Triangle

“ Les angles que forment ces lignes et les sommets de ces angles sont appelés les angles et les sommets du triangle.
On distingue dans un triangle six éléments : trois côtés et trois angles.—Le triangle est équilatéral ou équiangle lorsque les trois côtés ou les trois angles sont égaux. Il est isocèle s'il a deux côtés égaux. On l'appelle rectangle lorsqu'il a un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit a reçu le nom d'hypothénuse.
THÉORÈME I.
Chaque côté d'un triangle est moindre que la somme des
deux autres. ”

“ Ainsi, lors même que nous nous aidons d’une image physique pour démontrer une propriété du triangle, nous ne devons voir dans cette image qu’un secours accessoire, un mode d’expression analogue à celui que nous offrent les signes de l’écriture : le triangle dont nous voulons, en réalité, parler, est celui qui existe dans notre esprit, et non celui qui est dessiné sur le sable ou sur le papyrus. ”

“ Elle réduit le composé au simple, le dérivé au primitif. Elle ramène notre connaissance à ses origines. Elle transforme les mots en faits. S’il y a des définitions, comme celles de la géométrie, qui semblent capables d’engendrer de longues suites de vérités neuves [7] , c’est qu’outre l’explication d’un mot elles contiennent l’affirmation d’une chose. Dans la définition du triangle, il y a deux propositions distinctes, l’une disant qu’il peut y avoir une figure terminée par trois lignes droites, l’autre disant qu’une telle figure s’appelle un triangle. ”

“ THÉORÈME XIV. Lorsqu’un triangle est, à la fois, circonscrit à un cercle et inscrit à un autre cercle, une infinité d’autres triangles peuvent être, à la fois, circonscrits au premier de ces cercles et inscrits au second. ”

“ Par un point donné dans l’intérieur d’un angle trièdre tri-rectangle, et également distant de ses trois faces, conduire un plan tellement dirigé que sa partie interceptée dans l’angle trièdre dont il s’agit soit un triangle semblable à un triangle donné ? ”

“ VII. Un triangle étant circonscrit à une parabole, l’angle sous lequel on voit, du foyer de la courbe, chacun des côtés de ce triangle, est le supplément de l’angle opposé du même triangle ou lui est égal, suivant que le foyer se trouve ou ne se troupe pas compris entre les côtés de cet angle, indéfiniment prolongés. ”

“ PROBLÈME II. Déterminer les trois côtés d’un triangle, en fonction des droites qui joignent le centre du cercle inscrit à ses sommets ?
Solution. Soient encore ici les trois côtés du triangle ; les angles respectivement opposés ; et soient les droites qui joignent le centre à leurs sommets. ”

“ C'est ainsi qu'un triangle blanc, placé sur un fond noir, nous paraît plus grand qu'il n'est, et de plus ne se présente pas avec des bords rectilignes, mais comme limité par des lignes courbes, avec des bords convexes, en un mot; un triangle noir, sur un fond blanc, nous paraîtra plus petit et avec des bords plus concaves. ”

“ La rencontre des trois côtés d'un triangle donne lieu, par leur position respective, à deux sortes de triangles; savoir : le triangle rectangle, dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire a pour mesure un arc de 90°; (1) et le triangle obliquangle dont aucun des trois angles n'est un angle droit.
14. La mesure d'un angle est la valeur de l'arc compris entre ses côtés et qui a son sommet pour centre. ”

“ Or, d’après un principe de géométrie, un triangle quelconque est entièrement « connu », quand on connaît un de ses côtés et deux de ses angles, car on peut conclure immédiatement la valeur du troisième angle et la longueur des deux autres côtés. Donc, en prenant pour base d’un nouveau triangle un côté des triangles déjà formés, et en mesurant les angles adjacents à cette base, on établira ainsi de nouveaux triangles qui seront successivement menés jusqu’à la limite de l’arc à mesurer. ”

“ Diviser graphiquement l’aire d’un triangle en parties égales, par des parallèles à sa base ?
Construction. Soit le triangle (fig, 5) qu’il faille, par exemple, diviser en cinq parties égales, par des parallèles à sa base. ”

