’est l’ellipse. Voyez Elliptique. (F)
Ellipse, s. f. en Géométrie, est une des sections coniques qu’on appelle vulgairement ovale. Voyez Conique & Ovale. ”

“ La perspective peut transformer en effet le cube en pyramide ou en carré, le cercle en ellipse ou en ligne droite ; et ces formes fictives sont beaucoup plus importantes à considérer que les formes réelles, puisque ce sont les seules que nous voyons et que la photographie ou la peinture puissent reproduire. ”

“ C'est vers la forme de l'ellipsoïde de révolution, dit ellipsoïde à deux axes. surface engendrée par la rotation du sommet d'une ellipse autour de son grand axe, que tendent les surfaces oculaires.
Ces surfaces possèdent sur celles qui sont sphériques l'avantage de diminuer l'aberration de sphéricité, par la dégradation insensible de leur courbure, dégradation qui facilite la réunion en un point unique des rayons excentriques et de ceux plus voisins de l'axe. Cette propriété rend plus étendue la portion utilisable de la calotte. ”

“ On nomme ellipsoïde une courbe plus allongée que l'ellipse. Le tracé des ellipses allongées est d'un usage fréquent; il y en a de plusieurs formes.
1° Soit une ligne A D (figure 77) , construire une ellipsoïde sur cette ligne, qui en sera le grand axe. Partagez la droite A D en quatre parties égales, et sur le centre de similitude 0, élevez une perpendiculaire P Q: prenez OJ, 01= 06; puis,
Fig. ”

“ L'ellipse commence à s'écarter de cette ordonnance, et a deux centres ; et la parabole, ainsi que les autres courbes qui leur sont analogues, en ont une infinité renfermés dans leur axe, dont elles s'éloignent de plus en plus en formant des espèces d'entonnoirs. En supposant cette génération ascendante de formes depuis la ligne par le triangle jusqu'au cercle, et leur génération descendante depuis le cercle par l'ovale jusqu'à la parabole, je déduis de ces cinq formes élémentaires toutes les formes de la nature, connue avec les cinq couleurs primordiales j'en compose toutes les nuances. ”

“ Dans le cas particulier de cristaux à un axe l’ellipsoïde d’élasticité est de révolution ; l’ellipsoïde réciproque, et par suite la surface d’onde le sont également. L’intersection de cette surface par deux des plans de symétrie se compose d’une ellipse et d’un cercle ; l’intersection par le troisième plan de symétrie est formée de deux cercles. — La surface d’onde se compose alors d’une sphère et d’un ellipsoïde de révolution tangents. ”

“ R. Cet exercice a pour but de faire acquérir aux doigts la flexibilité nécessaire à une formation hardie et régulière des lettres ou parties de lettres dérivant de 1 ellipse inverse ou de faciliter la bonne tenue de la plume.
D. Comment l'ellipse inverse continue doit- R. L'ellipse inverse doit être exécutée autour d'une ligne oblique, de la même manière elle être exécutée et saccadée ? que l'ellipse directe et saccadée en a mouvements, 1 pour remonter, 2 pour descendre. ”

“ De ces divers résultats dérivent immédiatement plusieurs conséquences, dont les plus remarquables sont les suivantes : 1.o de quelque manière que varie la direction du rayon incident, les rayons réfléchis d’un même ordre sont constamment normaux à une même ellipse, et conséquemment tangens à sa développée ; 2.o cette ellipse a son grand axe sur la perpendiculaire menée par la lumière au plan du miroir ; 3.o la situation de son centre dépend de celle de la lumière ; mais ses dimensions en sont indépendantes ”

“ Les planètes , dans leur mouvement, parcourent des ellipses , ayant le centre du soleil pour un de leurs foyers. 319 Des surfaces de révolution qu'on forme, en faisant tourner l'ellipse sur son grand axe. ”

“ La force est donc comme la distance du corps au centre de l’ellipse : & réciproquement, si la force est comme la distance, le corps décrira ou une ellipse dont le centre sera le même que le centre des forces, ou le cercle dans lequel l’ellipse peut se changer. ”

