David Hilbert

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Ayant exposé l’importance générale des problèmes en Mathématiques, je passe à la question de savoir quelles sont les sources où le mathématicien les puise. Les premiers et les plus anciens problèmes de chaque branche de la Science mathématique tirent certainement leur origine de l’expérience, et c’est le monde de la connaissance extérieure qui les inspire. Les règles des opérations sur les nombres entiers ont été certainement découvertes lors d’un état inférieur de culture de l’humanité, absolument comme, aujourd’hui encore, l’enfant apprend à appliquer ces règles par la méthode empirique. ”

“ Au contraire, il est toujours possible de généraliser le système primitif des points, droites et plans au moyen d’éléments « idéaux » ou « irrationnels » d’une manière telle que, sur une droite quelconque de la Géométrie ainsi construite, à chaque système de trois nombres réels corresponde sans exception un point. Au moyen d’une convention convenable, on peut également faire que, dans la Géométrie ainsi généralisée, les axiomes I-V soient tous vérifiés. Cette Géométrie généralisée (par l’adjonction des éléments irrationnels) n’est autre que la Géométrie analytique usuelle de l’espace. ”

“ Il est évident qu’en adoptant les hypothèses que nous avons faites, on ne peut pas non plus démontrer le théorème de Pascal, quand on regarde la Géométrie de l’espace comme étant une partie d’une Géométrie à un nombre quelconque de dimensions, où à côté des points, droites et plans se présentent encore d’autres éléments linéaires pour lesquels il y a un système correspondant d’axiomes d’association et de distribution joint a l’axiome des parallèles. ”

“ Dans la Mathématique moderne, la question de l’impossibilité de certaines solutions joue un rôle prépondérant ; c’est à ce point de vue de la démonstration de l’impossibilité que d’anciens et difficiles problèmes, tels que ceux de la démonstration de l’axiome des parallèles, de la quadrature du cercle et de la résolution par radicaux de l’équation du cinquième degré, ont reçu une solution parfaitement satisfaisante et rigoureuse, bien qu’en un sens tout différent de celui qu’on cherchait primitivement. ”

“ Une fonction ou forme rationnelle entière à nombre quelconque de variables et à coefficients réels est dite définie lorsqu’elle ne prend jamais de valeurs négatives pour aucune valeur réelle des variables. Le système de toutes les formes définies se comporte d’une manière invariante vis-à-vis des opérations de l’addition et de la multiplication ; le quotient de deux fonctions définies, tant que c’est une fonction entière des variables, est une forme définie. ”

“ Cela fait, M. Dehn démontre le théorème suivant :
Si l’on regarde toutes les droites et tous les points (idéaux et réels) du plan, à l’exception d’une droite unique t et des points situés sur t, comme éléments d’une nouvelle Géométrie, on peut pour cette nouvelle Géométrie définir un nouveau genre de congruence de telle sorte que cette Géométrie vérifie tous les axiomes d’association, de distribution, de congruence, ainsi que l’axiome d’Euclide, la droite t dans cette Géométrie jouant le rôle de la droite de l’infini. ”

“ Il arrive souvent aussi qu’un certain problème particulier se rattache aux branches les plus diverses de la Science mathématique. C’est ainsi que le Problème des lignes géodésiques joue un rôle des plus importants au point de vue de l’histoire ainsi que des principes, dans les fondements de la Géométrie, dans la théorie des courbes et des surfaces, dans la Mécanique, et enfin dans le Calcul des variations. ”

“ Nous voyons maintenant sans peine que dans notre calcul segmentaire, conformément à l’axiome II, les règles de calcul 13-16 du § 13 sont vérifiées ; par conséquent, l’ensemble de tous les différents segments forme un système numérique complexe où sont vérifiées les lois 1-11, 13-16 du § 13, c’est-à-dire toutes les règles usuelles, hormis la loi commutative de la multiplication et la théorème d'Archimède. Dans ce qui suit nous désignerons, pour abréger, un pareil système numérique sous le nom de système numérique de Desargues. ”