“ Construire un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.
Soient a et b (fig. 105) les deux côtés donnés, A l'angle opposé au premier.
Faites l'angle CAE égal à A. Sur l'un des côtés prenez une longueur AC égale à b; du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale à a, décrivez une circonférence qui coupera la droite indéfinie AE au point B, et joignez CB, vous aurez le triangle demandé. ”

“ La trigonométrie fournit des formules très-simples pour calculer la surface d’un triangle, quand on connaît trois de ses parties, parmi lesquelles il y a au moins un côté.
1o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés deux côtés et l’angle compris entre eux. ”

“ Construire un triangle, connaissant deux côtés a et b, et la projection n du troisième côté sur le second.
Soit ABC le triangle demandé. On trace CB égal au côté a; on porte la longueur n en BD; on élève la perpendiculaire indéfinie DA, et l'on détermine le troisième sommet A, en coupant la ligne DA par un arc décrit du point C, avec un rayon égal au côté b.
978. Problème. Construire un triangle, connaissant les centres D, E, F, des cercles ex-inscrits. ”

“ Solutions de ces deux problèmes : 1.o À un triangle donné circonscrire un triangle semblable à un autre triangle donné, et qui soit le plus grand possible ? 2.o À un triangle donné inscrire un triangle semblable à un autre triangle donné, et qui soit le plus petit possible ? par MM. Rochat, Vecten, Fauquier, Pilatte, etc.
Démonstration de ce théorème : Le volume d’un tronc de prisme quelconque est le produit de l’aire de l’une quelconque de ses bases par la distance de son plan au centre de gravité de l’aire de l’autre base ; par MM. Servois, Lhuilier, Rochat, Labrousse, Fauquier, etc. ”

“ Dans un triangle équilatéral, les trois hauteurs sont égales, ainsi que les trois bissectrices et les trois médianes; il en est de même des perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés; ces quatre systèmes de droites se confondent en un seul.
Exercice 34
476. Théorème. Un triangle est isocèle lorsqu'il a deux hauteurs égales; il en est de même lorsque deux des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés opposés sont égales. ”

“ Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle. ”

“ Proposition 19. Dans tout triangle, un plus grand côté soutend un plus grand angle.
Proposition 20. Deux côtés d’un triangle quelconque, de quelque manière quʼils soient pris, sont plus grands que le côté restant. ”

“ En effet, plaçons le triangle A'B'C' sur le triangle ABC, en mettant le point A' au point A et le point B' au point B, ce qui
est possible, puisque A'B' = AB. Or, l'angle A' étant égal à l'angle A, le côté A'C' prend alors la direction de AC, et comme A'C' = AC, le point C' tombe en C. Par conséquent les périmètres des deux triangles coïncident et les triangles sont égaux.
250. SCOLIE. — On doit remarquer dans ce cas d'égalité, que les côtés égaux sont opposés à des angles égaux. ”

“ La considération du triangle plan rectiligne, dont l.es côtés sont égaux à est d’une grande utilité ; les angles de ce triangle, que nous désignerons par différent des angles du triangle sur la surface courbe, savoir, de de quantités du second ordre, et il sera essentiel de développer avec soin ces différences. ”

“ La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.
La considération des lignes parallèles sert à établir une proposition remarquable commune à tous les triangles, et qui est d'un usage continuel dans la géométrie.
Si nous prolongeons le côté AC (fig. 23) du triangle ABC dans la direction CI, et si nous menons par le point C la ligne CD parallèle à AB, nous aurons l'angle DCI = BAC comme correspondans, et l'angle BCD = CBA comme alternes internes. Ainsi les trois angles formés autour du point C sont les trois angles du
triangle. ”

“ Par un procédé inverse, quand elle travaille sur nos idées, elle les particularise. Le triangle idéal est une figure qui a trois angles et trois côtés, et c’est tout ; mais il m’est difficile de raisonner sur le triangle sans m’en faire une image qui me le montre, et aussitôt il se détermine ”

