Jacques Babinet

“ La physique, la météorologie et la mécanique se sont aussi emparées des méthodes de la géométrie descriptive, pour découvrir, par des constructions graphiques, des lois naturelles que leur complication ne permettait point de reconnaître immédiatement.
L'habitude de l'emploi de la science qui nous occupe donne une telle clarté à la conception des mouvements des corps dans l'espace, que son étude est devenue de première nécessité pour les ingénieurs, les astronomes, les navigateurs, et même pour ceux qui ont à trouver les premières approximations dans des calculs purement arithmétiques. ”

“ Am est en grandeur et en projection horizontale le rayon du parallèle de la surface de révolution passant par le point M de l'espace, ce parallèle se projetant en véritable grandeur sur le plan horizontal. ”

“ Cette droite est l'axe de révolution, chaque circonférence est un parallèle et l'ensemble des circonférences forme la surface de révolution.
Si l'on suppose qu'un plan passe par l'axe de révolution et vienne couper la surface, la ligne d'intersection se nomme méridien. Il est évident qu'il y a une infinité de plans méridiens, et que tous les méridiens sont égaux. C'est ainsi que la sphère a pour méridien un grand cercle, le cylindre droit à base circulaire une droite parallèle à l'axe du cylindre ; le cône droit à base circulaire a pour génératrice une ligne droite qui rencontre l'axe. ”

“ S'il est un cas où la véritable marche des rayons lumineux diffère de la direction rectiligne rigoureuse que tout le monde attribue aux rayons lumineux, c'est évidemment le cas des rayons de lumière émanés d'un seul et même point et qui viennent raser la surface des corps. Une portion sensible de la lumière s infléchit toujours dans l'ombre quand un rayon est isolé et constitue cette propriété physique de la lumière qu'on appelle la diffraction. ”

“ Chaque plan tangent en un point est le prolongement dans tous les sens de l'élément plan triangulaire. Or, toute courbe tracée sur la surface et passant par le triangle qui contient le point de contact, aura évidemment un élément commun avec le triangle, et n'en aura qu'un seul, puisque les autres triangles voisins ne coïncident pas avec lui. Elle aura donc sa tangente dans le plan de ce triangle. ”

“ SCOLIE II. Une même surface de révolution peut être engendrée d'une infinité de manières; car une ligne quelconque tracée sur la surface et tournant autour de l'axe de révolution, engendre les mêmes parallèles, et par conséquent la même surface de révolution. ”

“ L'hélice est la seule ligne, différente de la droite et
du cercle, qui est telle que toutes ses parties coïncident : c'est pour cette raison que l'hélice est une des courbes dont on fait le plus d'usage : dans la mécanique, pour les vis; dans les constructions, pour l'escalier; dans l'art nautique, pour les roues des bateaux à vapeur, etc., etc.
SCOLIE II. L'héliçoïde développable est la surface réglée engendrée par l'ensemble des droites tangentes à tous les points de l'hélice. ”

“ Si l'on considère un corps solide et opaque placé d'une manière quelconque par rapport au centre de lumière ou point rayonnant, tous les points de l'espace qui pourraient être joints à ce point par une ligne droite qui ne rencontre pas le corps opaque seront éclairés, tandis que tous les autres points de l'espace qui, dans le trajet rectiligne du centre à ce point, rencontreraient le corps solide, seront privés de lumière et par suite seront dans ce qu'on nomme l'ombre par rapport à ce point éclairant. ”

“ PROBLÈME IL Trouver l'ombre portée par un gnomon sur un mur vertical ou incliné *, pour une position particulière du soleil.
* Le gnomon est une plaque métallique peu épaisse percée d'un trou, qui permet le passage aux rayons du soleil. La série des points que ces rayons illuminent dans un jour sur un plan horizontal est une hyperbole, intersection d'un cône avec un plan, à moins qu'on ne soit par des latitudes où le soleil ne se couche pas; car alors l'intersection du cône par le plan serait une ellipse. ”

“ Comme d'autre part la tangente au parallèle est perpendiculaire au méridien, il en résulte que le plan tangent est lui-même perpendiculaire au méridien qui passe par le point de contact; en sorte que l'on dit ordinairement que le plan tangent à une surface de révolution est le plan mené perpendiculairement au méridien par la tangente à ce méridien même. ”

“ En effet, tous ceux qui ont cultivé les sciences même élémentaires, après s'être convaincus de la vérité d'un théorème , n'en retiennent pour leur usage que l'énoncé, sans se tenir prêts à en fournir immédiatement la démonstration. C'est ainsi qu'on a dans la mémoire la surface d'un cercle , le volume d'une pyramide, et toutes les formules trigonométriques, quelle que soit la marche qu'on ait suivie pour arriver à la conclusion pratique. ”

“ Quand on ne veut avoir que le développement de la surface, cette construction est inutile.
On a aussi, pour le cône, imaginé la construction de l'intersection du cône avec une sphère dont le centre est au sommet du cône. Évidemment, cette courbe qui, dans le développement, deviendrait un arc de cercle, et les génératrices menées à ses différents points étant prolongées jusqu'à la base plane ou à double courbure du cône , donneraient autant de points du développement de la surface. La ligne qui joindrait ces points serait la transformée plane de la base du cône. ”