“ Or je suis persuadé que l’on peut trouver une démonstration directe de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique en appliquant à ce but les méthodes de raisonnement connues dont on se sert dans la théorie des nombres irrationnels, après les avoir remaniées en leur faisant subir des modifications convenables.
Pour caractériser encore à un autre égard l’importance du problème, je ferai la remarque suivante : si l’on confère à quelque notion des attributs qui se contredisent, je dirai que, au point de vue mathématique, cette notion n’existe pas. ”

“ Ensuite se présente la question plus générale de savoir si deux rectangles égaux par soustraction et ayant un côté commun ont aussi leurs autres côtés congruents, c’est-à-dire, si un rectangle est déterminé d’une manière univoque par un de ses côtés et par son aire.
Comme une considération plus attentive le fait voir, pour répondre aux questions ainsi soulevées, l’on a besoin de la réciproque du théorème XXVII, qui s’énonce ainsi :
Théorème XXVIII. — Lorsque deux triangles égaux par soustraction ont même base, ils ont nécessairement même hauteur. ”

“ Dans la Théorie des fonctions algébriques on sait que, pour démontrer ce théorème d’existence riemannien, on emploie la méthode du problème de Dirichlet ; de même, dans la Théorie des corps de nombres, c’est la démonstration de l’existence du nombre qui présente aussi la difficulté principale. La démonstration s’appuie essentiellement sur le théorème que dans un corps de nombres il existe toujours des idéaux premiers possédant des caractères résiduels assignés. ”

“ On sait que d’habitude on démontre que deux triangles qui ont même base et même hauteur sont aussi toujours égaux par addition ; remarquons néanmoins que cette démonstration ne peut avoir lieu sans employer l’axiome d’Archimède ; on peut, en effet, dans notre Géométrie non archimédienne (voir Chap. II, § 12) assigner sans aucune difficulté deux triangles qui ont même base et même hauteur et qui, par suite, en vertu du théorème XXVII, sont ; égaux par soustraction, mais qui cependant ne sont pas égaux par addition. ”

“ La coïncidence entre la pensée géométrique et la pensée arithmétique se révèle encore en ceci : dans les recherches arithmétiques, de même que dans les considérations géométriques, nous ne remontons pas à chaque instant la chaîne des déductions jusqu’aux axiomes ; au contraire, lorsque pour la première fois nous attaquons un problème en Arithmétique, exactement comme en Géométrie, nous employons d’abord une combinaison de raisonnements, rapide, inconsciente, non encore définitive, avec une confiance absolue en un certain sentiment arithmétique et en l’efficacité des symboles arithmétiques ”

“ Or, en vertu du théorème XLIII, les fonctions et doivent être des quotients de sommes de carrés de fonctions rationnelles et, d’autre part, l’expression est, d’après ce qui précède, susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments ; l’expression trouvée pour montre donc que est un quotient de sommes de carrés de fonctions que l’on sait aussi construire. Par conséquent, l’expression est également susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments. ”

“ C’est ainsi qu’ont pris naissance le Problème des nombres premiers et les autres problèmes de l’Arithmétique, la théorie de Galois, des équations, la théorie des invariants algébriques, celle des fonctions abéliennes et automorphes ; c’est enfin là, d’une manière générale, l’origine de presque toutes les questions les plus délicates des théories modernes des nombres et des fonctions.
D’ailleurs, tandis que travaille le pouvoir créateur de la raison pure, le monde extérieur fait de nouveau sentir son influence ”

“ Des théorèmes qui dérivent des axiomes I, 1-7, je ne citerai que les deux suivants :
Théorème I. — Deux droites situées dans le même plan ont un seul point en commun ou bien n’en ont aucun ; deux plans n’ont aucun point en commun ou bien ont une droite en commun ; un plan et une droite non située dans ce plan n’ont aucun point en commun ou bien en ont un seul. ”

