Géométrie descriptive

“ Il ne faut point perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux constructions en relief par des constructions planes, substitution qui constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie descriptive. ”

“ La géométrie descriptive est l'art de représenter les objets en les projetant sur des plans, que pour plus de simplicité et de clarté l'on choisit ordinairement horizontaux et verticaux, et au moyen de coupes de ces objets par des plans verticaux. ”

“ Et dès lors comment des géomètres peuvent-ils se prononcer sur la géométrie descriptive, et sans craindre d'errer, lorsqu'ils en connaissent seulement les premiers éléments !
Une pratique constante peut seule nous faire découvrir toutes les ressources scientifiques que possède la géométrie descriptive. ”

“ C'est une grave erreur qui a eu cours assez longtemps, et trop longtemps pour l'intérêt des services publics, et dont ont gémi les véritables ingénieurs, les seuls qui comprennent bien toute la puissance et toute l'utilité de la géométrie descriptive, géométrie nouvelle qui, depuis MONGE et grâce à lui, doit être reconnue comme étant une véritable science. ”

“ En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale, nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. ”

“ PROBLÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTiVE. (Changement des plans de projection et rotation des figures autour d'un axe.)
42. Lorsque l'équation d'une ligne ou d'une surface est trop compliquée, on cherche, en analyse, à la simplifier en rapportant la courbe ou la surface à de nouveaux axes choisis de manière à faire disparaître certains termes, comme par exemple les rectangles des coordonnées et les termes du premier degré dans les équations des courbes ou des surfaces du second ordre. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ On voit donc que la géométrie l'emporte, pour la solution d'un tel problème , sur l'ancilyse, puisque la géométrie descriptive peut le résoudre, quelles que soient les courbes CAet Cu, et que l'analyse est encore imparfaite, à ce point que nous concevons que pour certaines fonctions Z et cp l'élimination ne pourrait s'effectuer dans l'état actuel de nos connaissances algébriques.
Sans doute nous comprenons que la langue analytique ira toujours en se perfectionnant et qu'elle est susceptible d'un perfectionnement indéfini. ”

“ Si l'on a un plan P dans l'espace et deux droites A et B situées sur ce plan, et si par tes droites A et B on fait passer des plans A' et B' assujettis à passer l'un et l'autre par un même point s de l'espace, et si l'on coupe le système par un plan quelconque Q, on pourra dire que le plan Q est le transformé du plan P, car les deux droites At et Bt suivant lesquelles seront coupés par le plan Q les plans A' et B' seront les transformées coniques des droites A et B, les droites de transformation divergeant du point s. ”

“ Représentation d'un point.
3. Un corps, une surface, une ligne, sont connus, quand on peut, au moyen
Cj Ayant mené un plan sécant à travers un corps, le rabattre, soit sur le plan horizontal, soit sur le plan vertical de projection, c'est faire en géométrie descriptive identiquement ce que l'on fait en analyse lorsqu'on emploie les formules u'Eulet pour trouver l'équation d'une courbe de section dans le plan même de section, en rapportant cette courbe à deux axes, rectangulaires entre eux, tracés dans son plan. ”

“ DU POINT, DE LA DROITE ET DU PLAN.
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CHAPITRE PREMIER.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
1. La géométrie ordinaire montre parfaitement la disposition relative des parties d'une figure entièrement située sur un seul plan, mais elle n'est plus suffisante pour représenter les constructions que l'on doit exécuter dans l'espace, pour la solution des problèmes à trois dimensions, comme on peut s'en assurer par des exemples fort simples ; ainsi par exemple : On sait que la distance d'un point à un plan est mesurée par la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ Sur les intersections des lignes et des surfaces ; par M. Lamé.
Recherche du cercle qui en touche trois autres sur un plan ; par M. Gergonne.
Recherche du triangle inscrit à une section conique, dont les côtés passent par trois points donnés, et du triangle circonscrit, dont les sommets sont sur trois droites données ; par M. Gergonne.
Recherche du plan sur lequel les perspectives de deux sections coniques tracées sur un autre plan sont deux cercles ; par un Abonné.
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
Recherche du plan osculateur et du centre de courbure d’une ligne courbe, en un point donné ”

