Euclide

“ Davantage comme les Mathématiciens entendent que la ligne est produite par le flux ou coullement du point, ainsi disent-ils que la ligne se mouvant en travers, produit la superficie : comme par exemple, si on entend que la ligne A, B se meuve vers la ligne DC, elle sera la superficie ABCD, laquelle n’aura aucune profondeur, puis que c’est la trace & vestige du mouvement de la ligne AB qui n’a aucune profondité. 6. Les extremitez de la superficie, sont lignes. ”

“ Mais l’angle ΖΔΒ est droit ; donc lʼangle ΖΔΒ est égal à l’angle HΔB ; le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point H n’est point le centre du cercle ΑΒΓ. On démontrera semblablement que tout autre point, excepté z, ne l’est pas.
Donc le point z est le centre du cercle. Ce qu’il fallait faire.
COROLLAIRE. De là il est évident que si dans un cercle une droite en coupe une autre en deux parties égales, et à angles droits, le centre du cercle est dans la secante. ”

“ Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. Les extrémités d’une surface sont des lignes. La surface plane est celle qui est également placée aux droites qui sont en elle. Un angle plan est lʼinclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction. ”

“ Les choses esgales à une mesme, sont egales entr’elles.
A ce premier axiome, Clauius a adjousté qu’une chose qui est plus grande ou plus petite qu’une des eales, est aussi plus grande ou plus petite que l’autre : Et si l’une des choses egales est plus grande on plus petite que quelque grandeur, l’autre est pareillement plus grande ou plus petite que la mesme grandeur.
2. Si à choses egales, on adjouste choses egales, les touts sont egaux. ”

“ Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne quʼon nomme circonférence, toutes les droites, menées à la circonférence dʼun des points placés dans cette figure, étant égales entre elles. ”

“ Quand une ligne droicte tombant sur une autre s’incline ou panche plus d’un costé que de l’autre, elle fait consequemment deux angles inégaux, dont l’un est plus grand que l’angle droict, & se nomme angle obtus ”

“ Des grandeurs sont dites avoir une raison entr’elles, lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement. Des grandeurs sont dites être en même raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, et d’autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels, que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois. Les grandeurs qui ont la méme raison sont dites proportionelles. ”

“ Mais toutes superficies esquelles il y a des endroits les uns plus eslevez que les autres, tellement qu’on n’y peut pas accommoder une ligne droite par tous les lieux & endroits d’icelles, telle qu’est la superficie interieure d’une voulte ou arcade, ou bien l’exterieure d’un globe, ou d’une colomne ronde, & aussi d’un cone, &c. ”

“ Mais si on dit que la circonférence ADB ne se rencontre pas avec la circonference AEB, ains qu’elle tombe au dessus ou au dessoubs d’icelle, comme en la 2.figure, soit tiree du centre C une ligne droicte laquelle couppe la circonférence ADB en D, & la circonference AEB en E ; les deux lignes droictes CD & CE, qui sont tirées du centre à la circonference d’un mesme cercle, seront égales entr’elles, par la définition du cercle : Ce qui est absurde, car l’une n’est que partie de l’autre. ”

“ La proportion est troublée, lorsquʼayant trois grandeurs et dʼautres grandeurs égales en nombre aux premières, il arrive que dans les premières grandeurs lʼantécédent est au conséquent, comme dans les secondes grandeurs l’antécédent est au conséquent, et que dans les premières grandeurs le conséquent est à une grandeur quelconque, comme dans les secondes grandeurs une grandeur quelconque est à un antécédent. ”

“ Aux grandeurs egales AB, CD, estans adioustés les inégales BE, DF, desquelles la difference ou excés est G E ; il est manifeste que la toute AE excedera la toute CF du mesme excez GE, 16. Si à choses inégales on adiouste choses egales, l’excez des toutes sera le mesme que l’excez de celles qui estoient au commencement.
Comme si (en la figure precedente) aux grandeurs inegales BE, DF, dont l’excez ou difference est GE, on adiouste les grandeurs inegales AB, CD : il est manifeste que la toute AE excedera la toute CF du mesme excez GE.
17. ”

“ DÉFINITIONS. Une grandeur est partie dʼune grandeur, la plus petite de la plus grande, quand la plus petite mesure la plus grande. Une grandeur plus grande est multiple dʼune grandeur plus petite, quand la plus grande est mesurée par la plus petite. Une raison, est certaine manière dʼêtre de deux grandeurs homogènes entrʼelles, suivant la. quantité. Une proportion est une identité de raisons. ”