“ Théorème. Lorsque deux triangles rectangles sont semblables, le produit des hypoténuses est égal à la somme des produits des côtés homologues. (DOSTOR *, N. A. 1869, page 433.) Soient a, b, c les côtés d'un triangle; a', b', c' ceux du second. Si m est le rapport de similitude des côtés des deux triangles, on aura a' = am; b' = bm; c' = cm Or la relation à démontrer, c'est-à-dire aa' = bb' + cc' (1) peut se représenter par aam = bbm + ccm ou a2 = 62 + c2 égalité connue ; donc la relation (1) est démontrée. ”

“ Quel que soit l'angle donné, l'enveloppe de la base DE d'un triangle à aire constante est une hyperbole ayant OX, OY pour asymptotes.
Exercice.
130. Problème. Les hauteurs d'un triangle ABC, inscrit dans un cercle de centre 0, se coupent en un point H. Ce dernier point peut servir de point de concours des hauteurs d'une infinité de triangles inscrits dans le même cercle; quelle est l'enveloppe des culés de tous ces triangles? (N. A. — 1866, page 170.) ”

“ Nous disons que des triangles sont proportionnels lorsque leurs côtés et leurs angles conservent entre eux la même convenance, tellement que, si un des côtés du triangle était de deux fois et demie plus grand que sa base, et son autre côté de trois fois, tous les triangles ainsi construits avec un même rapport des côtés à la base, qu’ils fussent plus grands ou plus petits, seraient entre eux proportionnels. ”

“ Propriétés des triangles inscrits et circonscrits au cercle. Tout triangle inscrit au cercle peut être considéré comme un hexagone inscrit dont les côtés, de deux en deux, d’une longueur nulle, sont dirigés suivant les tangentes aux trois sommets du triangle. ”

“ Diviser un triangle en parties proportionnelles à des nombres donnés par des droites tirées du sommet de l'un de ses angles. 8 Diviser un triangle en quatre parties équivalentes par des lignes issues de deux angles. 9 Partager un champ-triangle entre trois héritiers, de manière que les parts forment trois triangles équivalents ayant pour bases les côtés du triangle et pour sommet commun un point situé dans l'intérieur. ”

“ Théorème 549.
1003. Par chaque sommet d'un triangle, on mène une droite qui divise le côté opposé en segments proportionnels aux carrés des deux autres côtés; prouver que ces trois droites se coupent au même point. (P. HOSSARD, commandant d'état-major, -1848, N. A., pages 407 et 454.)
Soit AD telle que
Démonstration. Abaissons les perpendiculaires f et g sur les côtés correspondants b et c.
Les triangles ADC, ADB ont même hauteur, lorsqu'on prend A pour sommet; ils sont entre eux comme les produits de la base par la hauteur. ”

“ Diviser le triangle ADG en trois parties équivalentes à partir des points B et C pris sur le côté AD. (Fig. 8.) Comme plus haut, je détermine les pieds H, E, F des perpendiculaires BH, CE, DF. La dernière seule étant utile pour l'évaluation de la surface S, je la chaîne, ainsi que les segments de base AH, HE, EF, FG, et je calcule BH et CE.
Les triangles semblables ABH, ACE, ADF donnent les égalités suivantes :
d'où l'on tire
Puisque la première portion doit aboutir en B, elle a évidemment la forme d'un triangle, dont BH est la hauteur ; el d" S H b. ”

“ Théorème. Un triangle est isocèle lorsqu'une même droite est à la fois médiane et hauteur, ou bien bissectrice et hauteur, ou bien bissectrice et médiane.
1° Si la droite AD est à la fois médiane et hauteur, DB = DC, les angles en D sont droits; donc les triangles ADB et ADC sont égaux, comme ayant en D un angle égal com- pris entre des côtés respectivement égaux. ”

“ À l’inverse, un triangle étant donné ; le plus grand et le plus petit système de trois cercles dont chacun touche les deux autres et passe par l’un des sommets du triangle, est celui dans lequel les centres sont situés sur les directions des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur les directions des côtés opposés ”