Quadrature du cercle

“ Mais il est vrai aussi, comme j’espère le démontrer, que les conceptions modernes de la physique et les rapports nouveaux qu’elle nous suggère entre la réalité et la géométrie tendent à nous faire envisager sous un angle entièrement nouveau cette vieille et passionnante question. Je pense même pouvoir démontrer tout à l’heure que le problème de la quadrature du cercle est, — contrairement à ce que croyait pouvoir penser la science classique, — résolu par la nature elle-même et sous nos yeux. ”

“ On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas. Ce n’est pas seulement parce que est incommensurable, puisqu’on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables. ”

“ QUADRATURE, s. f. terme de Géométrie ; maniere de quarrer ou de réduire une figure en un quarré, ou de trouver un quarré égal à une figure proposée.
Ainsi la quadrature d’un cercle, d’une parabole, d’une ellipse, d’un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un quarré égal en surface à l’une ou à l’autre de ces figures. Voyez Cercle. &c.
La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s’agit que de trouver leurs airs ou superficie, & de la transformer en un parallelogramme rectangle. ”

“ Rectifier le cercle revient donc au même que de le quarrer : mais l’un & l’autre sont également difficiles. Voyez tous les différens efforts que l’on a faits pour rectifier le cercle, afin de trouver sa quadrature, au mot Quadrature du cercle. ”

“ Quadrature du cercle. On ne sait pas ce que c’est, mais il faut lever les épaules quand on en parle. ”

“ Tout plan qui passe par le centre coupe la sphère en deux parties égales , et l'intersection de ce plan et de la surface sphérique, c'est-à-dire la série des points qui sont à la fois sur ce plan et sur la surface sphérique, est un cercle appelé grand cercle, parce que son rayon
est égal à celui de la sphère. ”

“ III. Que l’angle soit différent d’un droit, et que l’arc soit un quadrans. Par soit mené l’arc de grand cercle perpendiculaire à rencontrant en et la circonférence dont fait partie.
L’arc est déterminé à être plus que le plus des arcs et , dont l’un est plus petit et l’autre plus grand qu’un quadrans. ”

“ THÉORÈME. Dans tout triangle, la droite qui joint le milieu de l’un quelconque des côtés avec le milieu de la droite qui joint le point de contact de ce côté avec le cercle inscrit au sommet opposé, contient le centre de ce cercle. ”

“ Démonstration. En effet, dans les deux quadrilatères les angles en sont égaux comme droits ; de plus, il est aisé de voir que les angles et du premier sont les supplémens respectifs des angles et du second ; donc leurs angles et sont aussi supplément l’un de l’autre ; ce qui prouve que le quadrilatère déjà circonscrit à un cercle, est inscriptible à un autre cercle.
THÉORÈME XII. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les centres des deux cercles et le point de concours des diagonales appartiennent tous trois à une même ligne droite. ”

“ Si l'on coupe une sphère par un plan qui passe par l'un de ses diamètres, la section fera un cercle qu'on appellera grand cercle, parce qu'il sera plus grand que tous les autres cercles que l'on aura en coupant la sphère par un plan qui ne passera pas par son centre. ”

“ Une analogie directe nous conduit à juger le cercle de même condition que les polygones, et à regarder sa surface comme un composé de triangles, ou comme un seul triangle qui a la circonférence pour base et le rayon pour hauteur.
Cependant cette manière de considérer le cercle, qui remonte jusqu'à la naissance du l'art, à été jugée insuffisante par les grands maîtres de ce siècle, et ce n'est pas sans raison. Ils veulent nous apprendre à ne pas nous contenter en géométrie des preuves d'analogie et de sentiment, et à tout soumettre, autant qu'il est possible, à la rigueur du calcul. ”

“ Lieu du centre des cercles qui passent par un point fixe, et qui sont tangents à une droite donnée ou à une circonférence donnée.
Ce n'est qu'un cas particulier du lieu précédent : un cercle est réduit à son centre. D'ailleurs, suivant que le point donné est intérieur ou extérieur au cercle donné, on a une ellipse ou une hyperbole. ”

“ Si l'on conçoit une droite menée par le centre d'un cercle perpendiculairement à son plan , et prolongée de part et d'autre à l'infini, tout le monde sait que chacun des points de cette droite sera à égales distances de tous les points de la circonférence ”

“ Mais l’angle ΖΔΒ est droit ; donc lʼangle ΖΔΒ est égal à l’angle HΔB ; le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point H n’est point le centre du cercle ΑΒΓ. On démontrera semblablement que tout autre point, excepté z, ne l’est pas.
Donc le point z est le centre du cercle. Ce qu’il fallait faire.
COROLLAIRE. De là il est évident que si dans un cercle une droite en coupe une autre en deux parties égales, et à angles droits, le centre du cercle est dans la secante. ”

“ Tout cercle qui a l'hypothénuse d'un triangle rectangle pour diamètre ou pour rayon, vaut en superficie la somme des deux cercles dont les diamètres ou les rayons sont les côtés de l'angle droit.
Le cercle est un polygone régulier d'un nombre infini de côtés égaux à l'élément de la circonférence. ”

“ Il y a un moyen facile de reconnaître si une régie est bien droite, sans faire usage d'une seconde règle ; car si, d'un point A (fig. 2) appartenant à une surface plane, jusqu'à un second point B, on trace deux fois de suite la même ligne droite AB, en plaçant la règle d'abord dans la position ACDB, ensuite dans la position APQB, les deux droites ainsi tracées doivent se recouvrir parfaitement et les deux traits n'en doivent faire qu'un, lorsque la règle est juste.
6.
Définition du cercle. Rayon, diamètre, corde et arc. ”