“ Cette conviction de la possibilité de résoudre tout problème mathématique est pour nous un précieux encouragement pendant le travail. Nous entendons toujours résonner en nous cet appel : Voilà le problème, cherches-en la solution. Tu peux la trouver par le pur raisonnement. Jamais, en effet, mathématicien ne sera réduit à dire : « Ignorabimus ».
Inépuisable est la multitude des problèmes de la Mathématique ; dès qu’une question est résolue, à sa place s’en présente une foule d’autres. ”

“ Je citerai comme exemple, dans la théorie des intégrales définies, l’introduction par Cauchy des chemins complexes d’intégration et, dans la théorie des nombres, l’introduction par Kummer de la notion des nombres idéaux. Cette façon d’arriver aux méthodes les plus générales est sans aucun doute la plus accessible et la plus sûre. En effet, celui qui chercherait des méthodes sans avoir devant les yeux un problème déterminé, chercherait le plus souvent en vain. ”

“ De l’hypothèse que par un point donné l’on peut mener à une droite une infinité de parallèles il s’ensuit, si l’on exclut l’axiome d’Archimède, NON PAS que la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits, mais au contraire que cette somme peut être
(a) plus grande que 2 droits
(b) égale à 2 droits. Pour démontrer le cas (a) de ce théorème, M. Dehn édifie une Géométrie où l’on peut mener par un point une infinité de parallèles une droite et où, d’ailleurs, sont aussi vérifiés tous les théorèmes de la Géométrie riemannienne (elliptique) . ”

“ Je ne le pense ni ne l’espère ; selon moi, la Science mathématique est un entier indivisible, un organisme dont la force vitale a pour condition l’indissolubilité de ses parties. En effet, quelle que soit la diversité des matières de notre Science dans ses détails, nous n’en sommes pas moins frappés de l’équivalence des procédés logiques, de la parenté des idées dans l’ensemble de la Science ainsi que des nombreuses analogies dans ses différents domaines. ”

“ La recherche qui suit est un nouvel essai dont le but est d’établir la Géométrie sur un système simple et complet d’axiomes indépendants et de déduire de ceux-ci les principaux théorèmes géométriques, de telle sorte que le rôle des divers groupes d’axiomes et la portée des conclusions que l’on tire des axiomes individuels soient mis en pleine lumière autant qu’il est possible. ”

“ Si nous adoptons alors relativement à la distribution des éléments ainsi qu’aux déplacements des segments et des angles des conventions tout à fait analogues à celles du § 9, nous obtiendrons une Géométrie non archimédienne, où, comme le font voir les propriétés que nous venons d’exposer du système numérique complexe , tous les axiomes sont vérifiés, hormis l’axiome d’Archimède. ”

“ Le concept de fonction analytique, au contraire, embrasse dans son domaine toutes les fonctions les plus importantes de la Science, qu’elles proviennent de la Théorie des nombres, de la Théorie des équations différentielles ou des équations fonctionnelles algébriques, ou même encore de la Géométrie et de la Physique mathématique ”

“ Enfin, pour compléter les théories physiques, le mathématicien devra attaquer le problème qui consiste en chaque cas à examiner si le nouvel axiome ajouté n’est pas en contradiction avec les précédents. Le physicien se voit souvent obligé, par le résultat de ses expériences, de faire de nouvelles hypothèses, et cela même pendant le développement de ses théories, et il invoque alors au sujet de la non-contradiction des nouvelles hypothèses avec les précédentes, ces expériences précisément, ou encore un certain sentiment physique. ”

“ Nous pouvons à cet effet ou bien prendre pour fondement les axiomes sur la congruence des segments et dans ce cas désigner comme « égaux » les segments congruents, ou bien, en nous basant sur les groupes d’axiomes I-III, convenir de la manière dont, au moyen de constructions appropriées (voir Chap. V, § 24) , un segment doit être porté sur une droite donnée à partir d’un point donné, en sorte que l’on obtienne un nouveau segment qui lui soit « égal ». ”

“ Le mathématicien, de même qu’en Géométrie, devra ici aussi avoir égard, non seulement aux théories qui se rapprochent de la réalité, mais encore en général à toutes celles qui sont logiquement possibles, et il devra toujours soigneusement chercher à obtenir une vue d’ensemble complète sur toutes les conséquences qu’entraîne le système d’axiomes choisi. ”