“ Car d’autant que toute quantité continue peust estre infiniment augmentee par additition, & diminuée par division, il ne se peut donner quantité continue si grande, qu’il ne s’en puisse donner encore une plus grande ; ny une si petite qu’il ne s’en puisse encore donner une plus petite. Ce qui est dit icy touchant l’addition, est aussi veritable aux nombres ; car chaque nombre peut estre augmenté à l’infiny par l’addition continuelle de l’unité, jaceoit qu’en la diminution d’iceluy on parvienne à l’unité indivisible. ”

“ Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux. Si de grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux. Si à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront inégaux Si de grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux. ”

“ AE sera à EF comme AE à EH : mais AE estant egal soy mesme, il faudroit aussi par la 14. prop. 5. que EF 2° fust egale à EH 4°. c’eft à sçauoir le tout à la partie, ce qui est absurde : donc le parallelogramme total BD, & le retranche GE, estoient constituez à l’entour d’vu mesme diametre : car il aduiendra tousiours la mesme absurdité, si on dit que le diametre de BD couppe à quelconque autre poinct, soit le costé EF ou FG, du parallelogramme retranché GE. Si donc d’vn parallelogramme on oste vn parallelogramme, &c. Ce qu’il falloit demonstrer. ”

“ Grandevrs commensurables, sont celles là qui sont mesurees par une mesme mesvure..
Ainsi les deux lignes droictes A & B, estans mesurees par vne mesme ligne C, seront dictes commensurables. Ainsi außi une ligne de 6 pieds est commensurable auec vne autre ligne de 7 pieds, pource qu’elles sont toutes deux mesures tant par la ligne d’un pied, quee par celle d’vn demy pied, d’un tiers de pied, & semblablement les superficies, qui sont mesurees par une mesme superficie, sont dites commensurables : Item les corps, ou solides qui sont mesurés par un mesme corps, sont außi dits commensurables. ”

“ Car EF eftant plus grande que GF, elle pourra plus qu*ic^lle, 8c foit du quarré de H. Donc puis que comme AC eft à AB, ainfi le quarré de GF au quarré de EF} en changeant* comme AB fera à AC, ainfi le quarré de EF fera au quarré de GF. Maintenant nous demonftrerons comme en la preced. que la ligne H eft commenf. en longitude à icelle EF. Parquoy puis que la toute EF, peut plus que l’adiouftee GF, du quarré de H, qui luy eft commenf. en longitude, comme auffi à la rationele propolee D : par lestroifiefmesdef. EG fera refidu fécond. ”

“ Mais les grandeurs incommensurables, sont celles là qui n’ont aucune commune mesure.
Telles grandeurs sont le diametre & le costé de quelconque quarré : car icelles grandeurs n'ont aucune commune mesure, comme il sera demonstré à la derniere prop. ”

“ Et est à noter, qu'en tout parallelogramme si un seul angle est donné droict, il est necessaire que les trois autres soient außi droicts : comme par exemple, si l'angle E du parallelogramme EFGH est droict. Ie dis que les trois autres F, G, H, sont außi droicts. Car d'autant que les lignes EF, GH sont paralleles, les angles internes E & H, sont egaux à deux droicts par la 29. p. i. leurs opposez G & F seront außi droicts. ”

“ Et cependant est à noter que ceste superficie est souventesfois appellée plan par les Mathématiciens : tellement que quand ils parlent de plan, il faut tousjours entendre une superficie plane. 8. Angle plan, est l’inclination de deux lignes, l’une à l’autre se touchant en un plan non directement. Euclide enseigne ici que quand deux lignes constituées en quelque superficie plane concurrent en vn point d’icelle superficie, et ne se rencontrent directement, alors l’inclination d’icelles deux lignes s’appelle angle plan. ”

“ Donc afin que de deux triangles les bases soient égales entr’elles, & leurs angles außi égaux entr’eux, & pareillement les trian-gles égaux ; il est du tout necessaire que non seulement chaque costé de l’vn soit égal a chaque costé de l’autre, mais außi que les angles contenus d’iceux costez soient égaux entr’euxt comme a fort bien dit Euclide. ”