Surface algébrique

“ En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale, nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. ”

“ Supposons qu’on ait constitué une géométrie purement qualitative, j’entends par là non la géométrie projective, mais l’Analysis situs. On sait que l’espace est continu, qu’il a trois dimensions ; on sait ce que c’est qu’une surface, ce que c’est qu’une ligne ; on sait distinguer une courbe fermée d’une courbe non fermée ; mais on ne sait pas distinguer un segment de droite d’un arc de courbe, ni une ligne droite indéfinie d’une branche de courbe infinie dans les deux sens, ni une surface plane d’une surface courbe. ”

“ PROBLÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTiVE. (Changement des plans de projection et rotation des figures autour d'un axe.)
42. Lorsque l'équation d'une ligne ou d'une surface est trop compliquée, on cherche, en analyse, à la simplifier en rapportant la courbe ou la surface à de nouveaux axes choisis de manière à faire disparaître certains termes, comme par exemple les rectangles des coordonnées et les termes du premier degré dans les équations des courbes ou des surfaces du second ordre. ”

“ Tout ce qui existe a nécessairement les trois dimensions. Voyez Dimension. Ce n’est que par abstraction de l’esprit qu’on regarde une ou deux de ces dimensions comme non-existante. Sur quoi voyez l’article Géométrie. (O)
Si l’on se représente qu’un point coule, il tracera une ligne ; & une ligne qui couleroit engendreroit une surface, &c. Cette maniere de considérer la génération des dimensions ou des propriétés des corps, paroît être le premier fondement de la Géométrie moderne, c’est-à-dire, de la Géométrie analytique qui fait usage du calcul différentiel & intégral ”

“ La solution de ce problème est extrêmement simple; mais, pour la présenter avec netteté et précision, il nous sera utile d'admettre quelques définitions : Quand deux surfaces du second degré sont inscrites à une même surface du second degré, elles se coupent suivant deux courbes planes, réelles ou imaginaires, mais dont les plans sont toujours réels; nous appellerons ces plans, par analogie avec la dénomination d'axes de symptose dans les coniques, plans de symptose des deux surfaces. ”

“ La ligne droite, les angles, les perpendiculaires et les obliques.
LA géométrie a pour objet de mesurer les étendues et d'en évaluer les rapports.
Une étendue peut être prise en trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur.
Tous les corps que renferme la nature, et tous ceux que l'industrie façonne, présentent ces trois dimensions.
Tout espace, soit vide, soit occupé par un corps, possède aussi ces trois dimensions.
La surface d'un corps se compose de tous les points qui séparent la portion de l'espace occupée par ce corps, et le reste de l'espace. ”

“ Voici le théorème analogue dans les surfaces du second degré : La normale et le plan tangent, menés en un point quelconque d'une surface du second degré, rencontrent chacun des trois plans diamétraux principaux de la surface 2, en un point et suivant une droite; Ce point est toujours le pôle de la droite, par rapport à une certaine conique, située dans le plan principal; Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface, cette conique est une ellipse; Sur le plan du grand et du petit axe, elle est une hyperbole; Et sur le plan du moyen et du petit axe, elle est toujours imaginaire. ”

“ Cet élément devenu infiniment grand par le calcul intégral, ou ce qui est la même chose, changé en une grandeur finie, est la surface entière parabolique.
La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?
Solution. Soit et ces deux points, et rapportons-les à deux axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du premier, et celles du second. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ Revenons à la formule qui exprime généralement la grandeur de l’élément linéaire sur une surface courbe, et, avant tout, examinons la signification géométrique des coefficients Déjà, dans l’art. V, nous avons averti qu’on peut concevoir, sur la surface courbe, deux systèmes de lignes : l’un, pour lequel seul est variable, constant ; l’autre, dans lequel seul est variable, constant. Un point quelconque de la surface peut donc être considéré comme l’intersection d’une ligne du premier système avec une ligne du second ”

“ Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. ”