“ Le système de tous les segments de notre Géométrie forme, conformément au § 17, un domaine de nombres où ont lieu les propriétés 1-16 exposées dans le § 13, et nous pouvons alors, au moyen de ce domaine de nombres, ainsi qu’il a été fait au § 9 ou au § 12, au moyen des systèmes numériques respectifs et , construire une Géométrie de l’espace : Nous conviendrons à cet effet qu’un système de trois segments (x, y, z) représentera un point, le rapport de quatre segments (u : ν : w : r) un plan, tandis que la droite sera définie comme intersection de deux plans ”

“ La recherche de la rigueur nous conduit toujours à découvrir des raisonnements plus simples, elle nous ouvre aussi la voie à des méthodes plus fécondes que les anciennes qui étaient moins rigoureuses. Ainsi la Théorie des courbes algébriques a éprouvé des simplifications incontestables et a beaucoup gagné en unité depuis l’emploi des méthodes rigoureuses de la théorie des fonctions et depuis l’introduction des considérations transcendantes auxiliaires. ”

“ Après le domaine des nombres rationnels, le plus simple est celui du corps imaginaire quadratique ; le problème qui se présente d’abord est donc celui d’étendre à ce corps le théorème de Kronecker. Kronecker lui-même a affirmé que les équations abéliennes dans le domaine d’un corps quadratique sont fournies par les équations de transformation des fonctions elliptiques à module singulier, en sorte qu’ici les fonctions elliptiques jouent le rôle occupé, dans le cas précédent, par la fonction exponentielle. La démonstration de cette affirmation de Kronecker n’a pas encore été effectuée ”

“ En effet, tandis que Weierstrass, pour obtenir les conditions suffisantes relatives à la valeur extrême, fait usage des courbes intégrales de l’équation (1) passant par un point fixe, M. Kneser emploie une famille quelconque simple de ces courbes, et pour chaque pareille famille il construit une solution caractéristique de l’équation aux dérivées partielles que l’on doit regarder comme la généralisation de l’équation de Jacobi et Hamilton. ”

“ Tant qu’une branche de la Science jouit d’une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. Et de même que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de même dans la recherche mathématique il faut des problèmes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur résolution, il y trouve de nouvelles méthodes et de nouveaux points de vue, d’où il découvre un horizon plus vaste et plus libre. ”

“ Si nous jetons un coup d’œil sur le développement de la théorie des fonctions pendant le xixe siècle, nous remarquons avant tout le rôle fondamental joué par cette classe de fonctions que l’on nomme aujourd’hui fonctions analytiques, classe de fonctions qui resteront toujours le point central de l’intérêt mathématique. ”

“ Un nouveau problème, lorsqu’il tire son origine du monde extérieur, est comme un sauvageon qui ne se développe et ne porte des fruits que lorsqu’il a été greffé avec tous les soins de l’art du jardinier sur la souche mère, c’est-à-dire sur les connaissances mathématiques que nous possédons complètement. ”

“ L’histoire enseigne la continuité du développement de la Science. Nous savons que chaque époque a ses problèmes que l’époque suivante résout, ou laisse de côté comme stériles, en les remplaçant par d’autres. Si nous désirons nous figurer le développement présumable de la Science mathématique dans un avenir prochain, nous devons repasser dans notre esprit les questions pendantes et porter notre attention sur les problèmes posés actuellement et dont nous attendons de l’avenir la résolution. ”

“ Comme réponse à cette question, je me contenterai de remarquer combien il est caractéristique de notre Science que chaque progrès effectif marche la main dans la main avec la découverte de moyens auxiliaires plus rigoureux et de méthodes plus simples qui, en même temps qu’ils facilitent la compréhension des théories antérieures et qu’ils amènent la disparition d’anciens développements inutiles, permettent de s’orienter dans toutes les branches des Mathématiques bien plus aisément que dans toute autre Science. ”