Guillaume Henri Dufour

“ Le problème de mener par une droite un plan parallèle à une autre droite se ramène au précédent; en effet, par un point quelconque de la première droite, on construit une ligne parallèle
à la seconde (ce qui se fait par le premier ploblème) ; et par ces deux droites on construit un plan comme ci-dessus : c'est le plan demandé ; car, premièrement , il passe par la première droite donnée; et en second lieu, il est parallèle à l'autre droite, puisqu'il contient une ligne parallèle à cette dernière. ”

“ En effet, le plan projetant de la droite AC étant vertical, est perpendiculaire sur le plan horizontal; de plus, il est perpendiculaire au plan cherché, puisqu'il passe par la ligne AC perpendiculaire à ce dernier. Or, quand un plan est perpendiculaire à deux autres, il est perpendiculaire à leur intersection commune; donc le plan projetant de AC est perpendiculaire sur FN, et par conséquent sa trace El est aussi perpendiculaire sur FN. On démontre de même que la trace verticale du plan doit être perpendiculaire à la projection verticale de la droite. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ Tous les points de la droite, menés par le pied du spectateur parallèlement au tableau, sont dans ce cas; ils n'ont pas de perspective, ou, ce qui est la même chose, leur perspective est à l'infini.
A mesure que la ligne GJP se relève, le point G s'éloigne de la ligne d'horizon jusqu'à l'infini, et
si la droite se relève ençore, ce point paraîtra tout à coup en-dessus de la ligne d'horizon, et s'en ap prochera toujours plus, à mesure que la droite se relèvera. ”

“ On voit ainsi que par chaque point de la surface, tel que le point S, il passe deux génératrices, l'une qui est un cercle dont le plan est per- pendiculaire à l'axe MN, et l'autre qui est la courbe méridienne elle-même qu'on a fait tourner jusque là. Ainsi la surface de révolution est susceptible de deux générations, ou par la courbe méridienne tournant autour de l'axe sans changer de grandeur ni de forme, ou par un cercle variable de grandeur, dont le centre se meut le long de l'axe, et dont le plan est toujours perpendiculaire à cet axe. ”

“ On voit par là que, pour trouver l'ombre portée par un polyèdre, c'est-à-dire par un corps dont la surface est composée de polygones plans, il faut d'abord rechercher quelles sont celles des arètes qui séparent les faces éclairées des faces qui sont dans l'ombre, ce qui est ordinairement très facile: leur ensemble constitue le contour de l'ombre du corps sur lui-même. Après cela, on fera pour chaque arète ce que nous avons dit, dans le numéro précédent, devoir être fait pour une seule droite ”

“ On verra, par les applications des méthodes -
précédentes, combien elles simplifient la recherche de certains problèmes de la plus haute difficulté pour ceux qui n'ont appris à les résoudre que par des méthodes dont ils ne se rendent pas un compte suffisant, ou que même ils ne comprennent pas du tout : une fois qu'ils les ont oubliées, c'est pour toujours ; ils ne les retrouvent plus, parce qu'ils ignorent les principes sur lesquels elles sont fondées. ”

“ PQ est une droite connue de position quand on a son point de concours Q et son intersection P avec le plan horizontal, intersection qu'on peut appeler la trace ou le pied de la droite. Si la droite avait une inclinaison contraire, le point Q serait en - dessous de la ligne d'horizon. ”

“ Un rayon quelconque, en touchant la surface éclairée, détermine un point de la courbe, qui est la ligne de séparation d'ombre et de lumière ou le contour de l'ombre sur le corps; et ce rayon est une des génératrices de la sur- , face cylindrique qui détermine , par son contact , avec la surface éclairée, la courbe de séparation.
Chaque ra yon lumineux , ou, ce qui est la même chose, chaque génératrice du cylindre, par son .7 intersection avec une surface quelconque, par exemple, un plan, donne un point de la courbe
qui est le contour de l'ombre portée par le corps sur le plan. ”

“ Il est encore possible que le cy lindre, quoique incliné, ne soit pas donné par sa trace horizontale, mais par sa base, qui elle-même serait dans un plan incliné à l'horizon, comme cela arrive lorsqu'on représente un tronçon de colonne appuyé obliquement contre un objet qui le soutient.
Voici ce qu'il y aura à faire dans ce cas : Soit SABCD (fig. 28) le cylindre; on connaît ordinairement alors la trace horizontale MN du
plan de la base et la projection horizontale de la courbe, parce qu'une semblable perspective suppose toutes ces choses ”