“ PROBLÈME 16. Trouver l'intersection de deux plans donnés par leurs traces - horizontales et les angles qu'ils font avec le plan horizontal (fig. 93) . Il est évident, par un théorème connu de géométrie élémentaire, que si un plan est perpendiculaire au plan vertical de projection, l'angle qu'il fait avec le plan horizontal est mesuré par l'angle que fait sa trace vertical avec la ligne de terre ; prenant donc un plan vertical perpendiculaire au plan P, la trace V" de ce plan fera avec la ligne de terre L'T' l'angle donné a ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ L'Analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle le cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul ”

“ Les découvertes les plus étonnantes de cet art furent sans doute le parallélisme des verticales, c’est-à-dire les perpendiculaires et l’angle droit. Je veux expliquer seulement par là en quel sens la géométrie est une des sciences naturelles. Ce qui est géométrique, c’est la ligne sans corps, c’est-à-dire droite, qui à la fin ne compte plus que deux points et les joint hardiment comme on fait un pas ; cela veut dire que la géométrie fut d’abord ce qu’indique son nom, c’est-à-dire une mesure de la terre. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”

“ La géométrie, en nous enseignant que les surfaces et les solides sont bornés par des lignes, nous donne l’idée la plus claire et la plus complète du dessin, qui réside dans les contours... En dernière analyse, dans la pratique comme dans la théorie, il faut reconnaître que la géométrie est la base de la science du dessin. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ Géométrie pratique. — La géométrie pratique applique les préceptes de la première, en les exécutant de la main, au moyen des instruments connus pour mesurer tout ce qui peut être mesuré, ou est ce qu'on appelle commensurable ; elle s'étend et est utile à toute profession où l'on se sert de mesure. ”

“ La géométrie a pour but la mesure de l'étendue. L'étendue d'un corps est la portion de l'espace occupée par ce corps. Elle a trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou profondeur. On appelle Corps ou solide, ce qui réunit ces trois dimensions ; Surface, ce qui ne réunit que largeur et longueur : c'est la limite extérieure de tout corps ; Ligne, ce qui n'a qu'une dimension, la longueur : c'est la limite d'une surface ”

“ En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables. ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ Pour mieux apprécier la part de chacun des grands géomètres, que nous avons nommés, dans la rénovation scientifique qui inaugure le dix-septième siècle, il importe de dire quelques mots des sciences mathématiques elles-mêmes.
Les Mathématiques peuvent se diviser en deux parties principales : la Géométrie et l'Algèbre.
La Géométrie est la science de l'étendue figurée. On peut la diviser en Géométrie élémentaire et en Géométrie supérieure. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ Les Anciens distinguèrent les lieux géométriques en diverses classes. Ils nommèrent lieux plans la ligne droite et la ligne circulaire, dont la génération a lieu sur un plan; lieux solides les sections coniques, parce que l'on concevait leur génération dans le solide ”

“ De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, des preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la Géométrie pure peut puiser en elle-même, sont nées ces vérités simples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait, inaperçu depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu, se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui constituent la Géométrie récente. ”

“ Voici le théorème analogue dans les surfaces du second degré : La normale et le plan tangent, menés en un point quelconque d'une surface du second degré, rencontrent chacun des trois plans diamétraux principaux de la surface 2, en un point et suivant une droite; Ce point est toujours le pôle de la droite, par rapport à une certaine conique, située dans le plan principal; Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface, cette conique est une ellipse; Sur le plan du grand et du petit axe, elle est une hyperbole; Et sur le plan du moyen et du petit axe, elle est toujours imaginaire. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ Tout ce qui existe a nécessairement les trois dimensions. Voyez Dimension. Ce n’est que par abstraction de l’esprit qu’on regarde une ou deux de ces dimensions comme non-existante. Sur quoi voyez l’article Géométrie. (O)
Si l’on se représente qu’un point coule, il tracera une ligne ; & une ligne qui couleroit engendreroit une surface, &c. Cette maniere de considérer la génération des dimensions ou des propriétés des corps, paroît être le premier fondement de la Géométrie moderne, c’est-à-dire, de la Géométrie analytique qui fait usage du calcul différentiel & intégral ”