“ Que tous les diametres des cercles & des ellipses se coupent au centre & en-dedans de la courbe ; que ceux de la parabole sont tous paralleles entr’eux & à l’axe ; que ceux de l’hyperbole se coupent au centre, aussi bien que ceux de l’ellipse, mais avec cette différence que c’est en-dehors de la courbe. ”

“ On peut donc énoncer le théorème suivant :
(*) D'après ce qui précède, pour construire les foyers d'une ellipse A (fig. 7 bis) dont on connaît le grand axe aa' et le petit axe bb, on devra d'abord mener au sommet a une tangente 6 à l'ellipse et au sommet b, une tangente J' qui coupera la droite a en un point m; ensuite on décrira, du point m comme centre, et avec ma pour rayon, un cercle C; enfin menant du sommet b ( extrémité du petit axe) deux tangentes au cercle C, ces tangentes couperont le grand axe aa' en deux points f et f' qui seront des foyers demandés. ”

“ Quand un cercle pivote, et présente, après sa face, peu à peu, sa tranche, l'œil droit voit une ellipse, l'œil gauche une ellipse très différente, et les deux yeux deux ellipses croisées et des apparences mobiles très compliquées. ”

“ Si l'on donne spécialement deux surfaces de révolution, chacune d'elles étant engendrée par une ellipse tournant autour de l'un de ses axes, l'une des courbes d'intersection des plans auxiliaires sera une ellipse dont on trouvera les axes. ”

“ Pour compléter cette théorie, il resterait à assigner, 1.o la plus grande ellipse circonscrite à un quadrilatère quelconque ; 2.o le plus grand ellipsoïde inscrit à un hexaèdre octogone quelconque ; 3.o le plus petit ellipsoïde circonscrit à un octaèdre hexagone quelconque. Si nous sommes assez heureux pour jamais parvenir à ces diverses déterminations, nous nous empresserons de faire connaître les résultats auxquels nous serons parvenus. ”

“ La surface d'intrados (fig. 2 et 7) est formée par un ellipsoïde de révolution, dont le grand axe AA, A'A' est parallèle aux deux plans de projection, et qui a pour section méridienne la demi-ellipse A'a'A' (fig. 2) .
L'ellipse horizontale EE, E'E', est l'arête d'intrados par laquelle nous voulons faire passer une surface de joint.
to - Le point BB' de l'ellipse EE' (fig. 7) étant pris sur l'une des diagonales du rectangle circonscrit, on le rabattra en B" sur le plan horizontal qui contient le centre de la voûte. ”

“ Cette courbe est une ellipse dont la terre occupe l'un de* fovers. L'excentricité de l'ellipse est un dix-huitième.
Le mouvement de la lune sur l'ellipse s'effectue suivant la loi des aires; le rayon vecteur, mené du centre de la terre au centre de la lune, décrit des aires proportionnelles aux temps.
164. Rétrogradation des nœuds. — Le mouvement elliptique ne représente qu'imparfaitement le mouvement de la lune; en réalité, la courbe décrite par la lune n'est ni une ellipse, ni même une courbe plane; elle est extrêmement compliquée. ”

“ « Les points M et L, où le graud axe rencontre la courbe, se nomment les sommets.
« Les intervalles AL et BM compris entre les foyers et les sommets s'appellent les distances focales. « Si ces explications sont bien comprises, on voit que l'ellipse est un cercle aplati sur un sens, et qu'il y a un nombre infini d'ellipses, suivant l'inégalité plus ou moins grande des axes. Si l'on suppose un instant l'égalité des axes, l'ellipse se transforme en cercle. »
Dessiner l'ellipse fig. 62. Pour dessiner cette courbe, qui est d'un grand usage dans les arts, l'élève tracera les deux axes CD, LM ”

“ Démonstration de quatre théorèmes sur l’ellipse ; par M. Durrande.
Démonstration de deux théorèmes sur l’ellipse et l’ellipsoïde ; par MM. Durrande et Tédenat.
Autre démonstration des mêmes théorèmes et de théorèmes plus généraux ; par M. Pagani Michel.
Démonstration géométrique de diverses propriétés de l’ellipse et de l’ellipsoïde ; par M. Durrande. ”