“ On se sert de mesures quarrées pour évaluer les surfaces ou déterminer les aires des terreins, 1°. parce qu’il n’y a que des surfaces qui puissent mesurer des surfaces, 2°. parce que les mesures quarrées ont toute la simplicité dont une mesure soit susceptible, lorsqu’il s’agit de trouver l’aire d’une surface.
La mesure d’une ligne est une droite prise à volonté, & qu’on considere comme unité. Voyez Ligne.
Les Géometres modernes se servent pour cela de la toise, du pié, de la perche, &c. ”

“ On appelle plan ou surface plane, une surface telle, que si on prend deux de ses points à volonté, et qu'on les joigne par une ligne droite, cette ligne droite est comprise tout entière dans le plan.
On trace les lignes droites avec la règle et le crayon. Je ne m'arrêterai pas à décrire ce procédé si simple. Une bonne règle est un instrument délicat qui doit être confectionné avec soin, sans
quoi le crayon trace des lignes plus ou moins cour-bes au lieu de lignes droites. ”

“ En conséquence, les branches de courbes, les nappes de surfaces, associées par la définition géométrique, le seront par l'équation algébrique ; et lorsqu'on résoudra par des intersections de lieux géométriques les problèmes d'analyse déterminée, le nombre des racines associées algébriquement dans l'équation finale, cadrera exactement avec le nombre des solutions que comporte le problème géométrique, si l'énoncé est convenable. ”

“ Les notions simples de grandeurs qui viennent d’être considérées isolément sont susceptibles de se combiner entre elles ; or, de ces combinaisons naissent des notions plus compliquées comme celles de surface, de mouvement, de variation. Ces notions complexes trouvent dans la méthode graphique leur expression la plus parfaite.
Expression graphique des relations d’espace.
Nous concevons l’espace suivant trois dimensions : longueur, largeur et épaisseur ”

“ Courbe géométrique, est la même chose que courbe algébrique. Voyez Courbe.
Constructions géométrique. Les anciens géometres ne donnoient le nom de constructions géométriques qu’à celles qui se faisoient avec le secours seul de la regle & du compas, ou ce qui revient au même, de la ligne droite & du cercle : mais les géometres modernes, à commencer depuis Descartes, prennent pour géométrique toute construction qui s’exécute par le moyen d’une courbe géométrique quelconque. Voyez Construction & Courbe. ”

“ Toute équation entre trois indéterminées représente une surface. Si les indéterminées y entrent au premier degré, cette surface est plane. L’équation est-elle du second degré, il en peut ressortir un ellipsoïde, un paraboloïde, un hyperboloïde, ou des surfaces qui sont des modifications, des cas particuliers de celles-là. S’élève-t-on jusqu’au troisième degré, il y a tant de surfaces distinctes contenues dans l’équation, qu’on n’a pas même essayé d’en faire le dénombrement. ”

“ Pour calculer la superficie de chaque face plane latérale, vous multiplierez la moyenne de ses deux limites courbes, par la longueur d'une droite qui leur soit à la fois perpendiculaire, car une telle face peut être regardée comme un trapèze dont les bases ont été courbées (p. 447) ' PROBL. (O) : Mesurer une surface de révolution (374) .
Tracez une courbe méridienne ; marquez-y des points de division également distans , et assez rapprochés pour que l'arc compris entre deux, puisse être regardé, sans grande erreur, comme une droite. ”

“ I La nature d’une surface courbe est déterminée par une équation entre les coordonnées relatives à chacun de ses points. En vertu de cette équation chacune de ces trois variables peut être considérée comme une fonction des deux autres. La généralité est encore plus grande si l’on introduit en outre deux nouvelles variables et si l’on représente chacune des variables comme fonction de en sorte que, au moins en général, des valeurs déterminées de correspondent toujours à un point déterminé de la surface et réciproquement. ”