“ Ch) Il est facile, lorsque l'on a deux droites AS, AT ( fig. 5 ) , sur un tableau, de trouver l'angle que font réellement entre elles les droites que les premières représentent.
Pour cela , on élève sur la ligne XY et par le point de vue R la perpendiculaire RO que l'on fait égale à RD; alors le point 0 donne la position de l'œil de l'observateur, dans le rabattement du plan horizontal dont XY est la trace. Si nous joignons ensuite les points S et T, oh nos deux droites coupent la ligne d'horizon, avec le point 0, on aura les deux lignes OS et OT qui comprendront entre elles l'angle demandé. ”

“ Lorsque les deux points D et B viennent se réunir en un seul A, le plan SsA n'est plus sécant, mais simplement tangent au cylindre suivant la génératrice Aa. Alors la droite correspondante Oa
n'ayant non plus qu'un seul point commun a avec la courbe, lui est tangente, et par conséquent y - donne une limite au-delà de laquelle la courbe ne doit pas s'étendre. On trouve une semblable limite de l'autre côté, en menant du point s une second e tangente Ji la courbe ABCD. > 25. Si le cylindre est horizontal, on n'aura pas sa trace, ce que suppose cependant la construction. ”

“ Il résulte de là que si l'on veut considérer la ligne AB comme la base du tableau, la ligne X' Y' comme la ligne d'horizon, les points S, T et T', comme le point de vue et les deux points de distance, les opérations nécessaires pour mettre en perspective une figure quelconque tracée sur le
plan vertical BAS seront absolument les mêmes que pour mettre en perspective les figures tracées sur le plan horizontal ”

“ Pour avoir la trace verticale, il faudrait chercher le point où la droite EX perce le plan vertical; c'est quelque part sur la ligne RD', laquelle est la projection verticale de EX ( n° 6) . Ce point étant trouvé, on le réunira avec le point de concours des lignes WX, EZ et RD; et le problème sera résolu, puisqu'on aura les deux traces du plan tangent. ,
55. Ici se termine ce que j'ai à dire sur la Géométrie perspective. On voit que tout ce qui a rap port à la véritable grandeur des lignes ou à l'ouverture des angles n'est point entré dans nos problèmes. ”

“ Remarquons qu'une fois le point 0 trouvé, l'opération deviendrait plus simple pour Rne autre droite pareille à BB', parce qu'elle se réduirait à joindre son pied avec le point 0 et son extrémité avec le point S par deux droites qui, en se recroisant, donneraient l'extrémité de l'ombre.
Toutes les ombres doivent aller en 0, parce qu'en réalité elles sont parallèles, et que par conséquent elles doivent avoir un point de concours en perspective. ”

“ D'après cela, il est clair que l'ombre por- tée par une ligne droite sur un plan est une autre ligne droite; puisque, pour obtenir cette ombre, il , faut, par tous les points de la droite, imaginer des rayons de lumière, lesquels se trouveront dans un seul et même plan, soit qu'ils se dirigent parallèlement entre eux, comme dans le cas de la lumière solaire, soit qu'ils partent d'un même point,, comme d'une lampe ou d'une bougie. ”

“ IL est extrêmement important que les principes d'une science soient rigoureusement démontrés, et d'une manière aussi simple que possible. Ceux de la Perspective n'ont pas cet avantage dans la plupart des traités qui sont entre les mains des artistes ”

“ De la ligne droite et dù plan.
i. Toute la science de la Perspective repose, comme on sait, sur le principe (*) , que les lignes parallèles représentées sur le tableau concourent en un point ; et ce point n'est autre chose que l'intersection avec le tableau d'une droite menée par
(*) Voyez les notes.
Vœil y parallèlement au sysèine des lignes représentées.
2. On peut généraliser le principe, et en tirer - des conséquences utiles pour la pratique : Tous les plans parallèles mis en perspective ont une ligne de concours. ”

“ Lorsque le corps éclairant ou point lumineux n'est pas très éloigné du corps éclairé, les rayons ne sont plus parallèles entre eux , et la surface qu'ils forment autour du corps éclairé n'est plus cyJindrique, mais conique. ”