“ Mener un plan tangent à un conoïde par un point pris sur sa surface.
On mène par le point donné la génératrice rectiligne; puis on considère le paraboloïde hyperbolique, qui aurait pour plan directeur le plan directeur du conoïde, et qui aurait pour directrices rectilignes la directrice rectiligne du conoïde et la tangente à la courbe directrice menée par le point de cette courbe situé sur la génératrice rectiligne qui passe par le point donné : le problème est donc ramené au problème VIII ci-dessus. ”

“ Si la courbe limite de la surface a une tangente dans l'espace, cette tangente fera, dans le développement avec la génératrice, le même angle que dans l'espace, ce qui donnera une construction identique à celle de la tangente à la transformée dans le cas du cylindre ou du cône.
12. D'après plusieurs auteurs, il semblerait qu'il est nécessaire de connaître la forme de la transformée de la courbe donnée pour opérer le développement; on voit que rien n'est moins utile. ”

“ Pour les surfaces de révolution, tout parallèle, passant par un point donné est une section circulaire, dont là tangente, jointe à la tangente au méridien du même point, détermine le plan tangent.
10. Quant au plan tangent aux surfaces gauches, en général on substitue à ces surfaces d'autres surfaces gauches plus simples, qui donnent en chaque point deux génératrices rectilignes appartenant à deux systèmes différents; chaque génératrice étant sa propre tangente, par conséquent leur plan est le plan tangent demandé. ”

“ Faisons encore observer que si une droite étant parallèle à l'un des plans de projection on prend une longueur déterminée de cette droite, elle se projettera en vraie grandeur sur ce plan de projection, puisque sa projection sur ce point lui est parallèle.
Il est évident que si une droite est donnée sur une épure par ses projections, pour concevoir la droite dans l'espace on doit faire tourner par la pensée le plan vertical rectangulairement au plan horizontal ”

“ Dans le changement, la nouvelle ligne de terre est parallèle à la première; la projection verticale d'un point n'a pas changé, et la projection horizontale de ce point est à une distance de la nouvelle ligne de terre égale à la distance du point au plan vertical, c'est-à-dire à la distance de la première projection horizontale à la première ligne de terre. ”

“ En effet, si par l'œil de l'observateur on mène une parallèle aux lignes données, cette droite sera l'intersection de tous les plans conduits par les droites données et l'œil de l'observateur; or les intersections de ces plans avec le plan du tableau donnent pour perspectives des lignes passant par le point où la parallèle coupe le plan du tableau.
Nous énonçons seulement les problèmes qui suivent. ”

“ THÉORÈME J. Quand une droite est perpendiculaire à deux droites qui passent par son pied dans un plati, elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans ce plan, et par suite elle est perpendiculaire au plan. ”

“ On conçoit de même chaque surface de révolution comme donnant naissance à une série de surfaces dérivées du type primitif par voie de dilatation ou de compression. Ce genre d'analogie, qui a été peu étudié jusqu'à présent, est éminemment utile pour substituer les constructions à faire sur les surfaces de révolution à des constructions relatives à des surfaces moins simples. ”

“ On prendra, à gauche et à droite du point sur la courbe, deux points assez rapprochés pour que les deux cordes menées à ces points auxiliaires par le point donné se confondent presque graphiquement avec la courbe. On achèvera la construction comme il vient d'être dit dans le problème précédent.
Dans presque toutes les constructions de la Géométrie descriptive, on détermine des points suffisamment rapprochés pour servir ensuite à tracer un trait continu : trois de ces points consécutifs donneront le moyen de mener une tangente en l'un de ces points. ”

“ On construit des génératrices rectilignes de la première surface, et l'on cherche la rencontre de chacune d'elles avec la seconde surface gauche, par les procédés indiqués dans le problème 1. Cela revient toujours à chercher l'intersection d'un plan et d'une surface gauche, et mieux encore, l'intersection d'une droite avec un plan, problème véritablement fondamental de la géométrie descriptive, comme nous l'avons fait remarquer dans plusieurs circonstances. ”

“ On donne dans un angle solide trièdre deux faces et l'angle dièdre opposé à l'une d'elles; on demande de construire l'angle solide trièdre.
Soit SB l'arête de l'angle dièdre donné, les deux faces étant ASB, ASC; je prends la face ASB pour plan horizontal, et je rabats sur ce plan autour de SA, comme charnière, la face ASC.
Dans ce rabattement, un point F de l'arête SC se rabat en Fu et, dans son mouvement, la perpendiculaire FtG à SA décrit un plan vertical perpendiculaire à SA ; soit K le point où sa trace horizontale rencontre l'arête SB.
Appelons ce plan premier plan auxiliaire. ”

“ Un genre plus étendu encore de surface canal est produit par le mouvement d'un cercle de grandeur constante, dont le centre se meut sur une courbe donnée, et dont le plan reste perpendiculaire aux éléments de la courbe directrice. ”