“ Recherche de la surface qui en touche une infinité d’autres, dont
les équations ne diffèrent que par une constante. Soit
l’équation commune à une infinité de surfaces courbes, rapportées aux mêmes axes, et ne différant entre elles que par la constante ; et proposons-nous de déterminer l’équation de la surface à laquelle toutes celles-là sont tangentes.
Soit la surface cherchée [2] , c’est-à-dire, la surface enveloppe ; soit celle des surfaces enveloppées qui répond à la valeur et soit la courbe suivant laquelle elle touche ”

“ L'artifice consiste à décomposer le nombre soumis au radical en la somme algébrique de plusieurs carrés; ce qui est toujours possible.
12. Nous sommes actuellement en état de construire toute expression algébrique rationnelle ou irrationnelle du second degré, provenant de la mise en équation d'un problème de Géométrie, chacune des lignes qui font partie de l'énoncé ayant été représentée par une lettre. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ Quand on connaîtra la figure et la position de AB et ab, BC et bc., rien ne sera plus facile que d'employer la méthode donnée, fig. 2, pour déterminer chaque surface développable.
Quand les artistes ont à couvrir une grande superficie, avec des feuilles d'une matière mince et flexible; ils plient ces feuilles, suivant des surfaces développables, en opérant ainsi : Ils tracent sur la superficie à couvrir, fig. 4, des lignes courbes ABCDE, abcde, a'b'cdé' , a"b"c"d"e" , qui, partout, soient éloignées l'une de l'autre d'une distance égale à la largeur des feuilles qu'ils peuvent employer. ”

“ L’ARITHMÉTIQUE, L’ALGÈBRE, LE CALCUL DES PROBABILITÉS, LA GÉOMÉTRIE. Je commence l’enseignement par l’arithmétique, l’algèbre et la géométrie, parce que, dans toutes les conditions de la vie, depuis la plus relevée jusqu’au dernier des arts mécaniques, on a besoin de ces connaissances. Tout se compte, tout se mesure. L’exercice de notre raison se réduit souvent à une règle de trois. Point d’objets plus généraux que le nombre et l’espace.
Savoir de la géométrie ou être géomètre sont deux choses très-diverses. Il est donné à peu d’hommes d’être géomètres ”

“ Ce théorème nous montre immédiatement que tout problème résoluble à l’aide du compas ne l’est pas forcément quand on ne se sert que de la règle et du transporteur de segments. Pour le voir, considérons la Géométrie que nous avons édifiée au § 9 à l’aide du domaine numérique algébrique ; dans cette Géométrie, il n’y a que des segments susceptibles d’être construits au moyen de la règle et du transporteur de segments, à savoir les segments déterminés par les nombres du domaine . ”

“ On nomme mesure d'une surface le nombre qui indique combien elle contient d'unités de surface et de parties d'unité. Les sciences , l'agriculture, le commerce, etc., empruntent continuellement à la géométrie les règles qui servent à la mesure des terrains. Nous les exposerons en détail, et il faut d'abord connaître celles qui servent à transformer les fi-
gares en d'autres figures de même surface plus faciles à mesurer. ”

“ Seulement, pour qu'une expression algébrique ait une signification géométrique, il faut qu'elle soit homogène, c'est-à-dire que les quantités contenues, par exemple, dans le numérateur ou le dénominateur d'une fraction soient de même nature, telles que des lignes, des surfaces, des solides, ou, plus généralement, toutes ces quantités doivent être telles, que si dans chacune d'elles on fait la somme des exposants de toutes les lettres, toutes ces sommes soient égales. ”

“ Géométrie. — Sur la représentation conforme d’une surface sur une autre ; par M. G. Souslow 30 — Sur les systèmes de surfaces triplement orthogonales, où les surfaces d’une même famille admettent la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure ; par M. Maurice Fouché 210 — Sur le fondement de la Géométrie projective ; par M. Zeuthen 213 — Sur la réduction des intégrales doubles et sur un nouvel invariant dans la théorie des surfaces algébriques ”