“ L'angle pris pour unité est ordinairement l'angle droit, et on divisera en parties égales le quart de cercle BC (fig. 29) décrit de son sommet comme centre. Cela fait, pour mesurer un angle donné K-, on décrit de son sommet comme centre, et d'un rayon égal à celui du quadrant, un arc de cercle qui se termine en M et en N, aux côtés de l'angle K ”

“ THÉORÈME VIII. Si un cercle tracé sur une sphère, variable de grandeur, est constamment tangent à deux autres cercles de la même sphère, de grandeur et de situation invariable, l’arc de grand cercle conduit par ses points de contact avec eux, variable comme lui, coupera toujours néanmoins l’arc de grand cercle qui joint leurs pôles en un même point, lequel ne sera autre que l’intersection de cet arc de grand cercle avec l’arc de grand cercle tangent à la fois aux deux cercles. ”

“ Dans tout triangle, le carré de la distance du centre du cercle circonscrit au point de concours des médianes, égale le carré du rayon du cercle circonscrit, moins le neuvième de la somme des carrés des côtés. ”

“ Donc les droites menées de l’œil aux points de concours des prolongemens des côtés opposés de l’hexagone inscrit au cercle sont toutes trois parallèles au tableau, et conséquemment dans un plan passant par l’œil ; les points de concours sont donc dans ce plan ; et, puisqu’ils sont aussi dans le plan du cercle, ils sont sur une même droite intersection de ces deux plans.
4. Comme toute section conique est la perspective d’un certain cercle, et comme, d’un autre côté, la perspective d’une droite est, elle-même une ligne droite ”

“ THÉORÈME. Si tant de quadrilatères qu’on voudra, inscrits à un même cercle, ont un côté commun, les droites qui, dans ces quadrilatères, joindront l’intersection des diagonales et le point de concours des côtés adjacens au côté commun iront toutes concourir en un même point de la perpendiculaire sur le milieu de ce côté commun. ”

“ Un cercle est donné par deux de ses points, l'inclinaison de son plan sur l'horizon, et un plan auquel il doit être tangent : trouver ses points d'intersection avec une surface de révolution dont l'axe est vertical. ”

“ Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un cercle est fixée sur un plan par le moyen d'une équation entre les coordonnées x et y de chacun de ses points et un certain nombre de constantes dont la connaissance suffit pour déterminer cette position géométriquement. ”

“ PERSPECTIVE DES LIGNES ET SURFACES COURBES.
T. 20. — Pour obtenir rigoureusement la perspective du cercle, il faut avoir celle du carré qui lui est circonscrit. Soit ABC D, un carré perspectif dans lequel on veut tracer un cercle, construisez géométralement avec AB comme côté le carré AB 1 M, menez les deux diagonales, par leur intersection comme centre, avec un rayon égal à la moitié de AB tracez le cercle. A la rencontre de la courbe avec les diagonales, élevez sur AB des perpendiculaires, et par les points R et S menez des lignes au point de vue. ”

“ Pareillement, les cercles et sont touchés à la fois extérieurement en et par le cercle et intérieurement en et par le cercle d’où il suit que les droites et concourant en contiennent l’une et l’autre le centre de similitude externe des cercles et lequel conséquemment ne saurait être autre que le point qui, par suite, doit se trouver en ligne droite avec les centres et de ces deux cercles. ”

“ Solution. Du centre de l’un quelconque des deux cercles donnés, abaissez, sur la droite donnée, une perpendiculaire, que vous prolongerez au-delà de cette droite, d’une quantité égale à elle-même ; de son extrémité comme centre, et avec le rayon de ce même cercle, décrivez-en un nouveau ; le cercle cherché devra aussi lui être tangent ; vous aurez donc à décrire un cercle qui touche trois cercles donnés ; problème qu’on sait résoudre.
PROBLÈME XXII. Décrire un cercle qui, ayant son centré sur une circonférence donnée, touche deux cercles donnés ? ”

“ Dans le triangle rectangle OCA, le côté CA est plus petit que l'hypoténuse OA; ainsi le rayon CA du cercle déterminé par un. plan quelconque est plus petit que le rayon OA de la sphère. Il résulte de là que le cercle est le plus grand possible quand le plan sécant passe par le centre de la sphère; c'est pourquoi on appelle grands cercles de la sphère les cercles déterminés par des plans passant par le centre. Tous les grands cercles, ayant même rayon que la sphère, sont égaux entre eux. ”

“ La démonstration est la même que pour les cercles qui se coupent, et le principe est encore vrai, soit lorsqu'un des trois cercles est devenu point ou droite, soit quand deux cercles ont subi l'une ou l'autre transformation, soit enfin lorsqu'un cercle a éprouvé la première, et un autre, la seconde.
PROBLÈME : Trouver le centre radical de trois cercles séparés.
Il suffit, dans tous les cas, de tracer deux axes radicaux : leur concours est le centre radical demandé. ”

“ Qu'autour d'un point fixe pris sur la droite des centres on fasse tourner une transversale: les rayons menés aux points d'intersection de celle droite et des cercles se rencontrent en des points dont le lieu est une ovale ayant ses foyers aux centres des cercles.
La construction au moyen d'un cercle est une transformation du cercle, qui s'applique à des courbes quelconques. Les équations polaires de deux courbes étant F (r, 0) = 0 et F (p,w) = o, si p est une fonction de r, et w une fonction de 6, on dira que la deuxième courbe est une transformée de la première. ”